Đề thi toán 8, đề kiểm tra toán 8 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 8 - Đề số 2

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Hãy chọn câu đúng. Nếu $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì:

A.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta DEF$
B.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$
C.

$\Delta BCA$ đồng dạng với $\Delta DEF$
D.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta FDE$

Câu 2 :

Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h. Nếu gọi vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là:

A.

$x - 15$ (km/h).
B.

$15.x\,$ (km/h).
C.

$x + 15\,$(km/h).
D.

$15:x\,$(km/h).

Câu 3 :

Hãy chọn câu đúng. Tỉ số $\dfrac{x}{y}$ của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là $cm$ .

A.

$\dfrac{7}{{15}}$
B.

$\dfrac{1}{7}$
C.

$\dfrac{{15}}{7}$
D.

$\dfrac{1}{{15}}$

Câu 4 :

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ . Cho biết $AB = 3cm$ ; $AC = 4cm$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $HA, HB.$

A.

$HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,2\,cm$
B.

$HA = 2\,cm;\,HB = 1,8\,cm$
C.

$HA = 2\,cm;\,HB = 1,2\,cm$
D.

$HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm$

Câu 5 :

Cho $\Delta ABC$, lấy 2 điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm bên cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$. Kết luận nào sai?

A.

$\Delta \;ADE\backsim\Delta \;ABC$
B.

$DE{\rm{//}}BC$
C.

$\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}$
D.

$\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$

Câu 6 :

Chọn khẳng định đúng.

A.

3 là nghiệm của phương trình ${x^2} - 9 = 0$
B.

$\left\{ 3 \right\}$ là tập nghiệm của phương trình ${x^2} - 9 = 0$
C.

Tập nghiệm của phương trình $(x + 3)(x - 3) = {x^2} - 9$ là $\mathbb{Q}$
D.

$x = 2$ là nghiệm duy nhất của phương trình ${x^2} - 4 = 0$ .

Câu 7 :

Hãy chọn câu đúng. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là: $a$, $2a$, $\dfrac{a}{2}$ thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

A.

${a^2}$
B.

$4{a^2}$
C.

$2{a^4}$
D.

${a^3}$

Câu 8 :

Cho $\Delta ABC$, $AE$ là phân giác ngoài của góc A. Hãy chọn câu đúng:

A.

$\dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}$.
B.

$\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}$.
C.

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{CE}}{{BE}}$.
D.

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}$.

Câu 9 :

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Có bao nhiêu cạnh song song với cạnh $AB$

A.

$4$.
B.

$3$.
C.

$2$.
D.

$5$.

Câu 10 :

Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt tứ giác đều có các cạnh đáy bằng $6cm$ và $8cm$ , chiều cao của mặt bên bằng $5cm$ .

A.

$120\,c{m^2}$
B.

$70\,c{m^2}$
C.

$150\,c{m^2}$
D.

$140\,c{m^2}$

Câu 11 :

So sánh $m$ và $n$ biết $m-\dfrac{1}{2} = n$

A.

$m < n$
B.

$m = n$
C.

$m \le n$
D.

$m > n$

Câu 12 :

Nếu tam giác $ABC$ có $MN$ // $BC$ (với $M\in AB, N\in AC)$ thì

A.

${\rm{\Delta }}AMN$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ACB$.
B.

${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}MNA$.
C.

${\rm{\Delta }}AMN$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ABC$.
D.

${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ANM$.

Câu 13 :

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình $x \ge 8$ trên trục số, ta được

Câu 14 :

Tính giá trị của $x$ trong hình dưới đây:

A.

$x = 3\,$
B.

$x = \dfrac{{27}}{7}$
C.

$x = 4\,$
D.

$x = \dfrac{{27}}{5}$

Câu 15 :

Phương trình $2x - 3 = 12 - 3x$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$0$
B.

$1$
C.

$2$
D.

Vô số nghiệm

Câu 16 :

Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{1}{{x - 2}} + 3 = \dfrac{{3 - x}}{{x - 2}}$ là

A.

$x \ne 3$
B.

$x \ne 2$
C.

$x \ne - 3$
D.

$x \ne - 2$

Câu 17 :

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\left| {3x + 6} \right| - 2 = 4$, biết phương trình có hai nghiệm phân biệt.

A.

$0$
B.

$10$
C.

$4$
D.

$ - 4$

Câu 18 :

Chọn khẳng định đúng.

A.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm trái dấu
B.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng dương
C.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng âm
D.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có một nghiệm duy nhất

Câu 19 :

Cho hai biểu thức : $A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}$ và $B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}$ . Tìm $x$ sao cho $A = B$ .

A.

$x = 0$
B.

$x = 1$
C.

$x = - 1$
D.

Cả A và B.

Câu 20 :

Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may được $800$ chiếc áo. Tháng Hai, tổ $1$ vượt mức $15\% $ , tổ hai vượt mức $20\% $ do đó cả hai tổ sản xuất được $945$ cái áo. Tính xem trong tháng đầu, tổ $1$ may được bao nhiêu chiếc áo?

A.

$300$
B.

$500$
C.

$400$
D.

$600$

Câu 21 :

Một đội máy cày dự định cày $40$ ha ruộng $1$ ngày. Do sự cố gắng, đội đã cày được $52$ ha mỗi ngày. Vì vậy, chẳng những đội đã hoàn thành sớm hơn $2$ ngày mà còn cày vượt mức được $4$ ha nữa. Tính diện tích ruộng đội phải cày theo dự định.

A.

$300$ ha
B.

$630$ ha
C.

$420$ ha
D.

$360$ ha

Câu 22 :

Với $a,b$ bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

A.

${a^2} + 5 > 4a$
B.

${a^2} + 10 < 6a - 1$
C.

${a^2} + 1 > a$
D.

$ab - {b^2} \le {a^2}$

Câu 23 :

Cho $x + y > 1.$ Chọn khẳng định đúng

A.

${x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}$
B.

${x^2} + {y^2} < \dfrac{1}{2}$
C.

${x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{2}$
D.

${x^2} + {y^2} \le \dfrac{1}{2}$

Câu 24 :

Cho hai phương trình $4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)$ và $\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)$. Kết luận nào sau đây là đúng.

A.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có nhiều nghiệm hơn phương trình $\left( 2 \right)$
B.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có ít nghiệm hơn phương trình $\left( 2 \right)$
C.

Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt
D.

Cả hai phương trình đều vô số nghiệm

Câu 25 :

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|$ là

A.

$\dfrac{1}{7}$
B.

$5$
C.

$ - \dfrac{1}{7}$
D.

$ - 5$

Câu 26 :

Một tam giác có cạnh nhỏ nhất bằng $8$ , hai cạnh còn lại bằng $x$ và $y$ $\left( {x < y} \right).$ Một tam giác khác có cạnh lớn nhất bằng $27$ , hai cạnh còn lại cũng bằng $x$ và $y$ . Tính $x$ và $y$ để hai tam giác đó đồng dạng.

A.

$x = 5;\,y = 10$.
B.

$x = 6;\,y = 12$
C.

$x = 12;\,y = 18$
D.

$x = 6;\,y = 18$

Câu 27 :

Tam giác ABC có $\widehat A = 2\widehat B$, $AB = 11\,{\rm{cm}}$, $AC = 25\,{\rm{cm}}$. Tính độ dài cạnh $BC$ .

A.

$30\,cm$
B.

$20\,cm$
C.

$25\,cm$
D.

$15\,cm$

Câu 28 :

Với giả thiết được cho trong hình, kết quả nào sau đây là đúng ?

A.

$y = 10$
B.

$x = 4,8$
C.

$x = 5$
D.

$y = 8,25$

Câu 29 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc $AB'C$ .

A.

$90^\circ $.
B.

$45^\circ $.
C.

$30^\circ $.
D.

$60^\circ $.

Câu 30 :

Biết rằng phương trình ${\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1$ có nghiệm lớn nhất là ${x_0}$ . Chọn hẳng định đúng.

A.

${x_0} = 3$
B.

${x_0} < 2$
C.

${x_0} > 1$
D.

${x_0} < 0$

Câu 31 :

Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4$ là

A.

$x > 1972$
B.

$x < 1972$
C.

$x < 1973$
D.

$x < 1297$

Câu 32 :

Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng $120\,c{m^2}$ , chiều cao bằng $6cm$ . Tìm các kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.

A.

$8\,cm$
B.

$7\,cm$
C.

$6\,cm$
D.

$5\,cm$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Hãy chọn câu đúng. Nếu $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì:

A.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta DEF$
B.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$
C.

$\Delta BCA$ đồng dạng với $\Delta DEF$
D.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta FDE$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

$\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$

Câu 2 :

Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h. Nếu gọi vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là:

A.

$x - 15$ (km/h).
B.

$15.x\,$ (km/h).
C.

$x + 15\,$(km/h).
D.

$15:x\,$(km/h).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Lời giải chi tiết :

Vì xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h nên vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là $15$ km/h.

Do đó nếu vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là $x + 15\,$(km/h).

Câu 3 :

Hãy chọn câu đúng. Tỉ số $\dfrac{x}{y}$ của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là $cm$ .

A.

$\dfrac{7}{{15}}$
B.

$\dfrac{1}{7}$
C.

$\dfrac{{15}}{7}$
D.

$\dfrac{1}{{15}}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$, vì $AD$ là phân giác góc $\widehat {BAC}$ nên ta có $\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{3,5}}{{7,5}} = \dfrac{7}{{15}}$

Câu 4 :

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ . Cho biết $AB = 3cm$ ; $AC = 4cm$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $HA, HB.$

A.

$HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,2\,cm$
B.

$HA = 2\,cm;\,HB = 1,8\,cm$
C.

$HA = 2\,cm;\,HB = 1,2\,cm$
D.

$HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để tìm ra tỉ lệ thức thích hợp.

- Tính độ dài các cạnh cần tìm dựa vào định lý Pitago và dữ kiện đã có.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\;cm\end{array}$

Xét 2 tam giác vuông $ABC$ và $HBA$ có: $\widehat B$ chung

$ \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta HBA\;(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow HB = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = 1,8\;cm$

Mặt khác:

$\dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{AC}}{{HA}} \Rightarrow HA = \dfrac{{AC.HB}}{{AB}} = \dfrac{{4.1,8}}{3} = 2,4\;cm$

Nên $HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm$ .

Câu 5 :

Cho $\Delta ABC$, lấy 2 điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm bên cạnh $AB$ và $AC$ sao cho $\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$. Kết luận nào sai?

A.

$\Delta \;ADE\backsim\Delta \;ABC$
B.

$DE{\rm{//}}BC$
C.

$\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}$
D.

$\widehat {ADE} = \widehat {ABC}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Bước 2: Áp dụng định lý Talet đảo để tìm ra nhận định sai.

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ ta có:

$\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$ (theo gt)

$\widehat A$ chung.

$ \Rightarrow \Delta ADE\backsim\Delta ABC$ (c – g – c)

$ \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ABC}$ (cặp góc tương ứng)

$ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}} \Rightarrow DE{\rm{//}}BC$ (định lý Talet đảo)

Câu 6 :

Chọn khẳng định đúng.

A.

3 là nghiệm của phương trình ${x^2} - 9 = 0$
B.

$\left\{ 3 \right\}$ là tập nghiệm của phương trình ${x^2} - 9 = 0$
C.

Tập nghiệm của phương trình $(x + 3)(x - 3) = {x^2} - 9$ là $\mathbb{Q}$
D.

$x = 2$ là nghiệm duy nhất của phương trình ${x^2} - 4 = 0$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm tập nghiệm của mỗi phương trình rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

+ Ta có ${x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$ . Nên $x = 3$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 9 = 0$ và tập nghiệm của phương trình là $\left\{ {3; - 3} \right\}$. Suy ra A đúng, B sai.

+ Xét $(x + 3)(x - 3) = {x^2} - 9$$ \Leftrightarrow {x^2} - 9 = {x^2} - 9$ (luôn đúng) nên tập nghiệm của phương trình là $\mathbb{R}$, suy ra C sai.

+ Xét ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2 \Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm $x = 2;\,x = - 2$ nên D sai.

Câu 7 :

Hãy chọn câu đúng. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là: $a$, $2a$, $\dfrac{a}{2}$ thể tích của hình hộp chữ nhật đó là:

A.

${a^2}$
B.

$4{a^2}$
C.

$2{a^4}$
D.

${a^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức thể tích của hình hộp chữ nhật $V = abc$ ($a,b,c$ là các kích thước của hình hộp chữ nhật)

Lời giải chi tiết :

Thể tích của hình hộp chữ nhật là $V = a.2a.\dfrac{a}{2} = {a^3}$ (đvtt)

Câu 8 :

Cho $\Delta ABC$, $AE$ là phân giác ngoài của góc A. Hãy chọn câu đúng:

A.

$\dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}$.
B.

$\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}$.
C.

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{CE}}{{BE}}$.
D.

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}$.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Vì trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hoai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy nên $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BE}}{{CE}}$

Câu 9 :

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Có bao nhiêu cạnh song song với cạnh $AB$

A.

$4$.
B.

$3$.
C.

$2$.
D.

$5$.

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Có ba cạnh song song với $AB$ là $A'B',CD,C'D'$ .

Câu 10 :

Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt tứ giác đều có các cạnh đáy bằng $6cm$ và $8cm$ , chiều cao của mặt bên bằng $5cm$ .

A.

$120\,c{m^2}$
B.

$70\,c{m^2}$
C.

$150\,c{m^2}$
D.

$140\,c{m^2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình chóp cụt đều

Để tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều, ta tính diện tích một mặt bên rồi nhân với số mặt bên, hoặc lấy diện tích xung quanh của hình chóp đều lớn trừ đi diện tích xung quanh của hình chóp đều nhỏ.

Lời giải chi tiết :

Mặt bên hình chóp cụt tứ giác đều là hình thang cân nên diện tích một mặt bên bằng $\dfrac{{\left( {6 + 8} \right).5}}{2} = 35\,(c{m^2})$

Hình chóp cụt tứ giác đều có $4$ mặt bên bằng nhau nên diện tích xung quanh bằng $35.4 = 140\left( {c{m^2}} \right)$ .

Câu 11 :

So sánh $m$ và $n$ biết $m-\dfrac{1}{2} = n$

A.

$m < n$
B.

$m = n$
C.

$m \le n$
D.

$m > n$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Chuyển vế đổi dấu

+ So sánh với $0$

+ So sánh $m$ và $n$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $m - \dfrac{1}{2} = n \Rightarrow m - n = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m - n > 0 \Rightarrow m > n$ .

Câu 12 :

Nếu tam giác $ABC$ có $MN$ // $BC$ (với $M\in AB, N\in AC)$ thì

A.

${\rm{\Delta }}AMN$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ACB$.
B.

${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}MNA$.
C.

${\rm{\Delta }}AMN$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ABC$.
D.

${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ANM$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết :

Vì $MN{\rm{//}}BC \Rightarrow $ tam giác $AMN$ đồng dạng với tam giác $\Delta ABC$ .

Câu 13 :

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình $x \ge 8$ trên trục số, ta được

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biểu diễn tập nghiệm trên trục số

Lời giải chi tiết :

Ta biểu diễn $x \ge 8$ trên trục số như sau:

Câu 14 :

Tính giá trị của $x$ trong hình dưới đây:

A.

$x = 3\,$
B.

$x = \dfrac{{27}}{7}$
C.

$x = 4\,$
D.

$x = \dfrac{{27}}{5}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Bước 2: Từ đó ta rút ra được tỉ lệ thức phù hợp, tính ra giá trị $x$ .

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta IPA$ và $\Delta ITL$ ta có:

$+) \widehat {IPA} = \widehat {ITL} = {90^0}\\ +) \widehat {TIL}\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta IPA\backsim\Delta ITL\;(g - g)\\ \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{TL}} = \dfrac{{IA}}{{IL}} \Leftrightarrow \dfrac{{PA}}{{TL}} = \dfrac{{IA}}{{IA + AL}} \Leftrightarrow \dfrac{7}{{10}} = \dfrac{9}{{9 + x}}$$ \Leftrightarrow x = \dfrac{{27}}{7}$

Câu 15 :

Phương trình $2x - 3 = 12 - 3x$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$0$
B.

$1$
C.

$2$
D.

Vô số nghiệm

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}2x - 3 = 12 - 3x\\ \Leftrightarrow 2x + 3x = 12 + 3\\ \Leftrightarrow 5x = 15\\ \Leftrightarrow x = 15:5\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x = 3$ .

Câu 16 :

Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của phương trình $\dfrac{1}{{x - 2}} + 3 = \dfrac{{3 - x}}{{x - 2}}$ là

A.

$x \ne 3$
B.

$x \ne 2$
C.

$x \ne - 3$
D.

$x \ne - 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm các điều kiện để tất cả các mẫu thức trong phương trình khác $0$.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2$.

Câu 17 :

Tính tổng các nghiệm của phương trình $\left| {3x + 6} \right| - 2 = 4$, biết phương trình có hai nghiệm phân biệt.

A.

$0$
B.

$10$
C.

$4$
D.

$ - 4$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Chuyển vế đưa phương trình về dạng $\left| A \right| = B$

+ Giải phương trình $\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\left| {3x + 6} \right| - 3 = 3 \Leftrightarrow \left| {3x + 6} \right| = 6\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 6 = 6\\3x + 6 = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 0\\3x = - 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 4\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là $0 + \left( { - 4} \right) = - 4$.

Câu 18 :

Chọn khẳng định đúng.

A.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm trái dấu
B.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng dương
C.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng âm
D.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có một nghiệm duy nhất

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0$ hoặc $B\left( x \right) = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 5} \right) - 6\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 6} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 6 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = 6\\3x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương $x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{3}$ .

Câu 19 :

Cho hai biểu thức : $A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}$ và $B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}$ . Tìm $x$ sao cho $A = B$ .

A.

$x = 0$
B.

$x = 1$
C.

$x = - 1$
D.

Cả A và B.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho $A = B$ rồi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo các bước:

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được .

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Để $A = B$ thì $1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}$ .

ĐKXĐ: $x \ne - 2$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\,\,\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\ \Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x + 2x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,(tm)\\x = 1\,\,\,\,(tm)\\x = - 2\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy để $A = B$ thì $x = 0$ hoặc $x = 1$.

Câu 20 :

A.

$300$
B.

$500$
C.

$400$
D.

$600$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải theo các bước sau:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập Phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Gọi số áo tổ $1$ làm được trong tháng Giêng là $x\,\left( {x \in \mathbb{N}*;\,x < 800} \right)$(áo)

Thì số áo tổ $2$ làm được trong tháng Giêng là $800 - x$ (áo)

Vì tháng hai, tổ $1$ vượt mức $15\% $ nên số áo vượt mức là $15\% .x = \dfrac{3}{{20}}x$ (áo)

Và tổ $2$ vượt mức $20\% $ nên số áo vượt mức là $20\% \left( {800 - x} \right) = \dfrac{{800 - x}}{5}$ (áo)

Vì tháng hai, cả hai tổ sản xuất được $945$ cái áo nên vượt mức với tháng Giêng là $945 - 800 = 145$ áo

Nên ta có phương trình $\dfrac{3}{{20}}x + \dfrac{{800 - x}}{5} = 145 \Leftrightarrow 3x + 3200 - 4x = 2900 \Leftrightarrow x = 300\,\left( {TM} \right)$ .

Vậy trong tháng Giêng tổ một làm được $300$ áo.

Câu 21 :

A.

$300$ ha
B.

$630$ ha
C.

$420$ ha
D.

$360$ ha

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải theo các bước sau:

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Gọi số ngày dự kiến đội hoàn thành cày ruộng theo kế hoạch là $x$ (ngày, $x > 0$ ).

Đội hoàn thành diện tích ruộng theo kế hoạch là: $40x$ (ha).

Thời gian thực tế đội hoàn thành diện tích ruộng là: $x - 2$ (ngày).

Đội hoàn thành diện tích ruộng theo thực tế là: $52(x - 2)$ (ha).

Vì tổ vượt mức $4$ ha nên ta có phương trình:

$52\left( {x - 2} \right) = 40x + 4 \Leftrightarrow 12x = 108$ $ \Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn)

Vậy diện tích ruộng cần cày theo dự định là $9.40 = 360\,$ ha.

Câu 22 :

Với $a,b$ bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

A.

${a^2} + 5 > 4a$
B.

${a^2} + 10 < 6a - 1$
C.

${a^2} + 1 > a$
D.

$ab - {b^2} \le {a^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương pháp xét hiệu.

Lời giải chi tiết :

* ${a^2} + 5 - 4a = {a^2} - 4a + 4 + 1 = {(a - 2)^2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên ${a^2} + 5 > 4a$

* ${a^2} + 1 - a = {a^2} - 2a.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0$(luôn đúng) nên ${a^2} + 1 > a$

$\begin{array}{l}\,\,{a^2} + 10 - \left( {6a + 1} \right)\\ = {a^2} - 6a + 10 - 1\\ = {a^2} - 6a + 9\\ = {\left( {a - 3} \right)^2} \ge 0\end{array}$

Vì ${(a - 3)^2} \ge 0$ (luôn đúng) nên ${a^2} + 10 > 6a + 1$ . Do đó B sai.

* Ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} \ge ab - {b^2} \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a.\dfrac{b}{2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\end{array}$

Vì ${\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0$(luôn đúng) nên ${a^2} \ge ab - {b^2}$.

Câu 23 :

Cho $x + y > 1.$ Chọn khẳng định đúng

A.

${x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}$
B.

${x^2} + {y^2} < \dfrac{1}{2}$
C.

${x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{2}$
D.

${x^2} + {y^2} \le \dfrac{1}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng các hằng đẳng thức cơ bản

+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.

Lời giải chi tiết :

Từ $x + y > 1$ , bình phương hai vế (hai vế đều dương) được ${x^2} + 2xy + {y^2} > 1$ (1)

Từ ${(x - y)^2} \ge 0$ suy ra ${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.$(2)

Cộng từng vế (1) với (2) được $2{x^2} + 2{y^2} > 1.$

Chia hai vế cho $2$ được ${x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}.$

Câu 24 :

A.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có nhiều nghiệm hơn phương trình $\left( 2 \right)$
B.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có ít nghiệm hơn phương trình $\left( 2 \right)$
C.

Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt
D.

Cả hai phương trình đều vô số nghiệm

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để giải phương trình $\left( 1 \right)$ ta thực hiện các bước sau:

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa $\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..$

+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Để giải phương trình $\left( 2 \right)$, ta chuyển vế biến đổi phương trình về dạng $\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

* Xét phương trình $4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)$

TH1: $\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1$ khi $x \ge \dfrac{1}{2}$

Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 $$\Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 $$\Leftrightarrow 2x - 1 = 3 $$\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)$

TH2: $\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x$ khi $x < \dfrac{1}{2}$

Phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 $$\Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 $$\Leftrightarrow 1 - 2x = 3 $$ \Leftrightarrow x = - 1\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm $x = - 1;\,x = 2$.

Xét phương trình

$\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 = - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x = - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm là $x = \dfrac{5}{2};x = - \dfrac{7}{{12}}.$

Câu 25 :

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình $\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|$ là

A.

$\dfrac{1}{7}$
B.

$5$
C.

$ - \dfrac{1}{7}$
D.

$ - 5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Vận dụng tính chất: $\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right..$

Ta có: $\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 3x = 4x - 3\\2 + 3x = 3 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\7x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \dfrac{1}{7}\end{array} \right.$

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $x = \dfrac{1}{7}$ .

Câu 26 :

A.

$x = 5;\,y = 10$.
B.

$x = 6;\,y = 12$
C.

$x = 12;\,y = 18$
D.

$x = 6;\,y = 18$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sắp xếp các cạnh của tam giác theo thứ tự tăng dần.

+ Lập tỉ lệ cạnh và tính $x,y$ .

Lời giải chi tiết :

Tam giác thứ nhất có các cạnh là $8 < x < y$

Tam giác thứ hai có các cạnh là $x < y < 27$ .

Vì hai tam giác đồng dạng nên $\dfrac{8}{x} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{{27}}$ ta có $x.y = 8.27$ và ${x^2} = 8y.$

Do đó ${x^2} = 8y = 8 \cdot \dfrac{{8.27}}{x}$nên ${x^3} = 64.27 = {\left( {4.3} \right)^3}.$

Vậy $x = 12,y = 18.$

Câu 27 :

Tam giác ABC có $\widehat A = 2\widehat B$, $AB = 11\,{\rm{cm}}$, $AC = 25\,{\rm{cm}}$. Tính độ dài cạnh $BC$ .

A.

$30\,cm$
B.

$20\,cm$
C.

$25\,cm$
D.

$15\,cm$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB$

Bước 2: Tìm dữ kiện cần để chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Bước 3: Từ tam giác đồng dạng suy ra tỉ lệ cạnh thích hợp để tính $BC$ .

Lời giải chi tiết :

Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB$ .

Tam giác $ABD$ cân tại $A$ nên $\widehat {BAC} = \widehat {{B_1}} + \widehat D = 2\widehat D$ .

Ta lại có $\widehat {BAC} = 2\widehat {{B_2}}$ nên $\widehat D = \widehat {{B_2}}$ .

Xét $\Delta CBA$ và $\Delta CDB$ có $\widehat C$ chung và $\widehat D = \widehat {{B_2}}$

Nên $\Delta CBA\backsim\Delta CDB\,\left( {g - g} \right)$ nên $\dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}$ ,

tức là $\dfrac{{CB}}{{36}} = \dfrac{{25}}{{BC}}$. Từ đó $B{C^2} = 25.36$

suy ra $BC = 5.6 = 30(cm)$.

Câu 28 :

Với giả thiết được cho trong hình, kết quả nào sau đây là đúng ?

A.

$y = 10$
B.

$x = 4,8$
C.

$x = 5$
D.

$y = 8,25$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để tìm ra tỉ lệ thức thích hợp.

- Tính độ dài $x,y$ dựa vào dữ kiện tìm được và dữ kiện đề bài đã cho (áp dụng định lý Pytago).

Lời giải chi tiết :

Xét 2 tam giác vuông $\Delta ADO$$(\widehat {DAO} = {90^0})$ và $\Delta ECO$$(\widehat {CEO} = {90^0})$ ta có:

$\widehat {AOD} = \widehat {EOC}$ (2 góc đối đỉnh)

$ \Rightarrow \Delta ADO\backsim\Delta ECO\;(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{EC}} = \dfrac{{DO}}{{CO}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{x} = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{{4.6}}{5} = 4,8$

Vì $\Delta ADO$ vuông tại A nên áp dụng định lý Pitago ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{D^2} + A{O^2} = O{D^2}\\ \Leftrightarrow {4^2} + A{O^2} = {5^2}\\ \Leftrightarrow A{O^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow AO = 3\end{array}$

Xét 2 tam giác vuông $\Delta CEO\;(\widehat {CEO} = {90^0})$ và $\Delta CAB\;(\widehat {CAB} = {90^0})$ có:$\widehat C$ chung

$ \Rightarrow \dfrac{{CO}}{{CB}} = \dfrac{{CE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{CO}}{{CE + EB}} = \dfrac{{CE}}{{CO + OA}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{4,8 + y}} = \dfrac{{4,8}}{{6 + 3}} \Leftrightarrow y = 6,45$

Vậy $x = 4,8;\;y = 6,45$.

Câu 29 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính số đo góc $AB'C$ .

A.

$90^\circ $.
B.

$45^\circ $.
C.

$30^\circ $.
D.

$60^\circ $.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Mối quan hệ giữa các cạnh trong hình hộp chữ nhật từ đó suy ra số đo góc.

Lời giải chi tiết :

Các tam giác $ABC,ABB',CBB'$ vuông cân nên $AC = AB' = B'C$ .

Tam giác $AB'C$ có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều, suy ra $\widehat {AB'C} = {60^0}$ .

Câu 30 :

Biết rằng phương trình ${\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1$ có nghiệm lớn nhất là ${x_0}$ . Chọn hẳng định đúng.

A.

${x_0} = 3$
B.

${x_0} < 2$
C.

${x_0} > 1$
D.

${x_0} < 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Thêm $4{x^2}$ vào hai vế rồi đưa phương trình về dạng ${A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Cộng $4{x^2}$ vào hai vế ta được

$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 = 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + 4{x^2} = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 2x + 1\\{x^2} + 1 = - 2x - 1\end{array} \right.\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\\{x^2} + 2x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ {0;2} \right\}$ , nghiệm lớn nhất là ${x_0} = 2 > 1$ .

Câu 31 :

Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4$ là

A.

$x > 1972$
B.

$x < 1972$
C.

$x < 1973$
D.

$x < 1297$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Cộng hai vế với $\left( { - 4} \right)$, sau đó trừ mỗi phân thức cho $1$

+ Quy đồng hợp lý để xuất hiện nhân tử chung.
+ Đặt nhân tử chung và đánh giá hạng tử để giải bất phương trình

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4$$ \Leftrightarrow \dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 4 > 0$$ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{1987 - x}}{{15}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{1988 - x}}{{16}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{27 + x}}{{1999}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 1} \right) > 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{1972 - x}}{{15}} + \dfrac{{1972 - x}}{{16}} + \dfrac{{x - 1972}}{{1999}} + \dfrac{{x - 1972}}{{2000}} > 0$$\Leftrightarrow \left( {1972 - x} \right)\left( {\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}}} \right) > 0$

Mà $\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}} > 0$ nên $1972 - x > 0 $$\Leftrightarrow x < 1972$

Vậy $x < 1972$ .

Câu 32 :

A.

$8\,cm$
B.

$7\,cm$
C.

$6\,cm$
D.

$5\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng công thức thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

+ Dùng hằng đẳng thức để biện luận theo yêu cầu đề bài.

Lời giải chi tiết :

Gọi $a$ và $b$ là các kích thước của đáy.

Ta có $V = 6ab$ nên $V$ lớn nhất $ \Leftrightarrow $ $ab$ lớn nhất

${S_{xq}} = 120$ nên $2\left( {a + b} \right).6 = 120$ hay $a + b = 10$.

Ta có: $ab = a\left( {10 - a} \right) = - {a^2} + 10a = - {\left( {a - 5} \right)^2} + 25 \le 25$.

Suy ra $V = 6ab \le 6.25 = 150$.

Thể tích lớn nhất bằng $150$ ${\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$ khi $a = b = 5$, tức là các cạnh đáy bằng $5$ cm.

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 8 - Đề số 2

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý