-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 3
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
-
A.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
-
B.
\(\int\limits_a^b {kdx} = k\left( {b - a} \right)\)
-
C.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \) với \(b \in \left[ {a;c} \right]\)
-
D.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( { - x} \right)dx} \)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), khi đó:
-
A.
\(a = 0\)
-
B.
\(c = 1\)
-
C.
\(a = - 1\)
-
D.
\(a = c\)
Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(0\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 8 = 0.\)
-
B.
\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9.\)
-
C.
\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0\)
-
D.
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y - 24z + 16 = 0\)
Đặt \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {tdt} \). Khi đó \(F'\left( x \right)\) là hàm số nào dưới đây?
-
A.
\(F'\left( x \right) = x\)
-
B.
\(F'\left( x \right) = 1\)
-
C.
\(F\left( x \right) = x - 1\)
-
D.
\(F'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:
-
A.
$S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$
-
B.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $
-
C.
$S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
-
D.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì véc tơ nào sau đây có thể là VTPT của \(\left( P \right)\)?
-
A.
\( - \overrightarrow a \) hoặc \( - \overrightarrow b \)
-
B.
\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\)
-
C.
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b \)
-
D.
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b \)
Trong không gian $Oxyz$ cho $3$ véc tơ: \(\vec a\left( {4;2;5} \right),\vec b\left( {3;1;3} \right),\vec c\left( {2;0;1} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng
-
A.
\(\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\)
-
B.
$3$ véc tơ cùng phương.
-
C.
$3$ véctơ đồng phẳng.
-
D.
$3$ véctơ không đồng phẳng.
Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là các VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)
. Chọn kết luận sai?
-
A.
\(\left( P \right)\) có vô số véc tơ pháp tuyến
-
B.
\(\overrightarrow n = - \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\)
-
C.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)
-
D.
\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương.
Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
-
A.
\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4\).
-
B.
\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \).
-
C.
\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10\).
-
D.
\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 \).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(|z - 1 - 2i| = 4\). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(|z + 2 + i|\). Tính \(S = {M^2} + {m^2}\).
-
A.
$S = 34$
-
B.
$S = 82$
-
C.
$S = 68$
-
D.
$S = 36$
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\int {0dx} = C\)
-
B.
\(\int {dx} = C\)
-
C.
\(\int {dx} = 0\)
-
D.
\(\int {0dx} = x + C\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là
-
A.
\({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)
-
B.
\({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
-
C.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)
-
D.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)\), độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là:
-
A.
\(3\sqrt {19} \)
-
B.
\(\dfrac{{3\sqrt {19} }}{{13}}\)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\)
Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)
-
A.
\(a = 3,b = 2.\)
-
B.
\(a = 3,b = 2\sqrt 2 .\)
-
C.
\(a = 3,b = \sqrt 2 .\)
-
D.
\(a = 3,b = - 2\sqrt 2 .\)
Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - z - 2 = 0$ và cách $\left( Q \right)$ một khoảng là \(2\sqrt 3 \) .
-
A.
$x + y - z + 4 = 0$ hoặc $x + y - z - 8 = 0$ .
-
B.
$x + y - z - 4 = 0$ hoặc $x + y - z + 8 = 0$ .
-
C.
$x + y - z + 4 = 0$ hoặc $x + y - z + 8 = 0$ .
-
D.
$x + y - z - 4 = 0$ hoặc $x + y - z - 8 = 0$ .
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2;1} \right);B\left( {3;2;3} \right)$, có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x - y - 3 = 0$ , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$?
-
A.
$1$
-
B.
\(\sqrt 2 \)
-
C.
$2$
-
D.
\(2\sqrt 2 \)
Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:
-
A.
\(dx = u'\left( t \right)dt\)
-
B.
\(dt = u'\left( x \right)dx\)
-
C.
\(dx = u\left( t \right)dt\)
-
D.
\(dt = dx\)
Cho số phức \({\rm{w}}\)và hai số thực \(a,b\). Biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
-
A.
\(T = 2\sqrt {13} \).
-
B.
\(T = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\).
-
C.
\(T = \dfrac{{2\sqrt {85} }}{3}\).
-
D.
\(T = 4\sqrt {13} \).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\)
Tính \(I = \int {x{{\tan }^2}xdx} \) ta được:
-
A.
\( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
-
B.
\( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
-
D.
\(\dfrac{1}{2}{x^2} - x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm \(I( - 1;2; - 5)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 10 = 0\) theo thiết diện là hình tròn có diện tích \(3\pi \). Phương trình của $\left( S \right)$ là:
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)
-
B.
\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 5)^2} = 25\)
-
C.
\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(x - 5)^2} = 16\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 12 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {2;2;0} \right)\) và \(D\left( {0;m;0} \right)\). Điều kiện cần và đủ của \(m\) để khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(2\) là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.\).
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 2\end{array} \right.\).
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = - 2\end{array} \right.\).
Cho số phức $z$ thay đổi, luôn có $\left| z \right| = 2$ . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = (1 - 2i)\overline z + 3i$ là
-
A.
Đường tròn ${x^2} + {(y - 3)^2} = 2\sqrt 5 $
-
B.
Đường tròn ${x^2} + {(y + 3)^2} = 20$
-
C.
Đường tròn ${x^2} + {(y - 3)^2} = 20$
-
D.
Đường tròn ${(x - 3)^2} + {y^2} = 2\sqrt 5 $
Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
B.
\( - \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{5}{2}\)
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) quay quanh \(Oy\,\,?\)
-
A.
$V = 36\pi .$
-
B.
$V = 24\pi .$
-
C.
$V = 16\pi .$
-
D.
$V = 64\pi .$
Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình \((S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\) và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)\) là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:
-
A.
\(mn = \dfrac{{276}}{{49}}\)
-
B.
\(mn = - \dfrac{{276}}{{49}}\)
-
C.
\(mn = 4\)
-
D.
\(mn = - 4\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\) trên \(\left( 0;\,+\infty \right)\).
-
A.
\(-3\sin x+\dfrac{1}{x}+C\).
-
B.
\(3\sin x-\dfrac{1}{x}+C\).
-
C.
\(3\cos x+\dfrac{1}{x}+C\).
-
D.
\(3\cos x+\ln x+C\).
Gọi \(F\left( x \right) = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 9{x^2} - 2x + 5} \right){e^x}\). Tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\)
-
A.
$244$
-
B.
$247$
-
C.
$245$
-
D.
$246$
Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:
-
A.
$0$.
-
B.
$\frac{{64}}{3}$.
-
C.
$7$.
-
D.
\(12,5\).
$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \ln x$ và $F\left( 1 \right) = 3.$ Khi đó giá trị của $F\left( e \right)$ là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$4$
-
D.
$3$
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
-
A.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
B.
$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
C.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
D.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Cho hai số phức ${z_1} = 2017 - i$ và ${z_2} = 2 - 2016i$. Tìm số phức $z = {z_1}.{z_2}.$
-
A.
$z = 2017 - 4066274i$.
-
B.
$z = 2018 + 4066274i$.
-
C.
$z = 2018 - 4066274i$.
-
D.
$z = 2016 - 4066274i$.
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó
-
A.
\(r = \sqrt 2 \)
-
B.
$r = 2$
-
C.
$r = 4$
-
D.
\(r = 2\sqrt 2 \)
Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)
-
A.
\(S = 0.\)
-
B.
\(S = {2^{10}} + 1.\)
-
C.
\(S = 1\).
-
D.
\(S = {2^{10}}\).
Biết số phức $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5 $ và biểu thức $P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $\left| z \right|$.
-
A.
$\left| z \right| = \sqrt {33} $.
-
B.
$\left| z \right| = 50$.
-
C.
$\left| z \right| = \sqrt {10} $.
-
D.
$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;3; - 3} \right)\), \(A',\,\,B',\,\,C'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \). Nếu \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) thì \(G'\) có tọa độ là:
-
A.
\(\left( {2;\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)
-
B.
\(\left( {2; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
-
C.
\(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
-
D.
$\left( { - 2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và \(\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}\).
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng \({d_3}\) qua \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và vuông góc với cả \({d_1},\,\,{d_2}.\)
-
A.
\(\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{{17}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{9} = \dfrac{{z - 2}}{3}\)
-
D.
\({d_3}:\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 14}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)
Cho \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x=}\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f(x)\text{d}x}=1.\) Giá trị của \(\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f(x)}{{{3}^{x}}+1}\text{d}x}\) bằng
-
A.
3
-
B.
1
-
C.
4
-
D.
6
Cho \(\int\limits_0^b {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 3} }}dx} = 2\) với \(b \in K\). Khi đó $K$ có thể là khoảng nào trong các khoảng sau?
-
A.
\(K = \left( {1;2} \right)\)
-
B.
\(K = \left( {0;1} \right)\)
-
C.
\(K = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
-
D.
\(K = \left( {2;3} \right)\)
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
-
A.
\(T=10\).
-
B.
\(T=9\).
-
C.
\(T=8\).
-
D.
\(T=11\).
Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) bằng
-
A.
\(\frac{4\pi +\sqrt{3}}{12}\)
-
B.
\(\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\)
-
C.
\(\frac{4\pi +2\sqrt{3}-3}{6}\)
-
D.
\(\frac{5\sqrt{3}-2\pi }{3}\)
Tìm thể tích \(V\) của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn \({{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\) khi quay quanh trục \(Ox.\)
-
A.
\(V=24{{\pi }^{2}}.\)
-
B.
\(V=24\pi .\)
-
C.
\(V=16\pi .\)
-
D.
\(V=36{{\pi }^{2}}.\)
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x},\) trục hoành và đường thẳng \(x=9.\) Khi (H) quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng:
-
A.
\(18\)
-
B.
\(\frac{18}{2}\)
-
C.
\(18\pi \)
-
D.
\(\frac{81\pi }{2}\)
Tích phân \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}\) bằng:
-
A.
\({{e}^{-2}}\)
-
B.
\({{e}^{3}}-e\)
-
C.
\(e-{{e}^{3}}\)
-
D.
\({{e}^{2}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B(0;3;1)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là
-
A.
\(\left( { - 1;1;2} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;4; - 2} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 2; - 4;2} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 2;2;4} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{ }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên \(\left( P \right)\) là:
-
A.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
B.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 - 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
C.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 5 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
D.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là:
-
A.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
-
D.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(2;1;0),\,\,B(1;-1;3)\). Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x+3y-2z-1=0\) có phương trình là
-
A.
\(5x-y+z-9=0\).
-
B.
\(-5x-y+z+11=0\).
-
C.
\(5x+y-z+11=0\).
-
D.
\(-5x+y+z+9=0\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -1;2;-4 \right)\) và \(B\left( 1;0;2 \right)\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
-
A.
\(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+4}{3}\)
-
B.
\(d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3}\)
-
C.
\(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{3}\)
-
D.
\(d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-4}{3}\)
Lời giải và đáp án
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
-
A.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
-
B.
\(\int\limits_a^b {kdx} = k\left( {b - a} \right)\)
-
C.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} \) với \(b \in \left[ {a;c} \right]\)
-
D.
\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( { - x} \right)dx} \)
Đáp án : D
Các mệnh đề A, B, C đều đúng. Mệnh đề D sai.
HS thường nhầm lẫn giữa đáp án D và A, cần nhớ kĩ trong khi đổi cận.
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), khi đó:
-
A.
\(a = 0\)
-
B.
\(c = 1\)
-
C.
\(a = - 1\)
-
D.
\(a = c\)
Đáp án : B
Sử dụng tính chất hai véc tơ bằng nhau \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\)
\(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.\)
Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(0\)
Đáp án : C
- Số phức \(z\) là số ảo nếu \(a = 0\)
Đặt \(z = a + bi\)
Ta có: $\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5 $ $\Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25$ (1)
${z^2} = (a+bi)^2={a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2}=a^2-b^2+2abi$
Do \({z^2}\) là số thuần ảo nên:${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = a\\
b = - a
\end{array} \right.$
TH1: b=a thay vào (1) ta được:
${a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25$ $ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 4 \Rightarrow b = 4\\
a = - 3 \Rightarrow b = - 3
\end{array} \right.$
TH2: b=-a thay vào (1) ta được:
${a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 $ $\Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3 \Rightarrow b = - 3\\
a = - 4 \Rightarrow b = 4
\end{array} \right.$
Vậy có $4$ số phức cần tìm là: $4+4i, -3-3i,$ $3-3i, -4+4i$.
Một số em nhớ nhầm điều kiện số ảo là \(ab = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) dẫn đến chọn nhầm đáp án A là sai.
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các phương trình sau, phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z - 8 = 0.\)
-
B.
\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 9.\)
-
C.
\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0\)
-
D.
\(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 12y - 24z + 16 = 0\)
Đáp án : C
Điều kiện cần và đủ để \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)
Phương trình đáp án B có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) với \(a = - 1,b = 2,c = 1\) và \(R = 3\) là phương trình mặt cầu.
Phương trình đáp án A có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = - 1,b = - 1,c = - 1,d = - 8\) có \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {11} \) là một phương trình mặt cầu.
Xét phương án C có
\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4x + 2y + 2z + 16 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + y + z + 8 = 0\).
Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = 1,b = - \dfrac{1}{2},c = - \dfrac{1}{2},d = 8\) có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} - 8 < 0.\)
Không phải là phương trình mặt cầu.
Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A vì xác định sai số \(d = 8\) dẫn đến tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d < 0\) là sai.
Đặt \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {tdt} \). Khi đó \(F'\left( x \right)\) là hàm số nào dưới đây?
-
A.
\(F'\left( x \right) = x\)
-
B.
\(F'\left( x \right) = 1\)
-
C.
\(F\left( x \right) = x - 1\)
-
D.
\(F'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2}\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính tích phân \(F\left( b \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \).
Ta có: \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {tdt} = \left. {\dfrac{{{t^2}}}{2}} \right|_1^x = \dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{2} \Rightarrow F'\left( x \right) = x\)
HS thường nhầm lẫn \(F'\left( x \right) = \int\limits_1^x {t'dt} = \int\limits_1^x {1dt} = x - 1\) và chọn đáp án C là sai.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x;y = 2x$ và các đường thẳng $x = - 1;x = 1$ được xác định bởi công thức:
-
A.
$S = \left| {\int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} } \right|$
-
B.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} $
-
C.
$S = \int_{ - 1}^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
-
D.
$S = \int_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Đáp án : D
- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.
- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)
- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị:
${x^3}-x = 2x \Leftrightarrow {x^3}-3x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (chỉ xét trên $\left( {-1;1} \right)$)
Với $x \in \left( {-1;0} \right)$ thì ${x^3}-3x > 0$ ; với $x \in \left( {0;1} \right)$ thì ${x^3}-3x < 0$
Diện tích cần tìm là $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - 3x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right)dx} $
Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì véc tơ nào sau đây có thể là VTPT của \(\left( P \right)\)?
-
A.
\( - \overrightarrow a \) hoặc \( - \overrightarrow b \)
-
B.
\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\)
-
C.
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b \)
-
D.
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b \)
Đáp án : B
Vì tích có hướng của hai vecto là một vecto vuông góc với cả hai vecto ban đầu nên nó vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).
Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A vì không nhớ tính chất của của cặp VTCP của mặt phẳng.
Trong không gian $Oxyz$ cho $3$ véc tơ: \(\vec a\left( {4;2;5} \right),\vec b\left( {3;1;3} \right),\vec c\left( {2;0;1} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng
-
A.
\(\vec c = \left[ {\vec a,\vec b} \right]\)
-
B.
$3$ véc tơ cùng phương.
-
C.
$3$ véctơ đồng phẳng.
-
D.
$3$ véctơ không đồng phẳng.
Đáp án : C
Sử dụng điều kiện véc tơ cùng phương \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \), véc tơ đồng phẳng \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0\)
Tính \(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&5\\1&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&4\\3&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&2\\3&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;3; - 2} \right)\). Suy ra loại A
Tính \(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\vec c = \left( {1;3; - 2} \right).\left( {2;0;1} \right) = 0\). Suy ra \(\vec a,\vec b,\vec c\) đồng phẳng.
Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là các VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)
. Chọn kết luận sai?
-
A.
\(\left( P \right)\) có vô số véc tơ pháp tuyến
-
B.
\(\overrightarrow n = - \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\)
-
C.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\)
-
D.
\(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương.
Đáp án : C
- Một mặt phẳng có vô số VTPT nên A đúng.
- Véc tơ \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên mọi véc tơ cùng phương với nó đều là VTPT của \(\left( P \right)\), do đó B đúng, C sai.
- Hai véc tơ muốn là VTCP của mặt phẳng thì chúng phải không cùng phương nên D đúng.
Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A vì nghĩ rằng \(\left( P \right)\) chỉ có một VTPT là sai.
Gọi \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0\). Tính \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
-
A.
\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4\).
-
B.
\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \).
-
C.
\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 10\).
-
D.
\(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 5 \).
Đáp án : B
- Bước 1: Tính \(\Delta = {B^2} - 4AC\).
- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \)
- Bước 3: Tính các nghiệm:
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}\)
+ Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))
Ta có:
\(\Delta ' = 1 - 5 = - 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = - 1 + 2i\\{z_2} = - 1 - 2i\end{array} \right. \)
$\Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} + \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5$
Một số em tính sai \(\Delta = 16\) dẫn đến tìm được hai nghiệm là \(1\) và \( - 3\) nên chọn nhầm đáp án A là sai.
Cho số phức \(z\) thỏa mãn\(|z - 1 - 2i| = 4\). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(|z + 2 + i|\). Tính \(S = {M^2} + {m^2}\).
-
A.
$S = 34$
-
B.
$S = 82$
-
C.
$S = 68$
-
D.
$S = 36$
Đáp án : C
Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| A \right| - \left| B \right| \le \left| {A \pm B} \right| \le \left| A \right| + \left| B \right|\).
Đặc biệt $\left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \leqslant \left| {A \pm B} \right| \leqslant \left| A \right| + \left| B \right|$
Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có
\(|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2 - 4 = m\)
\(|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2 = M\)
Suy ra \({M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2 - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68\)
- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Tính sai mô đun số phức.
Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\(\int {0dx} = C\)
-
B.
\(\int {dx} = C\)
-
C.
\(\int {dx} = 0\)
-
D.
\(\int {0dx} = x + C\)
Đáp án : A
Ta có: \(\int {0dx} = C\) nên A đúng, D sai.
\(\int {dx} = x+C \) nên B, C sai
Nhiều HS sẽ chọn B vì nghĩ \(\int {dx} = C\) là sai.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là
-
A.
\({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)
-
B.
\({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
-
C.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)
-
D.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
Đáp án : D
- Tính bán kính mặt cầu \(R = IA\)
- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát:
Phương trình mặt cầu qua $I\left( {a,b,c} \right)$ và bán kính $R$có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}} = \sqrt {53} \)
Do đó \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)
Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án A vì nhớ nhầm dạng phương trình tổng quát của mặt cầu là sai.
Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)\), độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là:
-
A.
\(3\sqrt {19} \)
-
B.
\(\dfrac{{3\sqrt {19} }}{{13}}\)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\)
Đáp án : D
- Tìm véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng \(AB\).
- Đường cao \(OH\) chính là khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(AB\).
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3;1} \right)\)
$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2; - 1;1} \right)$
Do đó \(OH = d\left( {O,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {3^2} + {1^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\)
Kí hiệu \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm \(a,b.\)
-
A.
\(a = 3,b = 2.\)
-
B.
\(a = 3,b = 2\sqrt 2 .\)
-
C.
\(a = 3,b = \sqrt 2 .\)
-
D.
\(a = 3,b = - 2\sqrt 2 .\)
Đáp án : D
Sử dụng định nghĩa về số phức: $z = a + bi,a,b \in R$, trong đó $a$ là phần thực của số phức và $b$ là phần ảo của số phức
Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực bằng $3$ phần ảo bằng $ - 2\sqrt 2 $ hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$
Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - z - 2 = 0$ và cách $\left( Q \right)$ một khoảng là \(2\sqrt 3 \) .
-
A.
$x + y - z + 4 = 0$ hoặc $x + y - z - 8 = 0$ .
-
B.
$x + y - z - 4 = 0$ hoặc $x + y - z + 8 = 0$ .
-
C.
$x + y - z + 4 = 0$ hoặc $x + y - z + 8 = 0$ .
-
D.
$x + y - z - 4 = 0$ hoặc $x + y - z - 8 = 0$ .
Đáp án : A
- Gọi phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) ở dạng tổng quát với chú ý $\left( P \right)//\left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = k.\overrightarrow {{n_Q}} $
- Tìm một điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \(\left( Q \right)\) và viết công thức khoảng cách \(d\left( {A,\left( Q \right)} \right)\) và tìm.
- Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) là
\(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Vì $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$ nên $\left( P \right):x + y - z + c = 0$ với \(c \ne - 2\) .
Chọn $A\left( {2,0,0} \right)$ thuộc $\left( Q \right)$ ta có
\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow |2 + c| = 6\).
Suy ra $c = 4$ hoặc $c = - 8$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2;1} \right);B\left( {3;2;3} \right)$, có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x - y - 3 = 0$ , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$?
-
A.
$1$
-
B.
\(\sqrt 2 \)
-
C.
$2$
-
D.
\(2\sqrt 2 \)
Đáp án : D
+ Gọi tâm $\left( S \right)$ là $I\left( {a;b;c} \right)$
+ Tìm mối quan hệ của $a,b,c$ để biến đổi về 1 ẩn, sau đó đánh giá tìm min của $R$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)$ .
Suy ra \(a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)\)
\(I{A^2} = I{B^2} = {R^2}\) \( \Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {b^2} + 4b + 4 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\
\Leftrightarrow 4b + 4c - 4 = 0\\
\Leftrightarrow b + c - 1 = 0 \Leftrightarrow c = 1 - b
\end{array}\)
\({R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^2} = 3{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2 \)
\(\min R = 2\sqrt 2 \) khi $b = 0$
Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:
-
A.
\(dx = u'\left( t \right)dt\)
-
B.
\(dt = u'\left( x \right)dx\)
-
C.
\(dx = u\left( t \right)dt\)
-
D.
\(dt = dx\)
Đáp án : A
Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì \(dx = u'\left( t \right)dt\).
Cho số phức \({\rm{w}}\)và hai số thực \(a,b\). Biết \({z_1} = {\rm{w}} + 2i\) và \({z_2} = 2w - 3\) là 2 nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\). Tính \(T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\).
-
A.
\(T = 2\sqrt {13} \).
-
B.
\(T = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\).
-
C.
\(T = \dfrac{{2\sqrt {85} }}{3}\).
-
D.
\(T = 4\sqrt {13} \).
Đáp án : B
Nếu \({z_1};{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + az + b = 0\) thì \({z_1} = \overline {{z_2}} \).
Đặt \({\rm{w}} = x + yi\). Khi đó:
\(\begin{array}{l}{z_1} = x + yi + 2i = x + \left( {y + 2} \right)i;{z_2} = 2(x + yi) - 3 = \left( {2x - 3} \right) + 2yi \\ \Rightarrow {z_2} = \left( {2x - 3} \right) - 2yi\\{z_1} = \overline {{z_2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x - 3\\y + 2 = - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 + \dfrac{4}{3}i\\{z_2} = 3 - \dfrac{4}{3}i\end{array} \right. \\ \Rightarrow T = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)}^2}} + \sqrt {{3^2} + {{\left( { - \dfrac{4}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2\sqrt {97} }}{3}\end{array}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\)
Đáp án : B
Xét từng đáp án:
- Xác định tâm mặt cầu và thay vào mặt phẳng.
- Tính bán kính mặt cầu và kiểm tra khoảng cách từ tâm đến các điểm \(A,B,C\) bằng bán kính.
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâm \({I_A}(1, - 1,1)\) và \({R_A} = \sqrt {13} \)
+ B cho mặt cầu tâm \({I_B}(2, - 1,3)\) và \({R_B} = 4\)
+ C cho mặt cầu tâm \({I_C}( - 2,1, - 3)\) và \({R_C} = 2\sqrt 3 \)
+ D cho mặt cầu tâm \({I_D}(1, - 1,1)\) và \({R_D} = \sqrt 5 \)
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) hay không. Loại được đáp án C.
- Ta thấy\({I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\), nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với \({R_A},{R_D}\) .
Có \(IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {21} \) . Ta thấy \(IM \ne {R_A} \ne {R_D}\). Loại A và D
Tính \(I = \int {x{{\tan }^2}xdx} \) ta được:
-
A.
\( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
-
B.
\( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
-
D.
\(\dfrac{1}{2}{x^2} - x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức \({\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1,\) sau đó tách thành 2 nguyên hàm và sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
\(I = \int {x{{\tan }^2}xdx} = \int {x\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \int {x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int {xdx} = {I_1} - {I_2}\)
Ta có: \({I_2} = \int {xdx} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + {C_2},{I_1} = \int {x\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \tan x\end{array} \right.$
$\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = x\tan x - \int {\tan xdx} + {C_1} = x\tan x - \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} + {C_1} \\ = x\tan x + \int {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} + {C_1} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1}.\\ \Rightarrow I = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - {C_2} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| - \dfrac{{{x^2}}}{2} + C.\end{array}$
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm \(I( - 1;2; - 5)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 10 = 0\) theo thiết diện là hình tròn có diện tích \(3\pi \). Phương trình của $\left( S \right)$ là:
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)
-
B.
\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 5)^2} = 25\)
-
C.
\({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(x - 5)^2} = 16\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 12 = 0\)
Đáp án : A
+ Xác định bán kính mặt cầu $\left( S \right)$
+ Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)
Gọi $O$ là tâm của đường tròn thiết diện, $E$ là một điểm thuộc đường tròn.
Ta có: $IO = d\left( {I,(P)} \right);R = IE$
\(IO = d\left( {I,(P)} \right) = \dfrac{{|2.( - 1) - 2.2 + 5 + 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + 1} }} = 3\)
\(S = 3\pi = \pi .O{E^2} \Leftrightarrow O{E^2} = 3\)
Tam giác $IOE$ vuông tại $O$ nên \({R^2} = I{E^2} = I{O^2} + O{E^2} = 3 + 9 = 12.\)
Suy ra phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là:
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 12\) hay \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 10z + 18 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {2;2;0} \right)\) và \(D\left( {0;m;0} \right)\). Điều kiện cần và đủ của \(m\) để khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(2\) là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.\).
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 2\end{array} \right.\).
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = - 2\end{array} \right.\).
Đáp án : C
Khoảng cách \(AB\) và \(CD\) được tính theo công thức \(d\left( {AB,CD} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}}.\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right)\), \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;m - 2;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2;2; - 2} \right)\).
Suy ra \(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {2m - 4;4;m - 2} \right)\).
Do đó \(d\left[ {AB,CD} \right] = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right].\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right]} \right|}} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2\left( {2m - 4} \right) + 8 - 2\left( {m - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m - 4} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\)
\( \Leftrightarrow \left| {2m + 4} \right| = 2\sqrt {5{m^2} - 20m + 36} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).
Cho số phức $z$ thay đổi, luôn có $\left| z \right| = 2$ . Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức ${\rm{w}} = (1 - 2i)\overline z + 3i$ là
-
A.
Đường tròn ${x^2} + {(y - 3)^2} = 2\sqrt 5 $
-
B.
Đường tròn ${x^2} + {(y + 3)^2} = 20$
-
C.
Đường tròn ${x^2} + {(y - 3)^2} = 20$
-
D.
Đường tròn ${(x - 3)^2} + {y^2} = 2\sqrt 5 $
Đáp án : C
- Đặt \(w = a + bi\), rút $\overline z $ theo \(w\) và thay và điều kiện \(\left| z \right| = 2\) suy ra đáp án.
Giả sử ${\rm{w}} = a + bi(a,b \in R) \Rightarrow a + bi = (1 - 2i)\overline z + 3i$ $\begin{array}{l} \Rightarrow \overline z = \dfrac{{a + (b - 3)i}}{{1 - 2i}} = \dfrac{{\left[ {a + (b - 3)i} \right](1 + 2i)}}{5} = \dfrac{{a - 2(b - 3) + (2a + b - 3)i}}{5}\\ \Rightarrow \left| {\overline z } \right| = \dfrac{1}{5}\sqrt {{{\left[ {a - 2(b - 3)} \right]}^2} + {{(2a + b - 3)}^2}} = 2\\ \Rightarrow {(a - 2b + 6)^2} + {(2a + b - 3)^2} = 100\\ \Rightarrow {(a - 2b)^2} + {(2a + b)^2} + 12(a - 2b) - 6(2a + b) = 55\\ \Rightarrow 5{a^2} + 5{b^2} - 30b = 55 \Rightarrow {a^2} + {b^2} - 6b = 11 \Rightarrow {a^2} + {(b - 3)^2} = 20\end{array}$
Kết quả của tích phân \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} \) được viết dưới dạng \(a + b\ln 2\) với \(a,b \in Q\). Khi đó \(a + b\) có giá trị là:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
B.
\( - \dfrac{3}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D.
\( - \dfrac{5}{2}\)
Đáp án : B
Sử dụng bảng nguyên hàm các hàm sơ cấp để tính tích phân, từ đó tìm \(a,b \Rightarrow a + b\).
Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + x + 2\ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0 \)
$= \dfrac{1}{2} - 2\ln 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = - \dfrac{3}{2}$
Một số em HS tính nhầm bước thế cận dẫn đến kết quả \( - \dfrac{1}{2} + 2\ln 2\) và chọn đáp án A là sai.
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) quay quanh \(Oy\,\,?\)
-
A.
$V = 36\pi .$
-
B.
$V = 24\pi .$
-
C.
$V = 16\pi .$
-
D.
$V = 64\pi .$
Đáp án : D
Rút hàm số đã cho theo biến y : \(x = f\left( y \right)\), Vẽ hình và xác định các đường giới hạn.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(x = f\left( y \right),x = g\left( y \right),y = a,y = b\) là \(V = \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right|dy} \).
\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 16\left( {1 - \dfrac{{{y^2}}}{9}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} \)
Phương trình tung độ giao điểm của đồ thị \(\left( E \right)\) với $Oy$ là \(\dfrac{0}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - \,3\\y = 3\end{array} \right..\)
Ta xét thể tích vật tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} \), đường thẳng $x = 0, y = 3, y = 0$ quanh trục $Ox$ là: \(V = \left| {\dfrac{{16}}{9}\pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - {y^2}} \right)dy} } \right| = \left| {\dfrac{{16}}{9}\left. {\pi \left( {9y - \dfrac{{{y^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3} \right| = 32\pi \).
Khi đó thể tích cần tìm là \(2V = 64\pi \).
Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình \((S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\) và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)\) là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:
-
A.
\(mn = \dfrac{{276}}{{49}}\)
-
B.
\(mn = - \dfrac{{276}}{{49}}\)
-
C.
\(mn = 4\)
-
D.
\(mn = - 4\)
Đáp án : A
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) biết VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)\) và đi qua \(A\).
- \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\).
- Tìm GTLN của biểu thức \(d\left( {B,\left( P \right)} \right)\) và suy ra đáp án.
$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $
Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$
Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$
Phương trình (*) luôn có nghiệm
$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$
Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $
$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$
$\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\) trên \(\left( 0;\,+\infty \right)\).
-
A.
\(-3\sin x+\dfrac{1}{x}+C\).
-
B.
\(3\sin x-\dfrac{1}{x}+C\).
-
C.
\(3\cos x+\dfrac{1}{x}+C\).
-
D.
\(3\cos x+\ln x+C\).
Đáp án : B
Ta có \(\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int {\left( {3\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right){\text{d}}x} = 3\sin x - \dfrac{1}{x} + C\)
Gọi \(F\left( x \right) = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {2{x^3} + 9{x^2} - 2x + 5} \right){e^x}\). Tính \({a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2}\)
-
A.
$244$
-
B.
$247$
-
C.
$245$
-
D.
$246$
Đáp án : D
+) \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).
+) Sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số.
\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nên ta có \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = \left( {3a{x^2} + 2bx + c} \right){e^x} + \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right){e^x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a{x^3} + \left( {3a + b} \right){x^2} + \left( {2b + c} \right)x + c + d} \right){e^x}\end{array}\)
Do đó \(\left( {a{x^3} + \left( {3a + b} \right){x^2} + \left( {2b + c} \right)x + c + d} \right){e^x} = \left( {2{x^3} + 9{x^2} - 2x + 5} \right){e^x}\)
Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\3a + b = 9\\2b + c = - 2\\c + d = 5\end{array} \right.\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\\c = - 8\\d = 13\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = {d^2} = 246\)
Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:
-
A.
$0$.
-
B.
$\frac{{64}}{3}$.
-
C.
$7$.
-
D.
\(12,5\).
Đáp án : B
Phá dấu giá trị tuyệt đối trong từng khoảng rồi tính tích phân.
$\begin{array}{c}\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {(x - 3)(x + 1)} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^3 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)dx} \\ = - \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)} \right|_{ - 1}^3 + \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)} \right|_3^5 = \dfrac{{64}}{3}.\end{array}$
$F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \ln x$ và $F\left( 1 \right) = 3.$ Khi đó giá trị của $F\left( e \right)$ là:
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$4$
-
D.
$3$
Đáp án : C
Ta có: $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} hay{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right).} $
+) Tìm nguyên hàm của hàm $f\left( x \right)$ bằng phương pháp tích phân từng phần sau đó thay giá trị $F\left( 1 \right) = 3$ để tìm hàng số C.
+) Thay giá trị $x = e$ vào hàm $F\left( x \right)$ vừa tìm được để tính $F\left( e \right).$
Theo đề bài ta có: $F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\ln xdx} .$
Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \ln x}\\{dv = dx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = \dfrac{1}{x}dx}\\{v = x}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\ln xdx} = x\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx = x\ln x - \int {dx} = x\ln x - x + C.} $
Theo đề bài ta có: $F\left( 1 \right) = 3 \Rightarrow 1.\ln {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1 - 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 4.$
$\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{ \Rightarrow F\left( x \right) = x\ln x - x + 4}\\{{\rm{ \;}}}&{ \Rightarrow F\left( e \right) = e\ln e - e + 4 = 4.}\end{array}$
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
-
A.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
B.
$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
C.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
D.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Đáp án : A
Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Cho hai số phức ${z_1} = 2017 - i$ và ${z_2} = 2 - 2016i$. Tìm số phức $z = {z_1}.{z_2}.$
-
A.
$z = 2017 - 4066274i$.
-
B.
$z = 2018 + 4066274i$.
-
C.
$z = 2018 - 4066274i$.
-
D.
$z = 2016 - 4066274i$.
Đáp án : C
Sử dụng công thức nhân hai số phức \(z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i\)
Ta có $z = {z_1}.{z_2} = \left( {2017 - i} \right)\left( {2 - 2016i} \right) = 2017.2 - 2017.2016i - 2i + 2016{i^2}$
$ = 4034 - 4066272i - 2i - 2016 = \left( {4034 - 2016} \right) + \left( { - 4066272i - 2} \right)i = 2018 - 4066274i.$
Các em cũng có thể dùng MTBT để tính, chú ý bấm MODE + 2 rồi mới bấm tích \({z_1}{z_2}\).
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó
-
A.
\(r = \sqrt 2 \)
-
B.
$r = 2$
-
C.
$r = 4$
-
D.
\(r = 2\sqrt 2 \)
Đáp án : D
Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\)
Bước 2: Thay \(z\) vào đề bài \( \Rightarrow \) Sinh ra một phương trình:
+) Đường thẳng: \(Ax + By + C = 0.\)
+) Đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\)
+) Parabol: \(y = a.{x^2} + bx + c\)
+) Elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1\)
Giả sử $w = a + bi$ . Ta có
\(\begin{array}{l}w = (1 - i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)z + i\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + i + 2(1 - i)\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + 2 - i\\ \Leftrightarrow (1 - i)(z - 2) = a - 2 + (b + 1)i\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{a - 2 + (b + 1)i}}{{1 - i}}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{\left[ {a - 2 + (b + 1)i} \right](1 + i)}}{2}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - 2 - b - 1 + (a - 2 + b + 1)i} \right]\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - b - 3 + (a + b - 1)i} \right]\end{array}\)
Theo giả thiết $\left| {z - 2} \right| = 2$ nên ta có \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}\left[ {{{(a - b - 3)}^2} + {{(a + b - 1)}^2}} \right] = 4 \Leftrightarrow {(a - b - 3)^2} + {(a + b - 1)^2} = 16 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 10 - 8a + 4b = 16\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {(b + 1)^2} = 8\end{array}\)
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \).
Thu gọn số phức $w = {i^5} + {i^6} + {i^7} + ... + {i^{18}}$ có dạng \(a + bi\). Tính tổng \(S = a + b.\)
-
A.
\(S = 0.\)
-
B.
\(S = {2^{10}} + 1.\)
-
C.
\(S = 1\).
-
D.
\(S = {2^{10}}\).
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân \({S_n} = u_1.\dfrac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\).
Ta có $w = {i^5}\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right) $ $= i.\left( {1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}} \right).$
Dễ thấy $T = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^{13}}$ là tổng của cấp số nhân có $14$ số hạng, trong đó số hạng đầu tiên ${u_1} = 1$, công bội $q = i$.
Do đó $T = {u_1}\dfrac{{1 - {q^{14}}}}{{1 - q}} = 1.\dfrac{{1 - {i^{14}}}}{{1 - i}} = \dfrac{{1 + 1}}{{1 - i}}$ $ = \dfrac{{2\left( {1 + i} \right)}}{{1 + 1}} = 1 + i$
Vậy \(w = i\left( {1 + i} \right) = - 1 + i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = a + b = 0\)
Biết số phức $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5 $ và biểu thức $P = {\left| {z + 2} \right|^2} - {\left| {z - i} \right|^2}$ đạt giá trị lớn nhất. Tính $\left| z \right|$.
-
A.
$\left| z \right| = \sqrt {33} $.
-
B.
$\left| z \right| = 50$.
-
C.
$\left| z \right| = \sqrt {10} $.
-
D.
$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $.
Đáp án : D
- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\)
- Bước 2: Thay \(z\) và biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\) suy ra tập hợp biểu diễn của số phức \(z\).
- Bước 3: Sử dụng mối quan hệ hình học để tìm mô đun số phức cần tìm.
Vì $\left| {z - \left( {3 + 4i} \right)} \right| = \sqrt 5 \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5.$
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;4} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5 $.
Ta có $P = {\left| {\left( {x + 2} \right) + yi} \right|^2} - {\left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right|^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} - \left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right]$.
$ = 4x + 2y + 3 \Leftrightarrow 4x + 2y + 3 - P = 0.$
Ta tìm $P$ sao cho đường thẳng $\Delta :4x + 2y + 3 - P = 0$ và đường tròn $\left( C \right)$ có điểm chung $ \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] \le R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {12 + 8 + 3 - P} \right|}}{{\sqrt {20} }} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {23 - P} \right| \le 10 \Leftrightarrow 13 \le P \le 33.$
Do đó ${P_{\max }} = 33$. Dấu $'' = ''$ xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 2y - 30 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = \,5\end{array} \right.$.
Vậy $\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 $.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;3; - 3} \right)\), \(A',\,\,B',\,\,C'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \). Nếu \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) thì \(G'\) có tọa độ là:
-
A.
\(\left( {2;\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)
-
B.
\(\left( {2; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
-
C.
\(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
-
D.
$\left( { - 2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
Đáp án : C
Nhận xét trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) rồi suy ra kết luận.
Gọi \(G'\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\).
Ta có \(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {G'A} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {BB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'C} + \overrightarrow {CC'} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {G'A} + \overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {G'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \).
Suy ra \(G'\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên có tọa độ \(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right).\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và \(\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}\).
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng \({d_3}\) qua \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và vuông góc với cả \({d_1},\,\,{d_2}.\)
-
A.
\(\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{{17}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{9} = \dfrac{{z - 2}}{3}\)
-
D.
\({d_3}:\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 14}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)
Đáp án : B
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)
Đường \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow a = \left( {1; - 4;6} \right)\); \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow b = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Vì \({d_3}\) vuông góc với \({d_1};\,\,{d_2}\) nên có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {14;17;9} \right)\).
Cho \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{d}x=}\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f(x)\text{d}x}=1.\) Giá trị của \(\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f(x)}{{{3}^{x}}+1}\text{d}x}\) bằng
-
A.
3
-
B.
1
-
C.
4
-
D.
6
Đáp án : A
Chọn hàm (hàm chẵn, 2 giả thiết \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+b\)) hoặc đổi biến số để tính tích phân
Ta có: \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=1\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=1}}}\) và \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx=2.}\)
\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=3.}}\)
Mặt khác: \(\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}dx}=\int\limits_{-2}^{0}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}dx+\int\limits_{0}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}dx}}\) và \(y=f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(R.\)
\(\Rightarrow f\left( -x \right)=f\left( x \right)\ \forall x\in R.\)
Gọi \(I=\int\limits_{-2}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}\,\text{d}x}\), đặt \(t=-\,x\Rightarrow \text{d}t=-\,\text{d}x\) và đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=-\,2\,\,\Rightarrow \,\,t=2 \\ & x=2\,\,\Rightarrow \,\,t=-\,2 \\ \end{align} \right..\)
Suy ra \(I=\int\limits_{2}^{-\,2}{\frac{f\left( -t \right)}{{{3}^{-t}}+1}\,\left( -\,\text{d}t \right)}=\int\limits_{-\,2}^{2}{\frac{f\left( t \right)}{\frac{1}{{{3}^{t}}}+1}\,\text{d}t}=\int\limits_{-\,2}^{2}{\frac{{{3}^{x}}f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}\,\text{d}x}\)
\(\Rightarrow \,\,2I=\int\limits_{-\,2}^{2}{\frac{\left( {{3}^{x}}+1 \right)f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+1}\,\text{d}x}=\int\limits_{-\,2}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\)
Do \(f\left( x \right)\) là hàm chẵn nên suy ra \(\int\limits_{-\,2}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\).
Vậy \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\,\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=3.\)
Cho \(\int\limits_0^b {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 3} }}dx} = 2\) với \(b \in K\). Khi đó $K$ có thể là khoảng nào trong các khoảng sau?
-
A.
\(K = \left( {1;2} \right)\)
-
B.
\(K = \left( {0;1} \right)\)
-
C.
\(K = \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\)
-
D.
\(K = \left( {2;3} \right)\)
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 3} \).
Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 3} \Rightarrow {t^2} = {e^x} + 3 \Leftrightarrow 2tdt = {e^x}dx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = b \Rightarrow t = \sqrt {{e^b} + 3} \end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
\(\int\limits_0^b {\frac{{{e^x}}}{{\sqrt {{e^x} + 3} }}dx} = 2 \Leftrightarrow \int\limits_2^{\sqrt {{e^b} + 3} } {\frac{{2tdt}}{t}} = 2 \Leftrightarrow \left. t \right|_2^{\sqrt {{e^b} + 3} } = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{e^b} + 3} - 2 = 1 \Leftrightarrow b = \ln 6 \approx 1,8\)
Vậy trong các khoảng ở đáp án chỉ có đáp án A thỏa mãn.
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
-
A.
\(T=10\).
-
B.
\(T=9\).
-
C.
\(T=8\).
-
D.
\(T=11\).
Đáp án : C
Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.
Đặt \({{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt\).
Đổi cận:
$\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 9\\
x = 4 \Rightarrow t = 25
\end{array}$
Khi đó, ta có: \(I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8\)
Suy ra, \(a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8\)
Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) bằng
-
A.
\(\frac{4\pi +\sqrt{3}}{12}\)
-
B.
\(\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\)
-
C.
\(\frac{4\pi +2\sqrt{3}-3}{6}\)
-
D.
\(\frac{5\sqrt{3}-2\pi }{3}\)
Đáp án : B
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right),y=0,x=a;x=b\) \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\)
Ta có:
\(\sqrt{3}{{x}^{2}}=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1(TM) \\ & x=-1(L) \\ \end{align} \right.\)
Do đó:
\(S=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\left. \frac{\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}} \right|_{0}^{1}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\)
Tính \(I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\).
Đặt \(x=2\sin t\Rightarrow dx=2\cos tdt\).
Đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=1\Rightarrow \sin t=\frac{1}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{6} \\ & x=2\Rightarrow \sin t=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2} \\ \end{align} \right.\)
\(\begin{align} & I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}.2\cos tdt}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{4{{\cos }^{2}}tdt}=\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2}{2\left( \cos 2t+1 \right)dt} \\ & =\left. \sin 2t \right|_{\pi /6}^{\pi /2}+\left. 2t \right|_{\pi /6}^{\pi /2}=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}\)
Suy ra \(S=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\).
Tìm thể tích \(V\) của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn \({{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\) khi quay quanh trục \(Ox.\)
-
A.
\(V=24{{\pi }^{2}}.\)
-
B.
\(V=24\pi .\)
-
C.
\(V=16\pi .\)
-
D.
\(V=36{{\pi }^{2}}.\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay được quay quanh trục hoành của các đồ thị hàm số : \(y=f\left( x \right);\ x=a;\ x=b\ \ \left( a<b \right)\) là : \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx.\)
Ta có \({{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}=4-{{x}^{2}}\Leftrightarrow \left[\begin{align} & y=f\left( x \right)=\sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \\ & y=g\left( x \right)=-\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \\\end{align} \right.\)
Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V=\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{{{f}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}-\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{{{g}^{2}}\left( x \right)\,\text{d}x}\)
\(\begin{align} & =\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right)\,\text{d}x} \\ & =\pi \int\limits_{-\,2}^{2}{\left( {{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}+3 \right)}^{2}}-{{\left( 3-\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right)\,\text{d}x} \\ & =\pi \,\int\limits_{-\,2}^{2}{12\sqrt{4-{{x}^{2}}}\,\text{d}x}=24{{\pi }^{2}}. \\\end{align}\)
Vậy thể tích cần tính là \(V=24{{\pi }^{2}}.\)
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x},\) trục hoành và đường thẳng \(x=9.\) Khi (H) quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng:
-
A.
\(18\)
-
B.
\(\frac{18}{2}\)
-
C.
\(18\pi \)
-
D.
\(\frac{81\pi }{2}\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật tròn xoay.
Thể tích của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành, đường thẳng \(x=a;\,\,x=b\) quanh $Ox$ là \(V=\pi \int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx}\).
Đk: \(x\ge 0\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\). Khi đó \(V=\pi \int\limits_{0}^{9}{xdx}=\left. \pi \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{9}=\frac{81\pi }{2}\)
Tích phân \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}\) bằng:
-
A.
\({{e}^{-2}}\)
-
B.
\({{e}^{3}}-e\)
-
C.
\(e-{{e}^{3}}\)
-
D.
\({{e}^{2}}\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính tích phân của hàm cơ bản.
Ta có: \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}=\left. {{e}^{x}} \right|_{1}^{3}={{e}^{3}}-e.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2; - 1;3} \right)\) và \(B(0;3;1)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là
-
A.
\(\left( { - 1;1;2} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;4; - 2} \right)\)
-
C.
\(\left( { - 2; - 4;2} \right)\)
-
D.
\(\left( { - 2;2;4} \right)\)
Đáp án : A
Cho \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
\(I\) là trung điểm của \(AB\) thì tọa độ của \(I\) thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 0}}{2} = - 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{ - 1 + 3}}{2} = 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1;2} \right)\)
Rất nhiều HS quên chia cho \(2\) khi tính tọa độ trung điểm dẫn đến chọn nhầm đáp án D
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{ }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên \(\left( P \right)\) là:
-
A.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
B.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 - 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
C.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 5 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
D.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
Đáp án : D
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(\Delta \) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và vuông góc với \(\left( P \right)\), suy ra $\left( Q \right):2x + y - 3z + 1 = 0.$
Khi đó \(\Delta '\) cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\2x + y - 3z + 1 = 0\end{array} \right..$
Đặt \(z = t,\) ta có phương trình tham số của \(\Delta '\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t{\rm{ }}}\end{array}} \right..\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là:
-
A.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
-
D.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
Đáp án : C
- Gọi \(B = \Delta \cap d\)
- \(\Delta //\left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0\)
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Gọi \(B = \Delta \cap d\), suy ra \(B \in d \Rightarrow B\left( {3 + t;3 + 3t;2t} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 + t;1 + 3t;1 + 2t} \right)\).
Vì \(\Delta \parallel \left( \alpha \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow 2 + t + 1 + 3t - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Do đó phương trình \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm \(A(2;1;0),\,\,B(1;-1;3)\). Mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x+3y-2z-1=0\) có phương trình là
-
A.
\(5x-y+z-9=0\).
-
B.
\(-5x-y+z+11=0\).
-
C.
\(5x+y-z+11=0\).
-
D.
\(-5x+y+z+9=0\).
Đáp án : A
Cho \(\overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}}\) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), khi đó \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] =\) \( \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) =\) \( \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\)
Gọi mặt phẳng cần tìm là \(\left( \alpha \right)\).
(P): \(x+3y-2z-1=0\) có một VTPT \(\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\left( 1;3;-2 \right)=\overrightarrow{{{u}_{1}}}\). Vì \(\left( \alpha \right)\bot (P)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha \right)}}\bot {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}\)
\(AB\subset \left( \alpha \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( \alpha \right)}}\bot \overrightarrow{AB}=\left( -1;-2;3 \right)=\overrightarrow{u_2}\)
Khi đó, \(\left( \alpha \right)\)có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(5;-1;1)\)
Phương trình \(\left( \alpha \right)\): \(5.(x-2)-1.(y-1)+1.(z-0)=0\Leftrightarrow 5x-y+z-9=0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -1;2;-4 \right)\) và \(B\left( 1;0;2 \right)\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.
-
A.
\(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+4}{3}\)
-
B.
\(d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-4}{3}\)
-
C.
\(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{3}\)
-
D.
\(d:\,\,\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-4}{3}\)
Đáp án : C
Đường thẳng d đi qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)\,\,\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}>0 \right)\) có phương trình chính tắc: \(\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}\)
Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 2;-2;6 \right)=2\left( 1;-1;3 \right)\).
\(\Rightarrow \) đường thẳng d đi qua A và nhận \(\overrightarrow{u}=\left( 1;-1;3 \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình : \(d:\,\,\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+4}{3}\)
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
