Cho hình chữ nhật \(ABCD\), kẻ \(AH \bot BD\) tại \(H\).

a) Chứng minh \(\Delta ADH\) đồng dạng với \(\Delta BDA\).

b) Chứng minh \(\Delta AHD\) đồng dạng với \(\Delta BHA\) và \(A{H^2} = DH.BH\)

c) Tính \(AD, AB\) biết \(DH = 9 cm, BH = 16 cm\).

d) Gọi \(K, M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AH, BH, CD\). Chứng minh rằng tứ giác \(MNDK\) là hình bình hành và \(\widehat {AMN} = {90^o}\).

a) Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta DAB\) có:

\(\widehat {AHD} = \widehat {DAB} = {90^o}\)

\(\widehat {ABD}\) chung

Suy ra \(\Delta AHD\) ᔕ \(\Delta DAB\) (g.g)

b) Ta thấy \(\widehat {HAD} + \widehat {HAB} = \widehat {ABH} + \widehat {HAB} = {90^o}\)

Suy ra: \(\widehat {HAD} = \widehat {ABH}\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta BHA\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {AHD} = \widehat {BHA} = {90^o}\\\widehat {HAD} = \widehat {ABH}\end{array}\)

Suy ra \(\Delta AHD\) ᔕ \(\Delta BHA\) (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HD}}{{AH}}\). Suy ra \(A{H^2} = HB.HD\)

c) Ta có \(A{H^2} = HB.HD\) (cmt)

Thay số, ta được: \(A{H^2} = 9.16 = 144\)

Suy ra: \(AH = \sqrt {144}  = 12\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý pythagore vào tam giác vuông \(AHD\) và \(AHB\), ta có:

\(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {12^2} + {16^2} = 400\)

Suy ra \(AB = \sqrt {400}  = 20\,\left( {cm} \right)\)

\(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} = {12^2} + {9^2} = 225\)

Suy ra \(AD = \sqrt {225}  = 15\,\left( {cm} \right)\)

d) Xét \(\Delta AHB\) có \(K, M\) lần lượt là trung điểm của \(HA, HB\) nên \(KM\) là đường trung bình của \(\Delta AHB\)

Suy ra \(KM\parallel AB;\,KM = \frac{1}{2}AB\)

Mà \(AB\parallel CD;\,AB = CD;\,DN = \frac{1}{2}CD\)

Nên \(KM\parallel DN;\,KM = DN\)

Tứ giác \(KMND\) là hình bình hành

Ta thấy \(KM\parallel CD\) mà \(DC \bot AD\) nên \(MK \bot AD\)

Tam giác \(ADM\) có \(MK \bot AD;\,AH \bot DM\) nên \(K\) là trực tâm của tam giác \(ADM\)

Suy ra: \(HK \bot AM\)

Lại có \(MN\parallel DK\) nên \(MN \bot AM\) hay \(\widehat {AMN} = {90^o}\)