Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \).
Bước 1: Tìm \({y_{n + 1}}\).
Bước 2: Xét hiệu \({y_{n + 1}} - {y_n}\) hoặc xét thương \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}}\) nếu các số hạng của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là số dương.
Bước 3: Kết luận:
– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} > 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} > 1\) thì \({y_{n + 1}} > {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số tăng.
– Nếu \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0\) hoặc \(\frac{{{y_{n + 1}}}}{{{y_n}}} < 1\) thì \({y_{n + 1}} < {y_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Cách 1:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{y_{n + 1}} - {y_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) - \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)}}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n - \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} = \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}\end{array}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt n - \sqrt {n + 2} < 0\\\sqrt {n + 2} > 0,\sqrt {n + 1} > 0,\sqrt n > 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right) > 0\end{array} \right\}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt n - \sqrt {n + 2} }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}} < 0\end{array}\)
Vậy \({y_{n + 1}} - {y_n} < 0 \Leftrightarrow {y_{n + 1}} < {y_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Cách 2:
Ta có: \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - n}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)
\( \Rightarrow {y_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {n + 1} \right) + 1} - \sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(\begin{array}{l}0 < n < n + 2 \Leftrightarrow \sqrt n < \sqrt {n + 2} \Leftrightarrow \sqrt {n + 1} + \sqrt n < \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} \Leftrightarrow {y_n} > {y_{n + 1}}\end{array}\)
Vậy dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Các bài tập cùng chuyên đề
Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi \({s_n}\) (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:
\( s_1 = 200, s_n = s_{n-1} +25\) với \(n \ge 2\)
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.
b) Chứng minh \(\left( {{s_n}} \right)\) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.
Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = 2n - 1\).
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n},\;\forall \;n\; \in {N^*}\)
a) So sánh \({u_n}\) và 1.
b) So sánh \({u_n}\) và 2.
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).
a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3n - 1\). Tính \({u_{n + 1}}\) và so sánh với \({u_n}\).
b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính \({v_{n + 1}}\) và so sánh với \({v_n}\).
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \({u_n} = 2n - 1\);
b) \({u_n} = - 3n + 2\);
c) \({u_n} = \frac{\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{2^n}\)
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) \({u_n} = n - 1\);
b) \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\);
c) \({u_n} = sin\;n\;\);
d) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{n^2}\).
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.
B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.
C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.
D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.
Chứng minh rằng dãy số \((v_n)\) với \(v_n = \frac{1}{3^x}\) là một dãy số giảm.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2}\). Tính \({u_{n + 1}}\). Từ đó hãy so sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4}\) là bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\). Khẳng định \({u_n} \le 2\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) có đúng không?
Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \({u_n} = \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\)
b) \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\)
c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\)
Chứng minh rằng:
a) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = {n^2} + 2\) là bị chặn dưới;
b) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = - 2n + 1\) là bị chặn trên;
c) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\) là bị chặn
Cho dãy số dương \(\left( {{u_n}} \right)\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng khi và chỉ khi \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?
A. \({u_n} = \sin n\)
B. \({u_n} = n{\left( { - 1} \right)^n}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{n}\)
D. \({u_n} = {2^{n + 1}}\)
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:
a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)
b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)
Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).
a) Gọi \({u_1} = 25\) là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, \({u_n}\) là số cột gỗ có ở hàng thứ \(n\) tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
b) Gọi \({v_1} = 14\) là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, \({v_n}\) là số cột gỗ có ở hàng thứ \(n\) tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.
Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\);
b) \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \frac{{n + 2}}{{{4^n}}}\);
c) \(\left( {{t_n}} \right)\) với \({t_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\).
Cho hai dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_n}} \right)\) được xác định như sau: \({a_n} = 3n + 1;\) \({b_n} = - 5n\).
a) So sánh \({a_n}\) và \({a_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
b) So sánh \({b_n}\) và \({b_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = \cos \frac{\pi }{n}\);
b) \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\). So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4}\);
b) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{6n - 4}}{{n + 2}}\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).
Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{na + 2}}{{n + 1}}\). Tìm giá trị của \(a\) để:
a) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng;
b) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng và bị chặn.
B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Dãy số giảm và bị chặn trên.
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}\).
Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\).
Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = n + \frac{1}{n}\). Tìm m để dãy số \(({u_n})\) bị chặn dưới bởi m.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{3n - 1}}{{3n + 1}}\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên bởi số nào dưới đây?
