Giải bài 1 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. a) \(BC \bot \left( {OAH} \right)\). b) H là trực tâm của \(\Delta ABC\). c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Đề bài

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) \(BC \bot \left( {OAH} \right)\).

b) H là trực tâm của \(\Delta ABC\).

c) \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right)\).

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Vì H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) nên \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\)

Vì \(OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {BOC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\)

Ta có: \(OA \bot BC,OH \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right)\)

b) Vì \(BC \bot \left( {OAH} \right)\) nên \(BC \bot AH\) (1)

Vì \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot AC\)

Vì \(OA \bot OB,OB \bot OC \Rightarrow OB \bot \left( {AOC} \right) \Rightarrow OB \bot AC\)

Ta có: \(OB \bot AC,OH \bot AC \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right) \Rightarrow AC \bot BH\) (2)

Mà H là giao điểm của BH và CH (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: H là trực tâm của \(\Delta ABC\).

c) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Khi đó, \(OD \bot BC\)

Vì \(OA \bot \left( {BOC} \right) \Rightarrow OA \bot OD\)

Do đó, tam giác AOD vuông tại O. Mà OH là đường cao nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{O{A^2}}}\)

Tam giác BOC vuông tại O, đường cao OD có: \(\frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Vậy \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). a) Chứng minh hai mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC). b) Gọi O và H là trực tâm \(\Delta BCD\) và \(\Delta ACD\).
Giải bài 3 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho \(HA = 2HB\).
Giải bài 4 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho khối chóp S.ABC có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là \(AB = 5a,BC = 8a,AC = 7a\), góc giữa SB và (ABC) là \({45^0}\). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Giải bài 5 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết \(AB = a,BC = a\sqrt 3 \),
Giải bài 6 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với \(AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^0}\),
Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc \({30^0}\), khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Giải bài 8 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một thùng đựng rác có dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Đáy và miệng thùng có độ dài lần lượt là 60cm và 120cm, cạnh bên của thùng dài 100cm. Tính thể tích của thùng.
Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 74, 75 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Trong không gian, khẳng định nào sau đây đúng? A. Cho hai đường thẳng song song, B. Trong không gian, C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba