Đề thi vào 10 môn Toán Bắc Ninh năm 2025>
Tải vềCâu 1. Tam giác ABC vuông tại A, ({rm{sin}}C = frac{3}{5}), cạnh BC = 10 cm. Độ dài cạnh AB bằng A. 4 cm. B. 3 cm.
Đề bài
PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm)
(gồm có 32 câu)
Câu 1. Tam giác ABC vuông tại A, \({\rm{sin}}C = \frac{3}{5}\), cạnh BC = 10 cm. Độ dài cạnh AB bằng
A. 4 cm.
B. 3 cm.
C. 6 cm.
D. 2 cm.
Câu 2. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A. \(3{x^2} + x - 1 = 0\).
B. \(\sqrt {2{x^2} + x + 1} = 0\).
C. \({x^4} + {x^2} - 2 = 0\).
D. \(2x + 3 = 0\).
Câu 3. Người ta đo chiều dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành, thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Bảng trên có bao nhiêu nhóm?
A. 3.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
Câu 4. Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {1 - x} \) là
A. \(x \le 1\).
B. \(x \ge - 1\).
C. \(x \ge 0\).
D. \(x > 1\).
Câu 5. Gieo một con xúc xắc hai lần. Tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố 'Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 5' là
A. (1;4), (2;3), (3;2), (4;1), (5;5).
B. (1;4), (2;3), (3;2), (4;1).
C. (1;4), (2;3).
D. (3;2), (4;1).
Câu 6. Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 1}\\{3x + y = 4}\end{array}} \right.\) là
A. \(\left( {\frac{9}{7};\frac{1}{7}} \right)\).
B. \(\left( { - \frac{9}{7};\frac{1}{7}} \right)\).
C. \(\left( {\frac{1}{7};\frac{9}{7}} \right)\).
D. \(\left( {\frac{7}{1};\frac{9}{7}} \right)\).
Câu 7. Hình vẽ là biểu đồ thống kê số học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua. Lấy ngẫu nhiên một học sinh trong số này. Xác suất của biến cố 'Lấy được một học sinh lớp 9' là
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{5}{{11}}\).
C. \(\frac{6}{{11}}\).
D. \(\frac{1}{{25}}\).
Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x - 7}}{{2x + 3}} = \frac{1}{2}\) là
A.\(x \ne - \frac{3}{2}\)
B.\(x \ne \frac{1}{2}\)
C.\(x \ne 7\)
D. \(x \ne 0\)
Câu 9. Căn bậc ba của \( - 8\) bằng
A.\( - 2\)
B.\( - 4\)
C.\(2\)
D. \(4\)
Câu 10. Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(3cm\) và một điểm \(A\) cách \(O\) là \(5cm\). Kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Độ dài \(AB\) bằng
A.\(2cm\)
B.\(4cm\)
C.\(5cm\)
D. \(3cm\)
Câu 11. Cho tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3,BC = 6\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.\({\rm{tan}}B = 4\)
B.\({\rm{tan}}B = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C.\({\rm{tan}}B = \sqrt 3 \)
D. \({\rm{tan}}B = 2\)
Câu 12. Hình vuông có cạnh bằng \(10cm\) thì có bán kính đường tròn nội tiếp bằng
A.\(5cm\)
B.\(10cm\)
C.\(5\sqrt 2 cm\)
D. \(10\sqrt 2 cm\)
Câu 13. Hệ số góc của đường thẳng \(2x - y = 4\) là
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(\frac{1}{2}\)
D. \( - 2\)
Câu 14. Thống kê tỉ lệ điểm kiểm tra môn Toán của \(60\) bạn học sinh được cho trong biểu đồ. Số bạn có điểm kiểm tra dưới \(7\) điểm là
A.\(21\)
B.\(15\)
C.\(36\)
D. \(39\)
Câu 15. Với \(a > 2\), biểu thức \(a + \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}} \) bằng
A.\( - 2\)
B.\(2 - 2a\)
C.\(2a - 2\)
D. \(2\)
Câu 16. Tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hai hàm số \(y = x - 2m\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung là
A.\(m > 0\)
B.\(m \le 0\)
C.\(m < 0\)
D. \(m < - 1\)
Câu 17. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
A.\(y = - 2{x^2}\)
B.\(y = 2{x^2}\)
C.\(y = - {x^2}\)
D. \(y = {x^2}\)
Câu 18. Rút ngẫu nhiên một thẻ số trong hộp thẻ có \(20\) thẻ số đánh số từ \(1\) đến \(20\). Xác suất để rút được thẻ ghi số chia hết cho \(3\) bằng
A.\(\frac{3}{{10}}\)
B. \(\frac{1}{2}\).
C.\(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{7}{{20}}\)
Câu 19. Biểu đồ dưới đây cho biết tỉ lệ phần trăm diện tích trồng các loại cây ăn quả ở một trang trại.
Tỉ lệ phần trăm tổng diện tích trồng nhãn và vải thiều là
A. 37,5%.
B. 47,5%.
C. 17,5%.
D. 30%.
Câu 20. Kiểm tra cân nặng (đơn vị: kg) của 40 học sinh trong lớp, ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Số học sinh có cân nặng dưới 45 kg là
A. 16.
B. 35.
C. 32.
D. 24.
Câu 21. Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu một lần. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
A. 8.
B. 2.
C. 12.
D. 6.
Câu 22. Cho bất phương trình \(x - 8 < 0\). Số nào dưới đây là một nghiệm của bất phương trình đã cho?
A. 12.
B. 9.
C. 6.
D. 15.
Câu 23. Để trang trí lớp, bạn Lan đã dùng 4 miếng bìa hình quạt tròn bán kính 30 cm ứng với cung \({120^ \circ }\) (hình vẽ) để gấp trang trí. Tổng diện tích các miếng bìa bạn Lan đã dùng là
A. \(2400\pi \) cm\(^2\).
B. \(1200\pi \) cm\(^2\).
C. \(300\pi \) cm\(^2\).
D. \(1500\pi \) cm\(^2\).
Câu 24. Cho mặt cầu có bán kính \(R = 3\) cm. Diện tích mặt cầu bằng
A. \(48\pi \) cm\(^2\).
B. \(36\pi \) cm\(^2\).
C. \(12\pi \) cm\(^2\).
D. \(9\pi \) cm\(^2\).
Câu 25. Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hoành độ giao điểm hai đồ thị \(y = {x^2}\) và \(y = 3x + 2\). Khi đó giá trị của biểu thức \(S = {x_1} + {x_2}\) bằng
A. 2.
B. -3.
C. -2.
D. 3.
Câu 26. Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có bán kính \(R = 10\) cm. Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là 8 cm. Độ dài dây \(AB\) bằng
A. 12 cm.
B. 8 cm.
C. \(2\sqrt {41} \) cm.
D. 6 cm.
Câu 27. Một hình nón có bán kính đáy 3 cm, chiều cao 5 cm. Thể tích của hình nón bằng
A. \(45\pi \) cm\(^3\).
B. \(8\) cm\(^3\).
C. \(15\pi \) cm\(^3\).
D. \(8\pi \) cm\(^3\).
Câu 28. Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và góc nội tiếp \(\angle BAC = {130^ \circ }\). Số đo của \(\angle BOC\) là
A. \({130^ \circ }\).
B. 100\(^ \circ \).
C. \({260^ \circ }\).
D. \({50^ \circ }\).
Câu 29. Trong hình vẽ, độ dài \(AH\) bằng
A.\(\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\)
B.\(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\)
C. 2.
D. \(\frac{{12}}{5}\).
Câu 30. Một hãng taxi có giá 15 nghìn đồng cho kilômét đầu tiên và giá 12 nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Với 150 nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
A. 13 km.
B. 12 km.
C. 11 km.
D. 14 km.
Câu 31. Cho điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), dây \(BC\) vuông góc với \(OA\) tại trung điểm \(M\) của \(OA\). Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn cắt đường thẳng \(OA\) tại \(E\). Độ dài \(BE\) theo \(R\) là
A. \(2R\).
B. \(\frac{R}{{\sqrt 3 }}\).
C. \(R\sqrt 3 \).
D. \(\frac{R}{2}\).
Câu 32. Để đo chiều cao \(BP\) của một tháp (tham khảo hình vẽ), người ta đặt hai giác kế tại hai vị trí \(A\) và \(C\). Qua ống ngắm của giác kế tại vị trí \(A\) và \(C\), người ta nhìn thấy ngọn tháp \(B\) dưới các góc lần lượt là \({65^ \circ }\) và \({30^ \circ }\). Biết chiều cao của hai giác kế là \(AM\) và \(CN\) đều bằng \(1,62\) m; \(MN = 100\) m. Chiều cao của tháp bằng (làm tròn đến hàng phần trăm)
A. 47,11 m.
B. 45,45 m.
C. 47,10 m.
D. 47,50 m.
PHẦN TỰ LUẬN (6,0 điểm)
Câu 1. (1,0 điểm)
a) Giải bất phương trình \(6 + 2x < 0\).
b) Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0,x \ne 1\).
Câu 2. (1,0 điểm)
a) Giải phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\).
b) Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x + 2m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(3x_1^2 + 3x_2^2 = 10{x_1}{x_2} - m\).
Câu 3. (1,0 điểm)
Hưởng ứng Ngày sách và văn hóa đọc Việt Nam năm 2025, tại một trường THCS, học sinh hai lớp 9A và 9B đã tặng thư viện nhà trường 210 quyển sách. Trong đó, mỗi học sinh lớp 9A tặng 3 quyển sách, mỗi học sinh lớp 9B tặng 2 quyển sách. Tính số học sinh của mỗi lớp, biết rằng lớp 9B nhiều hơn lớp 9A là 5 học sinh.
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho đường tròn \(\left( O \right)\), bán kính \(R\) (\(R > 0\)) và dây cung \(BC = R\sqrt 3 \). Lấy một điểm \(A\) bất kì trên cung lớn \(BC\) sao cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Các đường cao \(AD,BE\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(DHEC\) nội tiếp.
b) Kẻ đường kính \(AM\) của đường tròn \(\left( O \right)\) và \(OI\) vuông góc với \(BC\) tại \(I\). Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(HM\).
c) Khi \(DH \cdot DA\) lớn nhất, hãy tính diện tích tam giác \(ABC\) theo \(R\).
Câu 5. (1,0 điểm)
a) Cho các số thực \(x,y,z\) thay đổi và thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xyz = 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3{x^2} + {y^2} + {z^2}\).
b) Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 21 cm, bạn Nga cắt được một hình có dạng như hình vẽ (phần tô đậm và được bao quanh bởi đường liền nét). Biết rằng hình tròn diện tích \(113,04\) cm\({^2}\) và có tâm trùng với tâm của hình vuông. Các điểm \(E,F\) là giao điểm của hai đường chéo hình vuông với đường tròn. Tính tổng độ dài đường viền của hình thu được (lấy \(\pi \approx 3,14\) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
----HẾT----
Lời giải
PHẦN TRẮC NGHIỆM (4,0 điểm)
1.C |
2.B |
3.B |
4.A |
5.B |
6.A |
7.B |
8.A |
9.A |
10.B |
11.C |
12.A |
13.B |
14.A |
15.C |
16.C |
17.B |
18.A |
19.B |
20.D |
21.C |
22.C |
23.B |
24.B |
25.D |
26.A |
27.C |
28.B |
29.D |
30.B |
31.C |
32.A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Câu 1. Tam giác ABC vuông tại A, \({\rm{sin}}C = \frac{3}{5}\), cạnh BC = 10 cm. Độ dài cạnh AB bằng
A. 4 cm.
B. 3 cm.
C. 6 cm.
D. 2 cm.
Phương pháp:
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính AB.
Lời giải:
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ABC, ta có:
\(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\) nên \(AB = BC.\frac{3}{5} = 10.\frac{3}{5} = 6\left( {cm} \right)\)
Đáp án C.
Câu 2. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A. \(3{x^2} + x - 1 = 0\).
B. \(\sqrt {2{x^2} + x + 1} = 0\).
C. \({x^4} + {x^2} - 2 = 0\).
D. \(2x + 3 = 0\).
Phương pháp:
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\).
Lời giải:
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình \(3{x^2} + x - 1 = 0\).
Đáp án A.
Câu 3. Người ta đo chiều dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành, thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Bảng trên có bao nhiêu nhóm?
A. 3.
B. 4.
C. 6.
D. 5.
Phương pháp:
Quan sát số nhóm trong bảng.
Lời giải:
Bảng trên có 4 nhóm: [10; 20); [20;30); [30;40); [40;50).
Đáp án B
Câu 4. Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {1 - x} \) là
A. \(x \le 1\).
B. \(x \ge - 1\).
C. \(x \ge 0\).
D. \(x > 1\).
Phương pháp:
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt A \) là \(A \ge 0\).
Lời giải:
Điều kiện xác định của biểu thức \(\sqrt {1 - x} \) là \(1 - x \ge 0\), suy ra \(x \le 1\).
Đáp án A
Câu 5. Gieo một con xúc xắc hai lần. Tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố 'Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 5' là
A. (1;4), (2;3), (3;2), (4;1), (5;5).
B. (1;4), (2;3), (3;2), (4;1).
C. (1;4), (2;3).
D. (3;2), (4;1).
Phương pháp:
Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố.
Lời giải:
Các cặp số có tổng bằng 5 là: (1;4); (2;3) nên các kết quả thuận lợi cho biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 5” là: (1;4), (2; 3), (3;2), (4; 1).
Đáp án B
Câu 6. Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y = 1}\\{3x + y = 4}\end{array}} \right.\) là
A. \(\left( {\frac{9}{7};\frac{1}{7}} \right)\).
B. \(\left( { - \frac{9}{7};\frac{1}{7}} \right)\).
C. \(\left( {\frac{1}{7};\frac{9}{7}} \right)\).
D. \(\left( {\frac{7}{1};\frac{9}{7}} \right)\).
Phương pháp:
Sử dụng máy tính cầm tay để tính nghiệm của hệ phương trình trong các câu trắc nghiệm.
Lời giải:
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được nghiệm của hệ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{7}\\y = \frac{1}{7}\end{array} \right.\).
Đáp án A.
Câu 7. Hình vẽ là biểu đồ thống kê số học sinh tham gia câu lạc bộ cờ vua. Lấy ngẫu nhiên một học sinh trong số này. Xác suất của biến cố 'Lấy được một học sinh lớp 9' là
A. \(\frac{1}{2}\).
B. \(\frac{5}{{11}}\).
C. \(\frac{6}{{11}}\).
D. \(\frac{1}{{25}}\).
Phương pháp:
Quan sát biểu đồ, xác định cột học sinh lớp 9.
Tính tổng số học sinh.
Xác suất của biến cố = số học sinh lớp 9 / tổng số học sinh.
Lời giải:
Số học sinh lớp 9 là: 25 (học sinh)
Số học sinh tham gia câu lạc bộ là: 5 + 15 + 10 + 25 = 55 (học sinh)
Xác suất của biến cố 'Lấy được một học sinh lớp 9' là: \(\frac{{25}}{{55}} = \frac{5}{{11}}\).
Đáp án B
Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x - 7}}{{2x + 3}} = \frac{1}{2}\) là
A. \(x \ne - \frac{3}{2}\)
B. \(x \ne \frac{1}{2}\)
C. \(x \ne 7\)
D. \(x \ne 0\)
Phương pháp:
Điều kiện xác định của phân thức đại số là mẫu thức khác 0.
Lời giải:
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x - 7}}{{2x + 3}} = \frac{1}{2}\) là \(2x + 3 \ne 0\) hay \(x \ne - \frac{3}{2}\).
Đáp án A
Câu 9. Căn bậc ba của \( - 8\) bằng
A. \( - 2\)
B. \( - 4\)
C. \(2\)
D. \(4\)
Phương pháp:
Nhẩm hoặc sử dụng máy tính cầm tay để tính căn bậc ba.
Lời giải:
Căn bậc ba của -8 là \(\sqrt[3]{{ - 8}} = - 2\).
Đáp án A
Câu 10. Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(3cm\) và một điểm \(A\) cách \(O\) là \(5cm\). Kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn (\(B\) là tiếp điểm). Độ dài \(AB\) bằng
A. \(2cm\)
B. \(4cm\)
C. \(5cm\)
D. \(3cm\)
Phương pháp:
Áp dụng kiến thức về tiếp tuyến và định lí Pythagore để tính AB.
Lời giải:
Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm O (B là tiếp điểm) nên \(AB \bot OB\) tại B.
Do đó \(\Delta OAB\) vuông tại B. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông OAB, ta có:
\(A{B^2} + B{O^2} = A{O^2}\), suy ra \(AB = \sqrt {A{O^2} - B{O^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\left( {cm} \right)\).
Đáp án B
Câu 11. Cho tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 3,BC = 6\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \({\rm{tan}}B = 4\)
B. \({\rm{tan}}B = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \({\rm{tan}}B = \sqrt 3 \)
D. \({\rm{tan}}B = 2\)
Phương pháp:
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC để tính AC.
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.
Lời giải:
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\), suy ra \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{6^2} - {3^2}} = 3\sqrt 3 \)
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC, ta có:
\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \)
Đáp án C
Câu 12. Hình vuông có cạnh bằng \(10cm\) thì có bán kính đường tròn nội tiếp bằng
A. \(5cm\)
B. \(10cm\)
C. \(5\sqrt 2 cm\)
D. \(10\sqrt 2 cm\)
Phương pháp:
Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a là \(\frac{a}{2}\).
Lời giải:
Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là: \(\frac{{10}}{2} = 5\left( {cm} \right)\)
Đáp án A
Câu 13. Hệ số góc của đường thẳng \(2x - y = 4\) là
A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \( - 2\)
Phương pháp:
Hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\) là \(a\).
Lời giải:
Ta có: \(2x - y = 4\) nên \(y = 2x - 4\).
Hệ số góc của đường thẳng \(y = 2x - 4\) là 2.
Đáp án B
Câu 14. Thống kê tỉ lệ điểm kiểm tra môn Toán của \(60\) bạn học sinh được cho trong biểu đồ. Số bạn có điểm kiểm tra dưới \(7\) điểm là
A. \(21\)
B. \(15\)
C. \(36\)
D. \(39\)
Phương pháp:
Tính tổng số phần trăm các bạn có điểm kiểm tra dưới 7 điểm (điểm 5, 6).
Từ đó tính số bạn có điểm kiểm tra dưới 7 điểm.
Lời giải:
Tỉ lệ học sinh có điểm kiểm tra dưới 7 điểm là: 15% + 20% = 35%.
Tổng số bạn học sinh có điểm kiểm tra dưới 7 điểm là: \(60.35\% = 21\) (bạn)
Đáp án A
Câu 15. Với \(a > 2\), biểu thức \(a + \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}} \) bằng
A. \( - 2\)
B. \(2 - 2a\)
C. \(2a - 2\)
D. \(2\)
Phương pháp:
Sử dụng hằng đẳng thức: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).
Lời giải:
Ta có: \(a + \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2}} = a + \left| {a - 2} \right|\)
\( = a - \left( {a - 2} \right)\) (vì \(a > 2\) nên \(\left| {a - 2} \right| = a - 2\))
\( = 2\).
Đáp án D
Câu 16. Tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hai hàm số \(y = x - 2m\) và \(y = {x^2}\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung là
A. \(m > 0\)
B. \(m \le 0\)
C. \(m < 0\)
D. \(m < - 1\)
Phương pháp:
Xác định phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị.
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía trục tung thì hai nghiệm trái dấu, hay \(ac < 0\).
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số \(y = x - 2m\) và \(y = {x^2}\) là:
\({x^2} = x - 2m\) hay \({x^2} - x + 2m = 0\).
Ta có: \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.2m = 1 - 8m\). Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(1 - 8m > 0\), suy ra \(m < \frac{1}{8}\).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(2m < 0\) hay \(m < 0\).
Suy ra \(m < 0\)
Đáp án C
Câu 17. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
A. \(y = - 2{x^2}\)
B. \(y = 2{x^2}\)
C. \(y = - {x^2}\)
D. \(y = {x^2}\)
Phương pháp:
Từ đồ thị xác định một điểm thuộc đồ thị hàm số.
Thay toạ độ điểm đó vào các hàm số để kiểm tra.
Lời giải:
Từ đồ thị hàm số ta thấy điểm (1;2) thuộc đồ thị hàm số.
Với \(x = 1\) thì \(y = {2.1^2} = 2\) nên điểm (1;2) thuộc đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\).
Đáp án B
Câu 18. Rút ngẫu nhiên một thẻ số trong hộp thẻ có \(20\) thẻ số đánh số từ \(1\) đến \(20\). Xác suất để rút được thẻ ghi số chia hết cho \(3\) bằng
A. \(\frac{3}{{10}}\)
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{7}{{20}}\)
Phương pháp:
Xác định các kết quả có thể, các kết quả thuận lợi.
Xác suất của biến cố bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi với số kết quả có thể.
Lời giải:
Vì có 20 thẻ nên có 20 kết quả có thể khi rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp.
Các số chia hết cho 3 từ 1 đến 20 là: 3; 6; 9; 12; 15; 18. Có 6 kết quả thuận lợi.
Vậy xác suất để rút được thẻ ghi số chia hết cho 3 bằng: \(\frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\).
Đáp án A
Câu 19. Biểu đồ dưới đây cho biết tỉ lệ phần trăm diện tích trồng các loại cây ăn quả ở một trang trại.
Tỉ lệ phần trăm tổng diện tích trồng nhãn và vải thiều là
A. 37,5%.
B. 47,5%.
C. 17,5%.
D. 30%.
Phương pháp:
Cộng tổng phần trăm diện tích trồng nhãn và vải thiều.
Lời giải:
Tỉ lệ phần trăm tổng diện tích trồng nhãn và vải thiều là: 20% + 27,5% = 47,5%.
Đáp án B
Câu 20. Kiểm tra cân nặng (đơn vị: kg) của 40 học sinh trong lớp, ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Số học sinh có cân nặng dưới 45 kg là
A. 16.
B. 35.
C. 32.
D. 24.
Phương pháp:
Số học sinh có cân nặng dưới 45 kg bằng tổng tần số nhóm [35;40) và [40;45).
Lời giải:
Số học sinh có cân nặng dưới 45 kg là: 5 + 11 = 16.
Đáp án A
Câu 21. Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu một lần. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?
A. 8.
B. 2.
C. 12.
D. 6.
Phương pháp:
Liệt kê các phần tử của không gian mẫu.
Lời giải:
Các kết quả khi gieo một con xúc xắc là: 1; 2; 3; 4; 5; 6.
Các kết quả khi tung một đồng xu là: S, N.
Không gian mẫu khi gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu một lần là: {(1,S); (2,S); (3,S); (4,S); (5,S); (6,S); (1,N); (2,N); (3,N); (4,N); (5,N); (6,N)}.
Vậy không gian mẫu có 12 phần tử.
Đáp án C
Câu 22. Cho bất phương trình \(x - 8 < 0\). Số nào dưới đây là một nghiệm của bất phương trình đã cho?
A. 12.
B. 9.
C. 6.
D. 15.
Phương pháp:
Giải bất phương trình.
Kiểm tra xem số nào thoả mãn trong các số trên.
Lời giải:
Giải bất phương trình:
\(\begin{array}{l}x - 8 < 0\\x < 8\end{array}\)
Trong các số trên có số 6 thoả mãn nên ta chọn C.
Đáp án C
Câu 23. Để trang trí lớp, bạn Lan đã dùng 4 miếng bìa hình quạt tròn bán kính 30 cm ứng với cung \({120^ \circ }\) (hình vẽ) để gấp trang trí. Tổng diện tích các miếng bìa bạn Lan đã dùng là
A. \(2400\pi \) cm\(^2\).
B. \(1200\pi \) cm\(^2\).
C. \(300\pi \) cm\(^2\).
D. \(1500\pi \) cm\(^2\).
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính diện tích hình quạt tròn.
Lời giải:
Diện tích một miếng bìa là: \(\frac{{\pi {{.30}^2}.120}}{{360}} = 300\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Diện tích 4 miếng bìa cần dùng là: \(300\pi .4 = 1200\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Đáp án B
Câu 24. Cho mặt cầu có bán kính \(R = 3\) cm. Diện tích mặt cầu bằng
A. \(48\pi \) cm\(^2\).
B. \(36\pi \) cm\(^2\).
C. \(12\pi \) cm\(^2\).
D. \(9\pi \) cm\(^2\).
Phương pháp:
Sử dụng công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {r^2}\).
Lời giải:
Diện tích mặt cầu là: \({\rm{4}}\pi {\rm{.}}{{\rm{3}}^2} = 36\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án B
Câu 25. Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) là hoành độ giao điểm hai đồ thị \(y = {x^2}\) và \(y = 3x + 2\). Khi đó giá trị của biểu thức \(S = {x_1} + {x_2}\) bằng
A. 2.
B. -3.
C. -2.
D. 3.
Phương pháp:
Lập phương trình hoành độ hai đồ thị bằng nhau.
Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Dùng định lí Viète để tính S.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là:
\(\begin{array}{l}{x^2} = 3x + 2\\{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array}\)
Phương trình có \(a.c = 1.\left( { - 2} \right) = - 2 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) phân biệt.
Áp dụng định lí Viète ta có: \(S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3\).
Đáp án D
Câu 26. Cho đường tròn \(\left( O \right)\) có bán kính \(R = 10\) cm. Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là 8 cm. Độ dài dây \(AB\) bằng
A. 12 cm.
B. 8 cm.
C. \(2\sqrt {41} \) cm.
D. 6 cm.
Phương pháp:
Gọi H là trung điểm của AB.
Chứng minh OH \( \bot \) AB tại H.
Sử dụng định lí Pythagore để tính AH, suy ra độ dài dây AB.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB, khi đó AH = HB nên H thuộc đường trung trực của AB.
Ta có: OA = OB = R nên O thuộc đường trung trực của AB.
Do đó OH là đường trung trực của AB.
Suy ra OH \( \bot \) AB.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAH, ta có:
\(A{H^2} = O{A^2} - O{H^2} = {10^2} - {8^2} = 100 - 64 = 36\)
Suy ra \(AH = \sqrt {36} = 6\left( {cm} \right)\)
Độ dài dây AB là: 6.2 = 12 (cm)
Đáp án A
Câu 27. Một hình nón có bán kính đáy 3 cm, chiều cao 5 cm. Thể tích của hình nón bằng
A. \(45\pi \) cm\(^3\).
B. \(8\) cm\(^3\).
C. \(15\pi \) cm\(^3\).
D. \(8\pi \) cm\(^3\).
Phương pháp:
Thể tích của hình nón: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\) với r là bán kính đáy, h là chiều cao.
Lời giải:
Thể tích của hình nón là: \(V = \frac{1}{3}.\pi {3^2}.5 = 15\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Đáp án C
Câu 28. Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và góc nội tiếp \(\angle BAC = 130^\circ \). Số đo của \(\angle BOC\) là
A. \(130^\circ \).
B. \(100\;^\circ \).
C. \(260^\circ \).
D. \(50^\circ \).
Phương pháp:
Tính số đo cung BC nhỏ, suy ra góc ở tâm chắn cung BC nhỏ.
Lời giải:
Vì \(\angle BAC\) chắn cung BC lớn nên số đo cung BC lớn là: \(130^\circ .2 = 260^\circ \).
Số đo cung BC nhỏ là: \(360^\circ - 260^\circ = 100^\circ \).
Suy ra số đo của \(\angle BOC = 100^\circ \).
Đáp án B
Câu 29. Trong hình vẽ, độ dài \(AH\) bằng
A. \(\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\)
B. \(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\)
C. 2.
D. \(\frac{{12}}{5}\).
Phương pháp:
Áp dụng định lí Pythagore để tính BC.
Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác ABC và tam giác AHB để tính AH.
Lời giải:
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).
Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác ABC và tam giác AHB, ta có:
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AH}}{{AB}}\)
\(\frac{4}{5} = \frac{{AH}}{3}\)
Suy ra \(AH = \frac{{4.3}}{5} = \frac{{12}}{5}\)
Đáp án D
Câu 30. Một hãng taxi có giá 15 nghìn đồng cho kilômét đầu tiên và giá 12 nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Với 150 nghìn đồng thì hành khách có thể di chuyển được tối đa bao nhiêu kilômét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
A. 13 km.
B. 12 km.
C. 11 km.
D. 14 km.
Phương pháp:
Gọi x là số kilômét di chuyển được tối đa.
Xác định bất đẳng thức thoả mãn yêu cầu.
Giải bất phương trình để tìm x.
Lời giải:
Gọi x là số kilômét di chuyển được tối đa. \(\left( {x \in \mathbb{N}} \right)\).
Vì hãng taxi có giá 15 nghìn đồng cho kilômét đầu tiên và giá 12 nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo nên số tiền phải trả khi đi x kilômét là:
\(15 + 12.\left( {x - 1} \right)\)
Ta có bất phương trình:
\(\begin{array}{l}15 + 12.\left( {x - 1} \right) \le 150\\15 + 12x - 12 \le 150\\12x + 3 \le 150\\12x \le 147\\x \le 12,25\end{array}\)
Vì \(x \in \mathbb{N}\) nên \(x = 12\)
Đáp án B
Câu 31. Cho điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( {O;R} \right)\), dây \(BC\) vuông góc với \(OA\) tại trung điểm \(M\) của \(OA\). Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn cắt đường thẳng \(OA\) tại \(E\). Độ dài \(BE\) theo \(R\) là
A. \(2R\).
B. \(\frac{R}{{\sqrt 3 }}\).
C. \(R\sqrt 3 \).
D. \(\frac{R}{2}\).
Phương pháp:
Áp dụng định lí Pythagore để tính BM theo R.
Chứng minh $\Delta OBM\backsim \Delta OEB$ để tính BE.
Lời giải:
Vì M là trung điểm của OA nên OM = MA = \(\frac{1}{2}\)OA = \(\frac{R}{2}\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông OBM, ta có:
\(BM = \sqrt {O{B^2} - O{M^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{R}{2}} \right)}^2}} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\)
Xét \(\Delta OBM\) và \(\Delta OEB\), ta có:
\(\angle O\) chung
\(\angle OMB = \angle OBE = 90^\circ \)
nên $\Delta OBM\backsim \Delta OEB\left( g.g \right)$
Suy ra \(\frac{{BM}}{{OM}} = \frac{{BE}}{{OB}}\)
Do đó \(BE = \frac{{BM.OB}}{{OM}} = \frac{{\frac{{R\sqrt 3 }}{2}.R}}{{\frac{R}{2}}} = R\sqrt 3 \).
Đáp án C
Câu 32. Để đo chiều cao \(BP\) của một tháp (tham khảo hình vẽ), người ta đặt hai giác kế tại hai vị trí \(A\) và \(C\). Qua ống ngắm của giác kế tại vị trí \(A\) và \(C\), người ta nhìn thấy ngọn tháp \(B\) dưới các góc lần lượt là \(65^\circ \) và \(30^\circ \). Biết chiều cao của hai giác kế là \(AM\) và \(CN\) đều bằng \(1,62\) m; \(MN = 100\) m. Chiều cao của tháp bằng (làm tròn đến hàng phần trăm)
A. 47,11 m.
B. 45,45 m.
C. 47,10 m.
D. 47,50 m.
Phương pháp:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính BH.
Chiều cao của tháp = BH + HP.
Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABH, ta có: \(BH = AH.\tan 65^\circ \).
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác BHC, ta có: \(BH = HC.\tan 30^\circ \).
Mà AH = MN – HC nên
\(\begin{array}{l}\left( {MN - HC} \right).\tan 65^\circ = HC.\tan 30^\circ \\MN.\tan 65^\circ - HC.\tan 65^\circ = HC.\tan 30^\circ \\100.\tan 65^\circ = HC.\left( {\tan 65^\circ + \tan 30^\circ } \right)\\HC = \frac{{100.\tan 65^\circ }}{{\tan 65^\circ + \tan 30^\circ }} \approx 78,79\left( m \right)\end{array}\)
Suy ra \(BH = HC.\tan 30^\circ = 78,79.\tan 30^\circ \approx 45,49\left( m \right)\)
Chiều cao của tháp là: \(BH + HP \approx 45,49 + 1,62 = 47,11\left( m \right)\)
Đáp án A
PHẦN TỰ LUẬN (4,0 điểm)
Câu 1: (1 điểm)
a) Giải bất phương trình \(6 + 2x < 0\)
b) Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\quad \)với \(x > 0,\;x \ne 1\)
Phương pháp:
a) Chuyển vế để giải bất phương trình.
b) Khi rút gọn biểu thức, ta cần thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu cần);
+ Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử để tìm mẫu thức chung rồi quy đồng;
+ Bước 3: Áp dụng các phép toán (cộng, trừ, nhân, chia) phân thức kết hoặc các phép biến đổi khai căn để rút gọn phân thức.
Lời giải:
a) Ta có
\(\begin{array}{l}6 + 2x < 0\\2x < - 6\\x < - 3\end{array}\)
Vậy tập nghiệm là \(x < - 3\)
b) Ta có
\(\begin{array}{l}A = \frac{{\sqrt x }}{{x + \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}}\\ = \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1 - \sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}\end{array}\)
Vậy \(A = \frac{{ - 2}}{{x - 1}}\), với \(x > 0,x \ne 1.\)
Câu 2: (1 điểm)
a) Giải phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\)
b) Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 4x + 2m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(3x_1^2 + 3x_2^2 = 10{x_1}{x_2}\)
Phương pháp:
a) Sử dụng \(\Delta \) để giải phương trình.
Nếu \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\).
b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0\)
Áp dụng định lí Viète, thay vào \(3x_1^2 + 3x_2^2 = 10{x_1}{x_2}\) để tìm m.
Lời giải:
a) Phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) có \(\Delta = {( - 4)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \frac{{4 - \sqrt 4 }}{2} = 1\) và \({x_2} = \frac{{4 + \sqrt 4 }}{2} = 3.\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1,x = 3\).
b) Ta có phương trình \({x^2} - 4x + 2m - 1 = 0\) có \(a = 1,b = - 4,c = 2m - 1\)
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt:
\(\begin{array}{l}\Delta = {( - 4)^2} - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 1) > 0\\16 - 8m + 4 > 0\\20 - 8m > 0\end{array}\)
\(m < \frac{5}{2}\)
Theo định lí Viète, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right.\)
Thay vào \(3x_1^2 + 3x_2^2 = 10{x_1}{x_2}\), ta dược:
\(\begin{array}{l}3x_1^2 + 3x_2^2 = 10{x_1}{x_2}\\3(x_1^2 + x_2^2) = 10{x_1}{x_2}\\3\left[ {{{\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right] = 10{x_1}{x_2}\\3{\left( {x_1^{} + x_2^{}} \right)^2} = 16{x_1}{x_2}\\{3.4^2} = 16\left( {2m - 1} \right)\\2m - 1 = 3\\m = 2{\rm{ (TM)}}\end{array}\)
Vậy \(m = 2.\)
Câu 3: (1,0 điểm)
Hưởng ứng Ngày sách và văn hóa đọc Việt Nam năm 2025, tại một trường THCS, học sinh hai lớp 9A và 9B đã tặng thư viện nhà trường 210 quyển sách. Trong đó, mỗi học sinh lớp 9A tặng 3 quyển sách, mỗi học sinh lớp 9B tặng 2 quyển sách. Tính số học sinh của mỗi lớp, biết rằng lớp 9B nhiều hơn lớp 9A là 5 học sinh.
Phương pháp:
Gọi số học sinh lớp 9A là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Biểu diễn số học sinh lớp 9B theo \(x\).
Biểu diễn số sách lớp 9A, 9B tặng.
Vì hai lớp 9A và 9B tặng 210 quyển sách nên ta lập được phương trình.
Giải phương trình để tìm \(x\).
Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Lời giải:
Gọi số học sinh lớp 9A là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Số học sinh lớp 9B là \(x + 5\) (học sinh)
Mỗi học sinh lớp 9A tặng 3 quyển sách nên số sách lớp 9A tặng là: \(3x\) (quyển)
Mỗi học sinh lớp 9B tặng 2 quyển sách nên số sách lớp 9B tặng là: \(2\left( {x + 5} \right)\) (quyển)
Vì hai lớp 9A và 9B tặng 210 quyển sách nên ta có phương trình:
\(3x + 2\left( {x + 5} \right) = 210\)
\(3x + 2x + 10 = 210\)
\(5x = 200\)
\(x = 40\)(TMĐK)
Vậy số học sinh lớp 9A là 40 học sinh, số học sinh lớp 9B là 45 học sinh.
Câu 4: (2 điểm)
Cho đường tròn (O), bán kính \(R\;(R > 0)\) và dây cung \(BC = R\sqrt 3 \). Lấy một điểm A bất kì trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp.
b) Kẻ đường kính AM của đường tròn (O) và OI vuông góc với BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của HM.
c) Khi tích \(DH \cdot DA\) lớn nhất, hãy tính diện tích tam giác ABC theo R.
Phương pháp:
a) Chứng minh \(\Delta HDC\) vuông tại D và \(\Delta HEC\) vuông tại E nên H, D, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC hay DHEC nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh \(BHCM\) là hình bình hành nên \(\Delta OBC\) cân tại O
Chứng minh I là trung điểm của BC nên I là trung điểm của HM.
c) Chứng minh \(\angle BHD = \angle DCA\)
Chứng minh $\Delta DHB\backsim \Delta DCA\left( g.g \right)$ nên \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{DB}}{{DA}}\) hay \(DH.DA = DB.DC\)
Từ \({\left( {DB - DC} \right)^2} \ge 0\), biến đổi được \({\left( {DB + DC} \right)^2} \ge 4DB.DC\)
\(DB.DC \le \frac{{3{R^2}}}{4}\) không đổi
Chứng minh \(DH.DA\) lớn nhất bằng \(\frac{{3{R^2}}}{4}\) khi D là trung điểm của BC
Suy ra \(D \equiv I\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OBD để tính OD.
Suy ra \(AD = OA + OD\).
Tính diện tích tam giác ABC theo AD và BC.
Lời giải:
a) Do AD, BE là đường cao nên \(\Delta HDC\) vuông tại D và \(\Delta HEC\) vuông tại E
\(\Delta HDC\) vuông tại D nên H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC
\(\Delta HEC\) vuông tại E nên H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC
Suy ra H, D, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC hay DHEC nội tiếp đường tròn.
b) Ta có \(\angle ACM = \angle ABM = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra \(CM\parallel BE\) (cùng vuông góc với AC) và \(BM\parallel CH\) (do cùng vuông góc với AB)
Suy ra \(BHCM\) là hình bình hành (dhnb)
Ta có \(OB = OC\) (cùng bằng bán kính) nên \(\Delta OBC\) cân tại O
Mà OI là đường cao nên OI đồng thời là trung tuyến hay I là trung điểm của BC
Suy ra I là trung điểm của HM (tính chất hình bình hành)
c) Ta có \(\angle BHD = \angle AHE\) (2 góc đối đỉnh)
\(\angle AHE = \angle DCA\) (cùng cộng với \(\angle DHE\) bằng \(180^\circ \))
Suy ra \(\angle BHD = \angle DCA\)
Xét \(\Delta DHB\) và \(\Delta DAC\) có \(\angle HDB = \angle ADC = 90^\circ \) và \(\angle BHD = \angle DCA\)
Suy ra $\Delta DHB\backsim \Delta DCA\left( g.g \right)$ nên \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{DB}}{{DA}}\) hay \(DH.DA = DB.DC\)
Ta có \({\left( {DB - DC} \right)^2} \ge 0\) nên \(D{B^2} + 2DB.DC + D{C^2} \ge 4DB.DC\)
Hay \({\left( {DB + DC} \right)^2} \ge 4DB.DC\)
Suy ra \(DB.DC \le \frac{{{{\left( {DB + DC} \right)}^2}}}{4} = \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{3{R^2}}}{4}\) không đổi
Nên \(DH.DA\) lớn nhất bằng \(\frac{{3{R^2}}}{4}\) khi \(DB = DC\) tức là D là trung điểm của BC
Suy ra \(D \equiv I\). Khi đó \(OD = \sqrt {O{B^2} - B{D^2}} = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\frac{{R\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{R}{2}\)
Suy ra \(AD = OA + OD = R + \frac{R}{2} = \frac{3}{2}R\)
Vậy diện tích tam giác ABC là \(S = \frac{1}{2}AD.BC = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}R.R\sqrt 3 = \frac{{3\sqrt 3 {R^2}}}{4}\)
Câu 5: (1,0 điểm)
a) Cho các số thực \(x,y,z\) thay đổi và thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xyz = 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3{x^2} + {y^2} + {z^2}\)
b) Từ một tấm bìa hình vuông cạnh 21cm, bạn Nga cắt được một hình có dạng như hình vẽ (phần tô đậm và được bao quanh bởi đường liền nét). Biết rằng hình tròn diện tích \(113,04c{m^2}\) và có tâm trùng với tâm của hình vuông. Tính tổng độ dài đường viền của hình thu được (lấy \(\pi \approx 3,14\) và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Phương pháp:
a) Biến đổi \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xyz = 4\) về phương trình bậc hai ẩn y.
Tính \(\Delta \).
Để phương trình có nghiệm y thì \({\Delta _y} \ge 0\).
Chia hai trường hợp:
TH1: Nếu \({x^2} - 4 = 0\) và \({z^2} - 4 = 0\)
TH2: Nếu \({x^2} - 4 > 0\) và \({z^2} - 4 > 0\)
TH3: Nếu \({x^2} - 4 < 0\) và \({z^2} - 4 < 0\)
b) Tính bán kính của hình tròn.
Tính chu vi của đường tròn.
Tính độ dài cung nhỏ \(EF\).
Tính độ dài đoạn thẳng OA theo AB.
Suy ra AE.
Tổng độ dài phần đường viền là: \(C - l + AB + 2.AE\).
Lời giải:
a) Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xyz = 4\)
\({y^2} - xz.y + {x^2} + {z^2} - 4 = 0\)
Có \({\Delta _y} = {x^2}{z^2} - 4\left( {{x^2} + {z^2}} \right) + 16 = {x^2}{z^2} - 4{x^2} - 4{z^2} + 16 = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{z^2} - 4} \right)\)
Để phương trình có nghiệm y thì \({\Delta _y} \ge 0\)
TH1: Nếu \({x^2} - 4 = 0\) thì \(F = 3.4 + {y^2} + {z^2} \ge 12\) với mọi y, z
Nếu \({z^2} - 4 = 0\) thì \(F = 3{x^2} + {z^2} + 4 \ge 4\) với mọi y,z
TH2: Nếu \({x^2} - 4 > 0\) và \({z^2} - 4 > 0\) thì \(F = 3{x^2} + {y^2} + {z^2} > 3.4 + 4 + {y^2} \ge 16\) với mọi y
TH3: Nếu \({x^2} - 4 < 0\) và \({z^2} - 4 < 0\) thì \( - 2 < x < 2\) và \( - 2 < z < 2\) hay \(x + 2 > 0\)
Khi đó
Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - xyz = 4\)
\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2yz = 4 + 2yz + xyz\\{x^2} + {\left( {y + z} \right)^2} = 4 + \left( {x + 2} \right)yz\end{array}\)
Vì \({\left( {y + z} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall y,z \in \mathbb{R}\) nên \(4 + \left( {x + 2} \right)yz \ge {x^2}\) hay \(\left( {x + 2} \right)yz \ge {x^2} - 4\)
Do đó \(yz \ge x - 2\) (do \(x + 2 > 0\))
Khi đó \(F = 3{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2{x^2} + xyz + 4 \ge 2{x^2} + x\left( {x - 2} \right) + 4\)
\( = 3{x^2} - 2x + 4 = 3{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{11}}{3}\)
Vì \(3{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall x > 0\) nên \(3{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{{11}}{3} \ge \frac{{11}}{3},\forall x > 0\)
Vì \(\frac{{11}}{3}\) là giá trị nhỏ nhất trong các trường hợp trên nên F đạt GTNN bằng \(\frac{{11}}{3}\)
Dấu xảy ra chẳng hạn khi \(x = \frac{1}{3},\,\,y = - \frac{{\sqrt {15} }}{3},\,\,z = \frac{{\sqrt {15} }}{3}\)
b) Bán kính của hình tròn là \(R = \sqrt {\frac{S}{\pi }} = \sqrt {\frac{{113,04}}{{3,14}}} = 6\left( {cm} \right)\)
Chu vi của đường tròn là \(C = 2\pi R = 2.3,14.6 = 37,68\left( {cm} \right)\)
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(\angle EOF = 90^\circ \)
Độ dài cung nhỏ \(EF\) là \(l = \frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi .6.90}}{{180}} = 9,42\left( {cm} \right)\)
\(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O\) nên \(OA = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{21}}{{\sqrt 2 }}\left( {cm} \right)\)
Do đó \(AE = OA - OE = \frac{{21}}{{\sqrt 2 }} - 6\left( {cm} \right)\)
Vậy tổng độ dài phần đường viền là \(37,68 - 9,42 + 21 + 2.\left( {\frac{{21}}{{\sqrt 2 }} - 6} \right) \approx 66,96\left( {cm} \right)\)

