Bài 3.37 trang 132 SBT đại số và giải tích 11


Giải bài 3.37 trang 132 sách bài tập đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng

LG a

\({n^5} - n\) chia hết cho 5 với mọi \(n \in N^*\) 

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 1\) thì \({n^5} - n = {1^5} - 1 = 0 \vdots 5\) nên mệnh đề đúng.

Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k\), nghĩa là \(\left( {{k^5} - k} \right) \vdots 5\). Ta sẽ chứng minh \(\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^5} - \left( {k + 1} \right)} \right] \vdots 5\).

Thật vậy,

\({\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right)\) \( = \left( {{k^5} + 5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k + 1} \right) - k - 1\)

\( = \left( {{k^5} - k} \right) + \left( {5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k} \right)\)

Vì \(\left( {{k^5} - k} \right) \vdots 5\) và \(\left( {5{k^4} + 10{k^3} + 10{k^2} + 5k} \right) \vdots 5\) nên \({\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) \vdots 5\)

Vậy ta có đpcm.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2025

LG b

Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({A_n} = {n^3} + {\left( {n + 1} \right)^3} + {\left( {n + 2} \right)^3},\) dễ thấy \({A_1} \vdots 9.\)

Giả sử đã có \({A_k} \vdots 9\) với \(k \ge 1.\) Ta phải chứng minh \({A_{k + 1}} \vdots 9.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + {\left( {k + 3} \right)^3}\\ = {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + \left( {{k^3} + 9{k^2} + 27k + 27} \right)\\ = {k^3} + {\left( {k + 1} \right)^3} + {\left( {k + 2} \right)^3} + 9{k^2} + 27k + 27\\ = {A_k} + 9{k^2} + 27k + 27.\end{array}\)

Vì \({A_k} \vdots 9\) và \(9{k^2} + 27k + 27 \vdots 9\) nên \({A_{k + 1}} \vdots 9\).

Vậy ta có đpcm.

LG c

\({n^3} - n\) chia hết cho 6 với mọi \(n \in N^*\)

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\), ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi \(n = 1\).

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên \(n = k\left( {k \ge 1} \right)\) và chứng minh rằng nó cũng đúng với \(n = k + 1\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \({B_n} = {n^3} - n\).

Với \(n = 1\) thì \({B_1} = {1^3} - 1 = 0 \vdots 6\).

Giả sử ta có \({B_k} \vdots 6,k \ge 1\). Ta cần chứng minh \({B_{k + 1}} \vdots 6\).

Thật vậy, \({B_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right)\) \( = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1\) \( = \left( {{k^3} - k} \right) + 3{k^2} + 3k\)\( = {B_k} + 3{k^2} + 3k \vdots 3\)

Vậy ta có đpcm.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.