1. Phương trình dạng căn A(x) = căn B(x)
Để giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \), ta thực hiện như sau:
- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.
- Thử lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho không và kết luận nghiệm.
Ví dụ minh hoạ:
1) Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x - 2} = \sqrt {{x^2} - x - 2} \).
Giải:
Bình phương hai vế của phương trình, ta được \(2{x^2} - 4 - 2 = {x^2} - x - 2\).
Sau khi thu gọn, ta được \({x^2} - 3x = 0\). Từ đó tìm được x = 0 hoặc x = 3.
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta chỉ thấy có x = 3 thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.
2) Giải phương trình $\sqrt{2x^{2} - 6x - 8} = \sqrt{x^{2} - 5x - 2}$.
Giải:
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
$2x^{2} - 6x - 8 = x^{2} - 5x - 2$
$\Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$
$\Rightarrow x = -2$ hoặc $x = 3$.
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = -2$ thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = -2$.
3) Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 6x - 4} = \sqrt{x - 4}$.
Giải:
Bình phương hai vế của (1) ta được $x^{2} - 6x - 4 = x - 4$ (2)
Ta có: $(2) \Leftrightarrow x^{2} - 7x = 0$.
Do đó, phương trình (2) có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = 7$.
Thay lần lượt hai giá trị trên vào bất phương trình $x - 4 \geq 0$, ta thấy chỉ có $x = 7$ thoả mãn bất phương trình.
Vậy nghiệm của phương trình (1) là $x = 7$.
2. Phương trình dạng căn A(x) = B(x)
Để giải phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = dx + e\), ta thực hiện như sau:
- Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.
- Thứ lại các giá trị x tìm được ở trên có thoả mãn phương trình đã cho không và kết luận nghiệm.
Ví dụ minh hoạ:
1) Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = x - 1\).
Giải:
Bình phương hai vế của phương trình, ta được \(2{x^2} - 5x - 9 = {x^2} - 2x + 1\).
Sau khi thu gọn, ta được \({x^2} - 3x - 10 = 0\). Từ đó tìm được x = -2 hoặc x = 5.
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta chỉ thấy có x = 5 thoả mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5.
2) Giải phương trình $\sqrt{3x^{2} + 5x - 13} = x + 1$.
Giải:
Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:
$3x^{2} + 5x - 13 = (x + 1)^{2}$
$\Rightarrow 3x^{2} + 5x - 13 = x^{2} + 2x + 1$
$\Rightarrow 2x^{2} + 3x - 14 = 0$
$\Rightarrow x = -\frac{7}{2}$ hoặc $x = 2$.
Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x = 2$ thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = 2$.
3) Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 6x + 6} = 2x - 1$ (5)
Giải:
Trước hết ta giải bất phương trình $2x - 1 \geq 0$ (6)
Ta có: (6) $\Leftrightarrow 2x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$.
Bình phương hai vế của (5) ta được $x^{2} - 6x + 6 = (2x - 1)^{2}$ (7)
Ta có: (7) $\Leftrightarrow x^{2} - 6x + 6 = 4x^{2} - 4x + 1 \Leftrightarrow 3x^{2} + 2x - 5 = 0$.
Do đó, phương trình (7) có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = \frac{-5}{3}$.
Trong hai giá trị trên, chỉ có giá trị $x = 1$ là thoả mãn $x \geq \frac{1}{2}$. Vậy phương trình (5) có nghiệm là $x = 1$.
