-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 5
Đề bài
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{\sqrt 3 }}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{7\sqrt 3 }}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{\sqrt {21} }}\)
Cho hai điểm \(A\left( { - 3;1;2} \right),B\left( {1;1;0} \right)\), tọa độ trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là:
-
A.
\(M\left( { - 1;1;1} \right)\)
-
B.
\(M\left( { - 2;2;2} \right)\)
-
C.
\(M\left( { - 2;0;1} \right)\)
-
D.
\(M\left( { - 1;2;1} \right)\)
Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right].\) Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\,\,\,\left( a < b \right).\) Diện tích \(S\) của hình phẳng \(D\) được tính bởi công thức:
-
A.
\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x}.\)
-
B.
\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\,\text{d}x}.\)
-
C.
\(S=\left| \int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x} \right|.\)
-
D.
\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\,\text{d}x}.\)
Giả sử ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và $A,B$ là các điểm biểu diễn của ${z_1};{z_2}$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
-
A.
$\left( {0;1} \right)$
-
B.
$(0; - 1)$
-
C.
$\left( {1;1} \right)$
-
D.
$\left( {1;0} \right)$
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là
-
A.
\(z = 0\)
-
B.
\(x + y + z = 0\)
-
C.
\(y = 0\)
-
D.
\(x = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)\); \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai
-
A.
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3; - 3; - 3} \right)\)
-
B.
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \)
-
C.
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$?
-
A.
$M\left( {0,0,3} \right)$
-
B.
$N\left( {0,1,0} \right)$
-
C.
$P\left( { - 2,0,0} \right)$
-
D.
$Q\left( {1,0,1} \right)$
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), tính thể tích khối tứ diện \(OBCD\) biết \(B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),D\left( {0;0; - 3} \right)\).
-
A.
\(1\)
-
B.
\(6\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(2\)
Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = 3 + 2i\) và \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \(z' = 2 + 3i\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua trục hoành.
-
B.
Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua trục tung.
-
C.
Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua gốc tọa độ \(O\).
-
D.
Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\).
Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} \) thành:
-
A.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} \)
-
B.
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
-
C.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
-
D.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} \)
Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên. Vòm cổng có hình dạng một parabol. Giá \(1{m^2}\) cửa sắt là \(660\,000\) đồng. Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là:
-
A.
$6500.$
-
B.
\(\frac{{55}}{6}{.10^3}\).
-
C.
$5600.$
-
D.
$6050.$
Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?
-
A.
$4$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$2$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) và hai điểm \(M\left( 4;-\,4;2 \right),\,\,N\left( 6;0;6 \right).\) Gọi \(E\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(EM+EN\) đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E.\)
-
A.
\(x-2y+2z+8=0.\)
-
B.
\(2x+y-2z-9=0.\)
-
C.
\(2x+2y+z+1=0.\)
-
D.
\(2x-2y+z+9=0.\)
Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = x\cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\{\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\{\rm{d}}v = {x^2}\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\cos x\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\end{array} \right..$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là
-
A.
\({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)
-
B.
\({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
-
C.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)
-
D.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
Hàm số \(F\left( x \right) = {x^5} + 5{x^3} - x + 2\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? (C là hằng số).
-
A.
\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^6}}}{6} + 5.\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x + C\)
-
B.
\(f\left( x \right) = {x^4} + 5{x^2} - 1\)
-
C.
\(f\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} + 1\)
-
D.
\(f\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} - 1\)
Công thức tính độ dài véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là:
-
A.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {a + b + c} \)
-
B.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
-
C.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
-
D.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = {\left( {\sqrt {a + b + c} } \right)^2}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$
-
A.
$\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
-
B.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C} $
-
C.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
-
D.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C} $
Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây ?
-
A.
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx\).
-
B.
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)} dx\).
-
C.
\(V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx\).
-
D.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)}^2}} dx\).
Cho hai số phức \(z = 3 - 4i\) và \(z' = \left( {2 + m} \right) + mi\,\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\). Tổng tất cả các giá trị của m bằng
-
A.
\( - 1.\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt {46} }}{2}.\)
-
C.
\(0.\)
-
D.
\( - 2.\)
Đổi biến \(x = 4\sin t\) của tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \) ta được:
-
A.
\(I = - 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} \)
-
B.
\(I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \)
-
C.
\(I = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}tdt} \)
-
D.
\(I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} \)
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:
-
A.
\(6\pi \)
-
B.
\(12\pi \)
-
C.
\(3\pi \)
-
D.
\(10\pi \)
Véc tơ đơn vị trên trục \(Ox\) là:
-
A.
\(\overrightarrow i \)
-
B.
\(\overrightarrow j \)
-
C.
\(\overrightarrow k \)
-
D.
\(\overrightarrow 0 \)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto \(\overrightarrow a = \left( {m;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {1;n;2} \right)\) cùng phương thì \(2m + 3n\) bằng.
-
A.
\(6\)
-
B.
\(9\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(7\)
Viết công thức tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox?\)
-
A.
\(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
-
B.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
-
C.
\(V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
-
D.
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị dương trên \(\mathbb{R}.\) Gọi \({D_1}\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\) các đường \(x = 0,\,\,x = 1\) và trục \(Ox.\) Gọi \({D_2}\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}f\left( x \right),\) các đường \(x = 0,\,\,\,x = 1\) và trục \(Ox.\) Quay các hình phẳng \({D_1},\,\,{D_2}\) quanh trục \(Ox\) ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là \({V_1},\,\,{V_2}.\)
Khẳng định nào sau đâu là đúng?
-
A.
\({V_1} = 9{V_2}\)
-
B.
\({V_2} = 9{V_1}\)
-
C.
\({V_1} = 3{V_2}\)
-
D.
\({V_2} = 3{V_1}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây?
-
A.
$\left( {1; - 1;1} \right)$ và \(\left( {0;1;2} \right)\)
-
B.
$\left( {1;2;0} \right)$ và \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
-
C.
$\left( {0;1;2} \right)$ và \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
-
D.
$\left( {0;1;2} \right)$ và \(\left( {1;0;3} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - n = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + \left( {2m - 1} \right)t\end{array} \right.\). Với giá trị nào của \(m,{\rm{ }}n\) thì \(d\) song song \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n = 7\end{array} \right..\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - \dfrac{1}{2}\\n = 7\end{array} \right..\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..\)
Cho các phát biểu sau: (Với $C$ là hằng số):
(I) \(\int\limits_{}^{} {0dx} = x + C\)
(II) \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\)
(III) \(\int\limits_{}^{} {\sin xdx} = - \cos x + C\)
(IV) \(\int\limits_{}^{} {\cot xdx} = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + C\)
(V) \(\int\limits_{}^{} {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
(VI) \(\int\limits_{}^{} {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {\forall n \ne - 1} \right)\)
Số phát biểu đúng là:
-
A.
$4$
-
B.
$6$
-
C.
$5$
-
D.
$3$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 16 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.
-
A.
$\left( P \right):2x - 2y + z - 8 = 0$
-
B.
$\left( P \right): - 2x + 11y - 10{\rm{z}} - 105 = 0$
-
C.
$\left( P \right):2x - 11y + 10z - 35 = 0$
-
D.
\(\left( P \right) : - 2x + 2y - z + 11 = 0\)
Cho $I = \int {\dfrac{{d{\rm{x}}}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4}}} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} - \ln {\left( {\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4} \right)^n} + C$ ở đó \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị biểu thức \(S = \sin \dfrac{{n\pi }}{8}\) là:
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
$0$
-
C.
$1$
-
D.
$-1$
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}\).
-
A.
\(I=\frac{4581}{5000}\).
-
B.
\(I=\log \frac{5}{2}\).
-
C.
\(I=\ln \frac{5}{2}\).
-
D.
\(I=-\frac{21}{100}\).
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} \)
-
A.
\(I = - \dfrac{1}{4}{\pi ^4}\)
-
B.
\(I = - {\pi ^4}\)
-
C.
$I = 0 $
-
D.
\(I = - \dfrac{1}{4}\)
Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx} = a + b\pi \), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\).
-
A.
$S = 0$
-
B.
$S = 1$
-
C.
\(S = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{3}{8}\)
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}-4x+4\), trục tung, trục hoành. Giá trị của k để đường thẳng d đi qua \(A(0;4)\) có hệ số góc k chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau là
-
A.
\(k=-6\).
-
B.
\(k=-2\).
-
C.
\(k=-8\).
-
D.
\(k=-4\).
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0,x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
-
A.
\(V=\frac{{{\text{e}}^{2}}-1}{2}\).
-
B.
\(V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}+1)}{2}\).
-
C.
\(V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}-1)}{2}\)
-
D.
\(V=\frac{\pi {{\text{e}}^{2}}}{2}\).
Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
-
A.
$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
-
B.
$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
-
C.
$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
-
D.
$\left| z \right| = \sqrt 2 $
Gọi ${z_1},{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1$. Giá trị của $P = {z_1}^3 + {z_2}^3$ là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10\).
-
A.
Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100.\)
-
B.
Elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).
-
C.
Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10.\)
-
D.
Elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
-
A.
\(M(0;1;0)\)
-
B.
\(M(1;0;0)\)
-
C.
\(M(0;1;2)\)
-
D.
\(M( - 1;0;0)\)
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( { - 3;0;0} \right);\,\,B\left( {0; - 2;0} \right);\) \(C\left( {0;0;1} \right)\) được viết dưới dạng \(ax + by - 6z + c = 0\). Giá trị của \(T = a + b - c\) là :
-
A.
\( - 11\)
-
B.
\( - 7\)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
\(11\)
Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1;1} \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 8}}{1} = \dfrac{z}{1}\). Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
-
A.
\(\left( {1;0;0} \right)\).
-
B.
\(\left( {0; - 5;3} \right)\).
-
C.
\(\left( {0;3; - 5} \right)\).
-
D.
\(\left( {0; - 3;1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, mặt cầu đi qua bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\) \(B\left( {0; - 2;0} \right),\) \(C\left( {0;0;4} \right)\) và gốc tọa độ O có bán kính bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{4}\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{6}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
-
A.
$x - 2y + 3z - 2 = 0$
-
B.
$x - 2y - 3z - 2 = 0$
-
C.
$x + 2y - 3z - 6 = 0$
-
D.
$2x - y - 1 = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right);\,\,B\left( {0;4;0} \right);\,\,C\left( {0;0;6} \right)\). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho \(OM.ON = 12\). Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?
-
A.
\(\dfrac{7}{2}\)
-
B.
\(3\sqrt 2 \)
-
C.
\(2\sqrt 3 \)
-
D.
\(\dfrac{5}{2}\)
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 6,\) tiếp xúc với hai mặt phẳng \((P):x + y + 2z\, + \,5 = 0,\,\,(Q):2x - y + z\, - \,5 = 0\) lần lượt tại các tiếp điểm $A,\,\,B.$ Độ dài đoạn thẳng $AB$ là
-
A.
\(2\sqrt 3 .\)
-
B.
\(\sqrt 3 .\)
-
C.
\(2\sqrt 6 .\)
-
D.
\(3\sqrt 2 .\)
Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \dfrac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của $m$ bằng :
-
A.
$2$.
-
B.
$7$.
-
C.
$4$.
-
D.
$5$.
Đặt \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 4 - {x^2}\), trục hoành và đường thẳng \(x = - 2\), \(x = m\), \(\left( { - 2 < m < 2} \right)\). Tìm số giá trị của tham số \(m\) để \(S = \dfrac{{25}}{3}\).
-
A.
\(2\).
-
B.
\(3\).
-
C.
\(4\).
-
D.
\(1\).
Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - wz - 4} \right|\) bằng:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(2\left( {\sqrt {29} - 3} \right)\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(2\left( {\sqrt {29} - 5} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( {{Q}_{1}} \right):\,\,3x-y+4z+2=0\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right):\,\,3x-y+4z+8=0\). Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng \(\left( {{Q}_{1}} \right)\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right)\) là:
-
A.
\(\left( P \right):\,\,3x-y+4z+10=0\)
-
B.
\(\left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0\)
-
C.
\(\left( P \right):\,\,3x-y+4z-10=0\)
-
D.
\(\left( P \right):\,\,3x-y+4y-5=0\)
Lời giải và đáp án
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{\sqrt 3 }}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{7\sqrt 3 }}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{\sqrt {21} }}\)
Đáp án : A
- Tìm hai điểm đi qua của hai đường thẳng.
- Tìm các VTCP của hai đường thẳng.
- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \({M_1}\left( {0;1;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \({M_2}\left( { - 1;0; - 1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 7;7;7} \right)\)
Vậy \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 7} \right).\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Cho hai điểm \(A\left( { - 3;1;2} \right),B\left( {1;1;0} \right)\), tọa độ trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là:
-
A.
\(M\left( { - 1;1;1} \right)\)
-
B.
\(M\left( { - 2;2;2} \right)\)
-
C.
\(M\left( { - 2;0;1} \right)\)
-
D.
\(M\left( { - 1;2;1} \right)\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức trung điểm đoạn thẳng \(M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\\{z_M} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 0}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1;1} \right)\)
Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right].\) Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\,\,\,\left( a < b \right).\) Diện tích \(S\) của hình phẳng \(D\) được tính bởi công thức:
-
A.
\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x}.\)
-
B.
\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left[ g\left( x \right)-f\left( x \right) \right]\,\text{d}x}.\)
-
C.
\(S=\left| \int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]\,\text{d}x} \right|.\)
-
D.
\(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\,\text{d}x}.\)
Đáp án : D
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
Diện tích \(S\) của hình phẳng \(D\) được tính theo công thức là \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|\,\text{d}x}.\)
Giả sử ${z_1};{z_2}$ là hai nghiệm phức của phương trình: ${z^2} - 2z + 5 = 0$ và $A,B$ là các điểm biểu diễn của ${z_1};{z_2}$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là
-
A.
$\left( {0;1} \right)$
-
B.
$(0; - 1)$
-
C.
$\left( {1;1} \right)$
-
D.
$\left( {1;0} \right)$
Đáp án : D
- Giải phương trình bậc hai tìm hai nghiệm \({z_1},{z_2}\).
- Số phức \(z = a + bi\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là \(M\left( {a;b} \right)\).
- Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\) là \(\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
Phương trình: ${z^2}-2z + 5 = 0$
Có: $\Delta ' = 1 - 5 = - 4 = 4{i^2}$
$ \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = \sqrt {4{i^2}} = 2i$
\( \Rightarrow \) Phương trình có $2$ nghiệm là: ${z_1} = 1 + 2i;{z_2} = 1 - 2i$
Khi đó: $A\left( {1;2} \right),B(1; - 2)$
Tọa độ trung điểm đoạn thẳng $AB$ là: $\left( {1;0} \right)$
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là
-
A.
\(z = 0\)
-
B.
\(x + y + z = 0\)
-
C.
\(y = 0\)
-
D.
\(x = 0\)
Đáp án : A
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\)
Mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là \(z = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)\); \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai
-
A.
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3; - 3; - 3} \right)\)
-
B.
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \)
-
C.
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
Đáp án : D
Xét tính đúng, sai cho từng đáp án, dựa vào các công thức cộng véc tơ, độ dài véc tơ, các tính chất hai véc tơ cùng phương, hai véc tơ vuông góc.
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2 + 1; - 2 - 1; - 4 + 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)\) nên A đúng.
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0\) nên \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) hay B đúng.
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \) nên C đúng.
Vì \(\dfrac{2}{1} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 4}}{1}\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương hay D sai.
Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc trục $Oy$?
-
A.
$M\left( {0,0,3} \right)$
-
B.
$N\left( {0,1,0} \right)$
-
C.
$P\left( { - 2,0,0} \right)$
-
D.
$Q\left( {1,0,1} \right)$
Đáp án : B
Phương trình trục \(Oy:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Do đó chỉ có điểm $N\left( {0,1,0} \right)$ thuộc trục \(Oy\)
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), tính thể tích khối tứ diện \(OBCD\) biết \(B\left( {2;0;0} \right),C\left( {0;1;0} \right),D\left( {0;0; - 3} \right)\).
-
A.
\(1\)
-
B.
\(6\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(2\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện \(ABCD\) là \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)
Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {2;0;0} \right),\overrightarrow {OC} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {OD} = \left( {0;0; - 3} \right)\)
Do đó \(\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;2} \right)\)
Suy ra \({V_{OBCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right].\overrightarrow {OD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {0.0 + 0.0 + 2.\left( { - 3} \right)} \right| = 1\)
Gọi \(A\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = 3 + 2i\) và \(B\) là điểm biểu diễn của số phức \(z' = 2 + 3i\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng với nhau qua trục hoành.
-
B.
Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua trục tung.
-
C.
Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua gốc tọa độ \(O\).
-
D.
Hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\).
Đáp án : D
Tìm tọa độ mỗi điểm \(A,B\) và nhận xét vị trí của \(A,B\).
Số phức \(z = 3 + 2i\) có điểm biểu diễn là \(A\) suy ra \(A\left( {3;2} \right)\).
Số phức \(z' = 2 + 3i\) có điểm biểu diễn là \(B\) suy ra \(B\left( {2;3} \right)\).
Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {y_B}\\{y_A} = {x_B}\end{array} \right.\) nên hai điểm \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\).
Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} \) thành:
-
A.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} \)
-
B.
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
-
C.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
-
D.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} \)
Đáp án : B
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt u = lnx \( \Rightarrow du = \dfrac{{dx}}{x}\) và \(x = {e^u}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 0\\x = e \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - u}}{{{e^u}}}du} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên. Vòm cổng có hình dạng một parabol. Giá \(1{m^2}\) cửa sắt là \(660\,000\) đồng. Cửa sắt có giá (nghìn đồng) là:
-
A.
$6500.$
-
B.
\(\frac{{55}}{6}{.10^3}\).
-
C.
$5600.$
-
D.
$6050.$
Đáp án : D
Gắn hệ trục tọa độ và sử dụng tích phân để tính diện tích cửa sắt, tính giá tiền của cửa sắt.
+) Viết phương trình parabol:
Gọi phương trình parabol là :
\((P):\,\,y = a{x^2} + bx + c,\,\,a \ne 0\)
Vì (\(P\)) đi qua \(A( - 2,5;\,1,5),\,\,B(0;2),\,\,C(2,5;\,\,1,5)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{4}a - \frac{5}{2}b + c = 1,5\\\frac{{25}}{4}a + \frac{5}{2}b + c = 1,5\\c = 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{{25}}\\b = 0\\c = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow (P):\,\,y = - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\)
+) Diện tích cần tìm là: \(S = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left| { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right|dx} = \int\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{2}{{75}}{x^3} + 2x} \right)} \right|_{ - 2,5}^{2,5} = \frac{{55}}{6}\,\,({m^2})\)
+) Giá của cửa sắt là: \(\frac{{55}}{6}.660\,000 = 6050000\)(đồng)\( = 6050\)(nghìn đồng).
Cho $I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} $. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để $I + 3 \ge 0$?
-
A.
$4$
-
B.
$0$
-
C.
$5$
-
D.
$2$
Đáp án : D
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản tính tích phân theo $m$ rồi thay vào điều kiện bài cho tìm $m$.
$\begin{array}{l}{\rm{\;}}I = \int\limits_0^1 {\left( {2x - {m^2}} \right)dx} = \left. {\left( {{x^2} - {m^2}x} \right)} \right|_0^1 = 1 - {m^2}\\{\rm{ \;}}I + 3 \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {m^2} + 3 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \le 4 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array}$
$m$ là số nguyên dương $ \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}$.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) và hai điểm \(M\left( 4;-\,4;2 \right),\,\,N\left( 6;0;6 \right).\) Gọi \(E\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho \(EM+EN\) đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(E.\)
-
A.
\(x-2y+2z+8=0.\)
-
B.
\(2x+y-2z-9=0.\)
-
C.
\(2x+2y+z+1=0.\)
-
D.
\(2x-2y+z+9=0.\)
Đáp án : D
Dựng hình, áp dụng công thức trung tuyến để biện luận giá trị lớn nhất.
Chú ý sử dụng bất đẳng thức Bunhia để đánh giá EM+EN:
BĐT: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)
Xét mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9\) có tâm \(I\left( 1;2;2 \right),\) bán kính \(R=3.\)
Ta có \(MI=NI=3\sqrt{5}>3=R\)\(\Rightarrow \,\,M,\,\,N\) nằm bên ngoài khối cầu \(\left( S \right).\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\)\(\Rightarrow \,\,H\left( 5;-\,2;4 \right)\) và \(E{{H}^{2}}=\frac{E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}}}{2}-\frac{M{{N}^{2}}}{4}.\)
Lại có \({{\left( EM+EN \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( E{{M}^{2}}+E{{N}^{2}} \right)=2\left( E{{H}^{2}}+\frac{M{{N}^{2}}}{4} \right)\).
Để \({{\left\{ EM+EN \right\}}_{\max }}\Leftrightarrow E{{H}_{\max }}\)
Khi và chỉ khi \(E\) là giao điểm của \(IH\) và mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng tiếp diện của \(\left( S \right)\) tại \(E\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=a.\overrightarrow{EI}=b.\overrightarrow{IH}=b.\left( 4;-\,4;2 \right).\)
Dựa vào các đáp án ta thấy ở đáp án D, \({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-2;1 \right)=\frac{1}{2}\left( 4;-4;2 \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là \(2x-2y+z+9=0.\)
Để tính $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\,\cos x\,{\rm{d}}x} $ theo phương pháp tích phân từng phần, ta đặt
-
A.
$\left\{ \begin{array}{l}u = x\\{\rm{d}}v = x\cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
-
B.
$\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\{\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
-
C.
$\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\{\rm{d}}v = {x^2}\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$
-
D.
$\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\cos x\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}x\end{array} \right..$
Đáp án : B
Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt $u$ bằng hàm đa thức.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\{\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 2x\,{\rm{d}}x\\v = \sin x\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {{x^2}\sin x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\sin x\,{\rm{d}}x} .$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là
-
A.
\({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)
-
B.
\({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
-
C.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)
-
D.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
Đáp án : D
- Tính bán kính mặt cầu \(R = IA\)
- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát:
Phương trình mặt cầu qua $I\left( {a,b,c} \right)$ và bán kính $R$có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}} = \sqrt {53} \)
Do đó \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
Hàm số \(F\left( x \right) = {x^5} + 5{x^3} - x + 2\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? (C là hằng số).
-
A.
\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^6}}}{6} + 5.\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x + C\)
-
B.
\(f\left( x \right) = {x^4} + 5{x^2} - 1\)
-
C.
\(f\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} + 1\)
-
D.
\(f\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} - 1\)
Đáp án : D
Sử dụng tính chất: \(F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) và thực hiện lấy đạo hàm hàm số \(F\left( x \right)\) rồi kết luận đáp án đúng
\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 5{x^4} + 15{x^2} - 1\end{array}\)
Công thức tính độ dài véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là:
-
A.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {a + b + c} \)
-
B.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
-
C.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
-
D.
\(\left| {\overrightarrow u } \right| = {\left( {\sqrt {a + b + c} } \right)^2}\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính độ dài véc tơ:
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow {{u_1}} }^2}} = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \)
Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow u }^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$
-
A.
$\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
-
B.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C} $
-
C.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $
-
D.
$\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C} $
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho hàm logarit:
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{\left( {ax + b} \right)}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx} = uv - \int {vdu} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 3x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{3}{{3x}}dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^3}.\dfrac{3}{{3x}}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^2}dx} = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \dfrac{1}{9}{x^3} + C\)
Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây ?
-
A.
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx\).
-
B.
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)} dx\).
-
C.
\(V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx\).
-
D.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)}^2}} dx\).
Đáp án : A
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) quay quanh trục \(Ox\)
Công thức tính: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)
Theo công thức trên ta có: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\) (vì đồ thị hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = {f_2}\left( x \right)\).
Cho hai số phức \(z = 3 - 4i\) và \(z' = \left( {2 + m} \right) + mi\,\,\,\left( {m \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\). Tổng tất cả các giá trị của m bằng
-
A.
\( - 1.\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt {46} }}{2}.\)
-
C.
\(0.\)
-
D.
\( - 2.\)
Đáp án : D
- Số phức \(z = a + bi\) có môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
- Lập phương trình bậc hai ẩn \(m\), áp dụng định lí Vi-ét: \({m_1} + {m_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\).
Ta có \(z = 3 - 4i\)\( \Rightarrow iz = i\left( {3 - 4i} \right) = 4 + 3i.\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {z'} \right| = \left| {iz} \right|\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + {m^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {m^2} = 25\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 4m - 21 = 0\end{array}\)
Áp dụng định lý viet ta có tổng các giá trị của m là \(\dfrac{{ - 4}}{2} = - 2.\)
Đổi biến \(x = 4\sin t\) của tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \) ta được:
-
A.
\(I = - 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} \)
-
B.
\(I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \)
-
C.
\(I = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}tdt} \)
-
D.
\(I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} \)
Đáp án : B
- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.\).
- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \)
Đặt \(x = 4\sin t \Rightarrow dx = 4\cos tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \sqrt 8 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = 4\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {16 - 16{{\sin }^2}t} \cos tdt} = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)d} t\)
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:
-
A.
\(6\pi \)
-
B.
\(12\pi \)
-
C.
\(3\pi \)
-
D.
\(10\pi \)
Đáp án : A
Gọi I; R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S), giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cách I một khoảng là d và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r, khi đó ta có \({{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\).
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;2;0 \right)\), bán kính R = 5.
\(d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 1+2.2+7 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=4=d\).
Do đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn (C) có bán kính \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=3\).
Vậy chu vi đường tròn (C) bằng \(2\pi r=6\pi \).
Véc tơ đơn vị trên trục \(Ox\) là:
-
A.
\(\overrightarrow i \)
-
B.
\(\overrightarrow j \)
-
C.
\(\overrightarrow k \)
-
D.
\(\overrightarrow 0 \)
Đáp án : A
Sử dụng lý thuyết các trục tọa độ trong không gian
Véc tơ \(\overrightarrow i \) là véc tơ đơn vị của trục \(Ox\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , để hai vecto \(\overrightarrow a = \left( {m;2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {1;n;2} \right)\) cùng phương thì \(2m + 3n\) bằng.
-
A.
\(6\)
-
B.
\(9\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(7\)
Đáp án : D
Hai vectơ cùng phương khi \(\frac{x}{{x'}} = \frac{y}{{y'}} = \frac{z}{{z'}}\)
Hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {m;2;3} \right),\overrightarrow b = \left( {1;n;2} \right)\) cùng phương khi \(\frac{m}{1} = \frac{2}{n} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\n = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 2m + 3n = 7.\)
Viết công thức tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox?\)
-
A.
\(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
-
B.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
-
C.
\(V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
-
D.
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
Đáp án : B
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\)
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục $Ox$ và hai đường thẳng \(x = a,x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) xung quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị dương trên \(\mathbb{R}.\) Gọi \({D_1}\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\) các đường \(x = 0,\,\,x = 1\) và trục \(Ox.\) Gọi \({D_2}\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{3}f\left( x \right),\) các đường \(x = 0,\,\,\,x = 1\) và trục \(Ox.\) Quay các hình phẳng \({D_1},\,\,{D_2}\) quanh trục \(Ox\) ta được các khối tròn xoay có thể tích lần lượt là \({V_1},\,\,{V_2}.\)
Khẳng định nào sau đâu là đúng?
-
A.
\({V_1} = 9{V_2}\)
-
B.
\({V_2} = 9{V_1}\)
-
C.
\({V_1} = 3{V_2}\)
-
D.
\({V_2} = 3{V_1}\)
Đáp án : A
Công thức tính thể tích của khối tròn xoay được tạo bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) khi quay quanh trục \(Ox\) là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx.} \)
Ta có: \({V_1} = \pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} \) và \({V_2} = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {\dfrac{1}{3}f\left( x \right)} \right]}^2}dx} = \dfrac{1}{9}\pi \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx} \)
\( \Rightarrow {V_1} = 9{V_2}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây?
-
A.
$\left( {1; - 1;1} \right)$ và \(\left( {0;1;2} \right)\)
-
B.
$\left( {1;2;0} \right)$ và \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
-
C.
$\left( {0;1;2} \right)$ và \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
-
D.
$\left( {0;1;2} \right)$ và \(\left( {1;0;3} \right)\)
Đáp án : D
Đưa phương trình về phương trình chính tắc rồi kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng.
Đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).
Thay các điểm ở mối đáp án vào phương trình trên ta thấy chỉ có đáp án D là cả hai điểm đều thỏa mãn phương trình.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - n = 0\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 3 + \left( {2m - 1} \right)t\end{array} \right.\). Với giá trị nào của \(m,{\rm{ }}n\) thì \(d\) song song \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n = 7\end{array} \right..\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - \dfrac{1}{2}\\n = 7\end{array} \right..\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}m \ne - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..\)
Đáp án : C
Sử dụng điều kiện \(d//\left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{n_p}} \\M \in d,M \notin \left( P \right)\end{array} \right.\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 2;1} \right)\).
Đường thẳng \(d\) qua \(A\left( {1; - 1;3} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;2m - 1} \right)\).
Để \(d\parallel \left( P \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\A \notin \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m + 1 = 0\\7 - n \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\n \ne 7\end{array} \right..\)
Cho các phát biểu sau: (Với $C$ là hằng số):
(I) \(\int\limits_{}^{} {0dx} = x + C\)
(II) \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C\)
(III) \(\int\limits_{}^{} {\sin xdx} = - \cos x + C\)
(IV) \(\int\limits_{}^{} {\cot xdx} = - \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} + C\)
(V) \(\int\limits_{}^{} {{e^x}dx} = {e^x} + C\)
(VI) \(\int\limits_{}^{} {{x^n}dx} = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {\forall n \ne - 1} \right)\)
Số phát biểu đúng là:
-
A.
$4$
-
B.
$6$
-
C.
$5$
-
D.
$3$
Đáp án : A
Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản.
Mệnh đề (I) và mệnh đề (IV) sai nên có 4 mệnh đề đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 16 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.
-
A.
$\left( P \right):2x - 2y + z - 8 = 0$
-
B.
$\left( P \right): - 2x + 11y - 10{\rm{z}} - 105 = 0$
-
C.
$\left( P \right):2x - 11y + 10z - 35 = 0$
-
D.
\(\left( P \right) : - 2x + 2y - z + 11 = 0\)
Đáp án : C
Mặt cầu: ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2} \Rightarrow I(a;b;c);bkR$
Ta xét mặt cầu $(S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25$
$\Rightarrow I(1;2; - 2);R = 5$
Điểm $A(1;-3;0)$ thuộc $d$ nên $A \in (P)$ và $d(I;(P)) = 5$ nên thử các đáp án ta thấy C đúng.
Cho $I = \int {\dfrac{{d{\rm{x}}}}{{\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4}}} = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} - \ln {\left( {\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4} \right)^n} + C$ ở đó \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị biểu thức \(S = \sin \dfrac{{n\pi }}{8}\) là:
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
$0$
-
C.
$1$
-
D.
$-1$
Đáp án : C
- Đặt \(t = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} \)
- Biểu diễn $dx$ theo $dt:$ $t{\rm{d}}t = d{\rm{x}}$
Đặt \(t = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} \Rightarrow {t^2} = 2{\rm{x}} - 1 \Rightarrow t{\rm{d}}t = d{\rm{x}}\)\( \Rightarrow I = \int {\dfrac{{t{\rm{d}}t}}{{t + 4}} = \int {\left( {1 - \dfrac{4}{{t + 4}}} \right)dt = t - 4\ln \left| {t + 4} \right| + C} } \)
$ = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} - \ln {\left( {\sqrt {2{\rm{x}} - 1} + 4} \right)^4} + C$
Vậy $n = 4\;$ suy ra \(S = \sin \dfrac{{4\pi }}{8} = 1\)
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}\).
-
A.
\(I=\frac{4581}{5000}\).
-
B.
\(I=\log \frac{5}{2}\).
-
C.
\(I=\ln \frac{5}{2}\).
-
D.
\(I=-\frac{21}{100}\).
Đáp án : C
Sử dụng bảng nguyên hàm mở rộng: $\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$
Ta có \(I=\int\limits_{0}^{3}{\frac{\text{d}x}{x+2}}\)\(=\ln \left| x+2 \right|\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 3 \\ \end{smallmatrix}} \right.=\ln 5-\ln 2=\ln \frac{5}{2}.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} \)
-
A.
\(I = - \dfrac{1}{4}{\pi ^4}\)
-
B.
\(I = - {\pi ^4}\)
-
C.
$I = 0 $
-
D.
\(I = - \dfrac{1}{4}\)
Đáp án : C
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt \(\cos x = t \Rightarrow - \sin xdx = dt \Rightarrow \sin xdx = - dt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \pi \Rightarrow t = - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = - \int\limits_1^{ - 1} {{t^3}dt} = \int\limits_{ - 1}^1 {{t^3}dt} = \left. {\dfrac{{{t^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^1 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0\)
Biết \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.c{\rm{os}}2xdx} = a + b\pi \), với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Tính \(S = a + 2b\).
-
A.
$S = 0$
-
B.
$S = 1$
-
C.
\(S = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{3}{8}\)
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)
Đặt : \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{1}{2}.\sin 2x\end{array} \right.\)
Suy ra: $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {x.\cos xdx} = \left. {\left( {x.\dfrac{1}{2}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in2x}}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} $
$= \dfrac{\pi }{8} + \left. {\dfrac{1}{4}\cos 2x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\pi }{8}$
\( \Rightarrow a = - \dfrac{1}{4};b = \dfrac{1}{8} \Rightarrow S = a + 2b = 0\)
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y={{x}^{2}}-4x+4\), trục tung, trục hoành. Giá trị của k để đường thẳng d đi qua \(A(0;4)\) có hệ số góc k chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau là
-
A.
\(k=-6\).
-
B.
\(k=-2\).
-
C.
\(k=-8\).
-
D.
\(k=-4\).
Đáp án : A
Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a;\,\,x=b\) được tính theo công thức : \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x) \right|dx}\)
Phương trình đường thẳng d đi qua \(A(0;4)\) có hệ số góc k
\(y=k(x-0)+4\Leftrightarrow y=kx+4\)
Cho \(y=0\Rightarrow x=\frac{-4}{k},\,\,k\ne 0\). Vậy, d cắt Ox tại điểm \(I\left( -\frac{4}{k};0 \right)\).
Giao điểm của \(y={{x}^{2}}-4x+4\) và trục hoành: Cho \(y=0\Rightarrow x=2\).
\(\Rightarrow \) Để d chia (H) thành 2 phần thì \(0<\frac{-4}{k}<2\Leftrightarrow k<-2\).
Vì d chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau
\(\Rightarrow {{S}_{1}}={{S}_{2}}\Rightarrow {{S}_{1}}=\frac{1}{2}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}} \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{-\frac{4}{k}}{\left| kx+4 \right|dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-4x+4 \right|dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{-\frac{4}{k}}{(kx+4)dx}=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{{{(x-2)}^{2}}dx}\)
\(\Leftrightarrow \left. \frac{{{(kx+4)}^{2}}}{2k} \right|_{0}^{-\frac{4}{k}}=\left. \frac{1}{2}.\frac{{{(x-2)}^{3}}}{3} \right|_{0}^{2}\Leftrightarrow -\frac{8}{k}=-\frac{1}{2}.\frac{{{(-2)}^{3}}}{3}\Leftrightarrow \frac{-8}{k}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow k=-6\)
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0,x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích $V$ bằng bao nhiêu?
-
A.
\(V=\frac{{{\text{e}}^{2}}-1}{2}\).
-
B.
\(V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}+1)}{2}\).
-
C.
\(V=\frac{\pi ({{\text{e}}^{2}}-1)}{2}\)
-
D.
\(V=\frac{\pi {{\text{e}}^{2}}}{2}\).
Đáp án : C
Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), đường thẳng \(x=a;x=b\) và trục hoành là \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}\).
Ta có: \(V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{2x}}dx}=\pi \left. \frac{{{e}^{2x}}}{2} \right|_{0}^{1}=\frac{\pi \left( {{e}^{2}}-1 \right)}{2}\)
Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
-
A.
$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
-
B.
$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
-
C.
$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
-
D.
$\left| z \right| = \sqrt 2 $
Đáp án : C
Áp dụng công thức $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi;\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Ta có: $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $
Gọi ${z_1},{z_2}$ là các nghiệm của phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1$. Giá trị của $P = {z_1}^3 + {z_2}^3$ là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : C
- Biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai.
- Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{b}{a}\\{z_1}.{z_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\)
- Thay vào biểu thức cần tính giá trị.
Phương trình: $z + \dfrac{1}{z} = - 1 \Leftrightarrow {z^2} + z + 1 = 0$
Ta có: ${z_1} + {z_2} = - 1;{z_1}.{z_2} = 1$
Khi đó $P = {z_1}^3 + {z_2}^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_1}^2 - {z_1}{z_2} + {z_2}^2} \right) = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} - 3{z_1}{z_2}} \right] = - 1.(1 - 3) = 2$
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10\).
-
A.
Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100.\)
-
B.
Elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).
-
C.
Đường tròn \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10.\)
-
D.
Elip \(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1\)
Đáp án : D
Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).
Bước 2: Thay \(z = x + yi\) vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa \(x,y\).
Bước 3: Kết luận:
- Phương trình đường thẳng: \(Ax + By + C = 0\)
- Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)
- Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\) hoặc \(x = a{y^2} + by + c\)
- Phương trình elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Gọi \(z = x + yi\). Khi đó điểm $M\left( {x;y} \right)$ biểu diễn số phức$z$.
Ta có : \(\left| {z - 2} \right| + \left| {z + 2} \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {x - 2 + yi} \right| + \left| {x + 2 + yi} \right| = 10 \)
$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {y^2}} = 10$.
Đặt ${F_1}\left( { - 2;0} \right);{F_2}\left( {2;0} \right)$, khi đó : \(M{F_1} + M{F_2} = 10 > {F_1}{F_2}( = 4)\) nên tập hợp các điểm $M$ là elip $\left( E \right)$ có 2 tiêu điểm là ${F_1};{F_2}$ . Gọi $\left( E \right)$ có dạng : \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a\\{F_1}{F_2} = 4 = 2c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\c = 2\end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{5^2} - {2^2}} = \sqrt {21} \)
Vậy tập hợp các điểm $M$ là elip : \((E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{21}} = 1\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
-
A.
\(M(0;1;0)\)
-
B.
\(M(1;0;0)\)
-
C.
\(M(0;1;2)\)
-
D.
\(M( - 1;0;0)\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có:\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} \)
$M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử \(M(m;0;0)\).
Ta có
\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(m - 0)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + 5} \\MB = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 0)}^2} + {{(0 - 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1} \end{array}\)
Suy ra
\(M{A^2} + M{B^2} = {m^2} + 5 + {(m - 2)^2} + 1 = 2{m^2} - 4m + 10 \)
$= 2({m^2} - 2m + 1) + 8 = 2{(m - 1)^2} + 8 \ge 8$
\(\min (M{A^2} + M{B^2}) = 8 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Vậy \(M(1;0;0)\)
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \(A\left( { - 3;0;0} \right);\,\,B\left( {0; - 2;0} \right);\) \(C\left( {0;0;1} \right)\) được viết dưới dạng \(ax + by - 6z + c = 0\). Giá trị của \(T = a + b - c\) là :
-
A.
\( - 11\)
-
B.
\( - 7\)
-
C.
\( - 1\)
-
D.
\(11\)
Đáp án : C
Viết phương trình dạng đoạn chắn.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ : \(\dfrac{x}{{ - 3}} + \dfrac{y}{{ - 2}} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6z + 6 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow a + b - c = - 1\)
Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;1;1} \right)\), cắt và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 8}}{1} = \dfrac{z}{1}\). Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\).
-
A.
\(\left( {1;0;0} \right)\).
-
B.
\(\left( {0; - 5;3} \right)\).
-
C.
\(\left( {0;3; - 5} \right)\).
-
D.
\(\left( {0; - 3;1} \right)\).
Đáp án : B
- Gọi \(N = d \cap \Delta \), tham số hóa tọa độ điểm \(N\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).
- Xác định 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) của đường thẳng \(\Delta \), đường thẳng \(d\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {MN} \). Vì \(d \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\). Giải phương trình tìm \(t\).
- Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow {MN} \left( {a;b;c} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).
- Tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right):\,\,x = 0\).
Gọi \(N = d \cap \Delta \). Giả sử \(N\left( {2 - 2t;\,\,8 + t;\,\,t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 2t;\,\,7 + t;\,\,t - 1} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{y - 8}}{1} = \dfrac{z}{1}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 2;1;1} \right)\), đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {MN} \) là 1 VTPT.
Do \(d \bot \Delta \) nên \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2t.\left( { - 2} \right) + \left( {7 + t} \right).1 + \left( {t - 1} \right).1 = 0\\ \Leftrightarrow 6t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;6; - 2} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {2;1;1} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1;3; - 1} \right)\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t'\\y = 1 + 3t'\\z = 1 - t'\end{array} \right.\).
Khi đó, giao điểm của \(d\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) ứng với \(t'\) thỏa mãn \(x = 2 + t' = 0 \Leftrightarrow t' = - 2\).
\( \Rightarrow \) Tọa độ giao điểm của \(d\) và mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là: \(\left( {0; - 5;3} \right)\).
Trong không gian Oxyz, mặt cầu đi qua bốn điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\) \(B\left( {0; - 2;0} \right),\) \(C\left( {0;0;4} \right)\) và gốc tọa độ O có bán kính bằng
-
A.
\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{8}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{4}\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt {21} }}{6}\)
Đáp án : C
- Gọi tọa độ tâm của mặt cầu \(I\left( {a;b;c} \right)\).
- I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, O \( \Rightarrow IA = IB = IC = IO\).
- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng \(OI = \sqrt {{{\left( {{x_I} - {x_O}} \right)}^2} + {{\left( {{y_I} - {y_O}} \right)}^2} + {{\left( {{z_I} - {z_O}} \right)}^2}} \).
- Giải hệ phương trình tìm a, b, c.
- Tính bán kính R = IO.
Gọi tâm mặt cầu là \(I\left( {a;b;c} \right)\)
Ta có mặt cầu đi qua \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0; - 2;0} \right),C\left( {0;0;4} \right)\) và gốc tọa độ O.
Nên \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IO\\IB = IO\\IC = IO\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} = {a^2}\\{\left( {b + 2} \right)^2} = {b^2}\\{\left( {c - 4} \right)^2} = {c^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - 1\\c = 2\end{array} \right.\)
Suy ra \(I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1;2} \right) \Rightarrow R = IO = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:
-
A.
$x - 2y + 3z - 2 = 0$
-
B.
$x - 2y - 3z - 2 = 0$
-
C.
$x + 2y - 3z - 6 = 0$
-
D.
$2x - y - 1 = 0$
Đáp án : B
+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu
+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$
+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến
$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.
Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$
Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$
Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right);\,\,B\left( {0;4;0} \right);\,\,C\left( {0;0;6} \right)\). Điểm M thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và điểm N là điểm trên tia OM sao cho \(OM.ON = 12\). Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tìm bán kính của mặt cầu đó?
-
A.
\(\dfrac{7}{2}\)
-
B.
\(3\sqrt 2 \)
-
C.
\(2\sqrt 3 \)
-
D.
\(\dfrac{5}{2}\)
Đáp án : A
+) Gọi điểm \(N\left( {x;y;z} \right)\).
+) Ta có O, M, N thẳng hàng \( \Rightarrow OM.ON = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 12\)
+) Tìm tọa độ điểm M theo x, y, z, viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng đoạn chắn.
+) \(M \in \left( {ABC} \right)\), rút ra phương trình mặt cầu.
Gọi điểm \(N\left( {x;y;z} \right)\).
Ta có O, M, N thẳng hàng \( \Rightarrow OM.ON = \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 12\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OM} = \dfrac{{12}}{{\overrightarrow {ON} }} = \dfrac{{12}}{{O{N^2}}}.\overrightarrow {ON} = \dfrac{{12}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\left( {x;y;z} \right)\\ \Rightarrow M\left( {\dfrac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\dfrac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}};\dfrac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}} \right)\end{array}\)
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\)
Do \(M \in \left( {ABC} \right)\) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có:
\(\begin{array}{l}6\dfrac{{12x}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 3\dfrac{{12y}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} + 2\dfrac{{12z}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} - 12 = 0\\ \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 3y - 2z = 0\end{array}\)
Vậy khi M thay đổi trên \(\left( {ABC} \right)\) thì N luôn thuộc mặt cầu tâm \(I\left( {3;\dfrac{3}{2};1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {9 + \dfrac{9}{4} + 1} = \dfrac{7}{2}\).
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 6,\) tiếp xúc với hai mặt phẳng \((P):x + y + 2z\, + \,5 = 0,\,\,(Q):2x - y + z\, - \,5 = 0\) lần lượt tại các tiếp điểm $A,\,\,B.$ Độ dài đoạn thẳng $AB$ là
-
A.
\(2\sqrt 3 .\)
-
B.
\(\sqrt 3 .\)
-
C.
\(2\sqrt 6 .\)
-
D.
\(3\sqrt 2 .\)
Đáp án : D
Đưa về bài toán đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cắt nhau, sử dụng bài toán hình phẳng lớp 9 để tìm AB thông qua dữ kiện góc
Xét $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6$ có tâm $I\left( {1;2; - \,1} \right),$ bán kính $R = \sqrt 6 .$
Gọi $M$ là giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ sao cho $MAIB$ đồng phẳng.
Ta có $\cos \widehat {AMB} = \cos \widehat {\left( P \right);\left( Q \right)} = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{\left( P \right)}}.{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right|.\left| {{{\vec n}_{\left( Q \right)}}} \right|}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \,\,\widehat {AMB} = {60^0} \Rightarrow \,\,\widehat {AIB} = {120^0}.$
Tam giác $IAB$ cân tại $I,$ có $AB = \sqrt {I{A^2} + I{B^2} - 2.IA.IB.\cos \widehat {AIB}} = 3\sqrt 2 .$
Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \dfrac{{m - \pi }}{{m + \pi }}$, giá trị của $m$ bằng :
-
A.
$2$.
-
B.
$7$.
-
C.
$4$.
-
D.
$5$.
Đáp án : C
- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
- Làm xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\)sau đó đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).
- Đồng nhất thức.
Ta có : \(\left( {x\sin x + \cos x} \right)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x\)
$ \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\dfrac{x}{{\cos x}}.x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}dv} $
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{x}{{\cos x}}\\{\rm{d}}v = \dfrac{{x\cos x}}{{{{\left( {x\sin x + \cos x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{x\sin x + \cos x}}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x\\v = - \dfrac{1}{{x\sin x + \cos x}}\end{array} \right..$
Khi đó
$\begin{array}{l}I = \left. { - \dfrac{x}{{\cos x}}.\dfrac{1}{{x\sin x + \cos x}}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{{\cos }^2}x}}} = \\ = \dfrac{{ - \dfrac{\pi }{4}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}.\dfrac{1}{{\dfrac{\pi }{4}\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} + \left. {\tan x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}}\\ = \dfrac{{ - \dfrac{\pi }{4}}}{{\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + 1} \right)}} + 1 = \dfrac{{ - 2\pi }}{{\left( {\pi + 4} \right)}} + 1 = \dfrac{{4 - \pi }}{{4 + \pi }} \Rightarrow m = 4\end{array}$.
Đặt \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 4 - {x^2}\), trục hoành và đường thẳng \(x = - 2\), \(x = m\), \(\left( { - 2 < m < 2} \right)\). Tìm số giá trị của tham số \(m\) để \(S = \dfrac{{25}}{3}\).
-
A.
\(2\).
-
B.
\(3\).
-
C.
\(4\).
-
D.
\(1\).
Đáp án : D
- Viết công thức tính diện tích diện tích hình phẳng \(S\)
- Lập phương trình diện tích, giải phương trình tìm \(m\)
Ta có \(S = \int\limits_{ - 2}^m {\left| {4 - {x^2}} \right|{\rm{d}}x} = \dfrac{{25}}{3}\).
Phương trình hoành độ giao điểm: \(4 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2\)
Do \( - 2 < x < m < 2\) nên \(4 - {x^2} > 0,\forall x \in \left( { - 2;m} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 2}^m {\left| {4 - {x^2}} \right|dx} = \frac{{25}}{3}\\ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^m {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} = \frac{{25}}{3}\\ \Leftrightarrow \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^m = \frac{{25}}{3}\\ \Leftrightarrow 4m - \frac{{{m^3}}}{3} + 8 - \frac{8}{3} = \frac{{25}}{3}\\ \Leftrightarrow - {m^3} + 12m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow {m^3} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {{m^2} + 3m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\{m^2} + 3m - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\left( {loai} \right)\\m = \frac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}\left( {TM} \right)\\m = \frac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy chỉ có \(m = \dfrac{{\sqrt {21} - 3}}{2}\) thỏa mãn bài toán.
Xét các số phức \(z,\,\,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2,\,\,\left| {iw - 2 + 5i} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z^2} - wz - 4} \right|\) bằng:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(2\left( {\sqrt {29} - 3} \right)\)
-
C.
\(8\)
-
D.
\(2\left( {\sqrt {29} - 5} \right)\)
Đáp án : C
Theo bài ra ta có :
+) \(\left| z \right| = 2 \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \({I_1}\left( {0;0} \right)\) bán kính \({R_1} = 2\).
\(\left| i \right|\left| {w - \dfrac{{2 - 5i}}{i}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( { - 5 - 2i} \right)} \right| = 1\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là đường tròn tâm \({I_2}\left( { - 5; - 2} \right)\) bán kính \({R_2} = 1\).
Đặt \(T = \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - w - \overline z } \right| = 2\left| {z - w - \overline z } \right|\)
Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z = a - bi \Rightarrow z - \overline z = 2bi\).
\( \Rightarrow T = 2\left| {2bi - w} \right|\).
Gọi \(M\left( {0;2b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(2bi\), \(N\) là điểm biểu diễn số phức \(w\).
\( \Rightarrow T = 2M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N_{\min }}\).
Do \(\left| z \right| = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4 \Leftrightarrow - 2 \le b \le 2 \Leftrightarrow - 4 \le 2b \le 4\).
\( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đoạn \(AB\) với \(A\left( { 0;-4} \right),\,\,B\left( {0;4} \right)\).
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(M{N_{\min }} = 4 \Leftrightarrow N\left( { - 4; - 2} \right),M\left( {0; - 2} \right)\).
Vậy \({T_{\min }} = 2.4 = 8\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( {{Q}_{1}} \right):\,\,3x-y+4z+2=0\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right):\,\,3x-y+4z+8=0\). Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng \(\left( {{Q}_{1}} \right)\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right)\) là:
-
A.
\(\left( P \right):\,\,3x-y+4z+10=0\)
-
B.
\(\left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0\)
-
C.
\(\left( P \right):\,\,3x-y+4z-10=0\)
-
D.
\(\left( P \right):\,\,3x-y+4y-5=0\)
Đáp án : B
Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng \(\left( {{Q}_{1}} \right)\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right)\) là mặt phẳng song song và nằm chính giữa \(\left( {{Q}_{1}} \right)\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right)\).
Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng \(\left( {{Q}_{1}} \right)\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right)\) là mặt phẳng song song và nằm chính giữa \(\left( {{Q}_{1}} \right)\) và \(\left( {{Q}_{2}} \right)\).
Ta có \(\frac{2+8}{2}=5\Rightarrow \left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0\)
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
