Giải bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Cho vectơ a khác 0. Chứng minh rằng 1/|a|. a (hay còn được viết là a/|a| là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.

Đề bài

Cho vectơ $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a$ (hay còn được viết là $\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$ .

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là (x; y).

Ta có: $|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$ .

Đặt $\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a$

$\Rightarrow \overrightarrow i = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)$

$\Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = 1$

Mặt khác:

$\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a$ và $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0$ với mọi $x,y \ne 0$

Do đó vectơ $\overrightarrow i$ và $\overrightarrow a$ cùng hướng.

Vậy $\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a$ (hay $\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$ .

Cách 2:

Với mọi vectơ $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$ , ta có: $|\overrightarrow a |\; > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0$ . Đặt $\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a = k.\overrightarrow a$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \;|k.\overrightarrow a |\; = \;|k|.|\overrightarrow a |\;\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {\,i} \,} \right| = k.|\overrightarrow a |\; = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\end{array}$

Mặt khác: $\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a = k.\overrightarrow a$ và $k > 0$

Do đó vectơ $\overrightarrow i$ và $\overrightarrow a$ cùng hướng.

Vậy $\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a$ (hay $\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$ .

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.4 trên 11 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Cho ba vectơ a, b, u với |a|=1, |b|=1 và a vuông góc với b. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i=a,j=b. Chứng minh rằng: a) Vectơ u có tọa độ là (u.a; u.b) b) u= (u.a).a +(u.b).b
Giải bài 4.39 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng S15E với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.
Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5). a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ AB và CD b) Hãy giải thích tại sao các vectơ AB và CD cùng phương. c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ AC và BE cùng phương. d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ AE theo các vectơ AB và AC.
Giải bài 4.35 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2). a) Tìm tọa độ của các vectơ BA và BC b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó. c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.
Giải bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có MA + MC = MB + MD
Giải bài 4.33 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3 MC.
Giải bài 4.32 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. AB.BD=45 B. AC.BC=45 và AC.BC=a^2 C. AC.BD= D. BA.BD=- a^2
Giải bài 4.31 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Giải bài 4.30 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Góc giữa vectơ a =(1; -1) và vectơ b = (- 2;0) có số đo bằng
Giải bài 4.29 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?
Giải bài 4.28 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau? A. u = (2;3) và v =(4;6) B. a = (1; - 1) và b = ( - 1;1) C. z = (a;b) và t = ( - b;a) D. n = (1;1) và k = (2;0)
Giải bài 4.27 trang 71 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.