Chứng minh rằng dãy số \({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}\) tăng và bị chặn trên.
Sử dụng kiến thức về dãy số tăng: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Sử dụng kiến thức về dãy số bị chặn trên: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Ta có: \({u_n} = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + \ldots + \frac{{(n + 1) - n}}{{n(n + 1)}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\)
Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} - \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) tăng
Nhận thấy \({u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
