Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 2 Chuyên đề học tập Toán 10 kết ..

Giải bài 2.20 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức


Đặt ({S_n} = frac{1}{{1.3}} + frac{1}{{3.5}} + ... + frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}})

Đề bài

Đặt \({S_n} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + ... + \frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}\)

a) Tính \({S_1},{S_2},{S_3}\)

b) Dự đoán công thức tính tổng \({S_n}\) và chứng minh nó bằng quy nạp.

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}{S_1} = \frac{1}{{1.3}} = \frac{1}{3}\\{S_2} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} = \frac{2}{5}\\{S_3} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + \frac{1}{{5.7}} = \frac{3}{7}\end{array}\)

b) Dự đoán \({S_n} = \frac{n}{{2n + 1}}\) với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) (6)

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({S_1} = \frac{1}{3}\)

Vậy (*) đúng với \(n = 1\)

Giải sử (*) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({S_k} = \frac{k}{{2k + 1}}\)

Ta chứng minh (*) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{2(k + 1) + 1}}\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{3.5}} + ... + \frac{1}{{(2k - 1)(2k + 1)}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{k}{{2k + 1}} + \frac{1}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k(2k + 3) + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{2{k^2} + 3k + 1}}{{(2k + 1)(2k + 3)}}\\ = \frac{{(k + 1)(2k + 1)}}{{(2k + 1)(2k + 3)}} = \frac{{k + 1}}{{2k + 3}}\end{array}\)

Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store