Giải bài 6.29 trang 61 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat B < \widehat C$. Trên cạnh $AB$, lấy điểm $D$ sao cho $\widehat {ACD} = \widehat B$. Cho $AD = 5cm,BD = 15cm$ và $CD = 12cm$.

a) Chứng minh rằng $A{C^2} = AB.AD$

b) Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

c) Tia phân giác của góc $A$ cắt $CD$ tại $M$ và cắt $BC$ tại $N$. Tính tỉ số $\frac{{AM}}{{AN}}$

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác $ABC$ và tam giác $ACD$, ta có:

$\widehat A$ là góc chung

$\widehat {ACD} = \widehat B$ (gt)

=> $\Delta ABC$ ∽ $\Delta ACD$ (g-g)

Ta có tỉ số đồng dạng:

$\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}}\\ AB.AD = AC.AC\\ \\ A{C^2} = AB.AD\end{array}$

b) Vì  $\Delta ABC$ ∽ $\Delta ACD$ nên ta có:

$\begin{array}{l}\;\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{CD}}\\ \Leftrightarrow \frac{{20}}{{AC}} = \frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{{12}}\end{array}$

Mà

 $\begin{array}{l}A{C^2} = AB.AD\\ \Rightarrow A{C^2} = 20.5\\ \Rightarrow A{C^2} = 100\\ \Rightarrow AC = 10\end{array}$

Suy ra $\frac{{AC}}{5} = \frac{{BC}}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{10}}{5} = \frac{{BC}}{{12}} \Rightarrow BC = 24$

Vậy tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh $AB = 20;AC = 10;BC = 24$

c) Xét tam giác $AMD$ và tam giác $ANC$, ta có:

$\widehat {DAM} = \widehat {NAC}$ (do $AN$ là tia phân giác góc A)

$\widehat {ADM} = \widehat {ACN}$ (do $\Delta ABC$ ∽ $\Delta ACD$)

=> $\Delta AMD$ ∽ $\Delta ACN$ (g-g)

Ta có tỉ số đồng dạng:

$\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2}$