Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

A. Lý thuyết

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

Hàm số \(y = {x^n}\) \((n \in {\mathbb{N}^*})\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(({x^n})' = n{x^{n - 1}}\).

Ghi chú:

+ c’ = 0.

+ x’ = 1.

+ \((\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) \((x \ne 0)\).

+ \(\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}\) \((x \ne 0)\).

2. Các quy tắc tính đạo hàm

a) Đạo hàm của tổng, hiệu hai hàm số

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì

(u + v)’= u’ + v’;

(u – v)’ = u’ – v’.

b) Đạo hàm của tích, thương hai hàm số

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên khoảng xác định thì

(u.v)’ = u’v + uv’;

\(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) \((v = v(x) \ne 0)\).

Lưu ý:

+ (k.u)’ = ku’ với \(k \in \mathbb{R}\).

+ \(\left( {\frac{k}{v}} \right)' = \frac{{kv'}}{{{v^2}}}\) với \(k \in \mathbb{R}\).

c) Đạo hàm của hàm hợp

* Hàm hợp

Cho hai hàm số f(u) và u = u(x). Hàm số y = f(u(x)) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f(u) và u(x).

* Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x là u’(x) và u = f(u) có đạo hàm tại u là f’(u) thì hàm hợp g(x) = f(u(x)) có đạo hàm tại x là

g’(x) = f’(u).u’(x).

3. Đạo hàm của một số hàm số khác

a) Đạo hàm của hàm số lượng giác

+ (sinx)’ = cosx

+ (cosx)’ = -sinx

+ \((\tan x)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\), \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\)

+ \((\cot x)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\), \(x \ne k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\)

b) Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

Cho a > 0, \(a \ne 1\).

+ \(({a^x})' = {a^x}\ln a\)

+ \(({e^x})' = {e^x}\), \(x \in \mathbb{R}\)

+ \(({\log _a}x)' = \frac{1}{{x\ln a}}\), x > 0

+ \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), x > 0

B. Bài tập

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^5} - {x^3} + x - 10\).

Giải:

\(y' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {{x^3}} \right)' + \left( x \right)' - \left( {10} \right)' = 5{x^4} - 3{x^2} + 1\).

Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 4{x^2} - \frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{5}{x}\).

b) \(y = (2{x^3} + 1)(\sqrt x - 3)\).

c) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).

Giải:

a) Với x > 0, ta có \(y = 4\left( {{x^2}} \right)' - \frac{1}{2}\left( {\sqrt x } \right)' + 5\left( {\frac{1}{x}} \right)' = 8x - \frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{5}{{{x^2}}}\).

b) Với x > 0, ta có \(y' = (2{x^3} + 1)'(\sqrt x - 3) + (2{x^3} + 1)(\sqrt x - 3)' = 6{x^2}(\sqrt x - 3) + (2{x^3} + 1)\frac{1}{{2\sqrt x }}\).

c) Với \(x \ne - 1\), ta có \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2(x + 1) - (2x - 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {({x^2} + x)^8}\).

b) \(y = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\).

Giải:

a) \(y = \left[ {{{({x^2} + x)}^8}} \right]' = ({x^2} + x)'.8{({x^2} + x)^{8 - 1}} = 8(2x + 1){({x^2} + x)^7}\).

b) \(y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{{2\sqrt x }}\).

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 2\sin x - 3\cos x\).

b) \(y = x\tan x\).

c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

d) \(y = {\cos ^3}3x\).

Giải:

a) \(y' = 2\left( {\sin x} \right)' - 3\left( {\cos x} \right)' = 2\cos x + 3\sin x\).

b) Với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\), ta có \(y = x'.\tan x + x.(\tan x)' = \tan x + \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\).

c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).

d) \(y' = 3{\cos ^2}3x.(\cos 3x)' = - 3{\cos ^2}3x.(3x)'.\sin 3x = - 9{\cos ^2}3x.\sin 3x\).

Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {3^{2{x^2} - x}}\).