Giải bài 1 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh \(a\sqrt 2 \). Biết rằng \(SA = SB = SC = SD,SO = 2a\sqrt 2 \).

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh \(a\sqrt 2 \). Biết rằng \(SA = SB = SC = SD,SO = 2a\sqrt 2 \).

a) Chứng minh rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình vuông tâm O nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.

Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAC. Do đó, \(SO \bot AC\)

Vì \(SB = SD\) nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBD. Do đó, \(SO \bot BD\)

Vì \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\), AC và BD cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (ABCD).

Do đó, \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

b) Kẻ \(AH \bot SC\left( {H \in SC} \right)\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = 2a\)

Suy ra: \(OC = \frac{{AC}}{2} = a\)

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right),OC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OC\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SOC vuông tại O có:

\(SC = \sqrt {O{C^2} + S{O^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3a\)

Ta có: \(AH.SC = SO.AC\left( { = 2{S_{\Delta SAC}}} \right) \Rightarrow AH = \frac{{SO.AC}}{{SC}} = \frac{{2a\sqrt 2 .2a}}{{3a}} = \frac{{4a\sqrt 2 }}{3}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tứ diện ABCD có \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng (BCD).
Giải bài 3 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tứ diện ABCD có \(DA \bot \left( {ABC} \right)\), ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ \(AH \bot MD\) tại H.
Giải bài 4 trang 55 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, O là giao điểm của hai đường chéo, \(SA = SC,SB = SD\).