Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 2

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

A.

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B.

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C.

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D.

$2x - y - 1 = 0$

Câu 2 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn$|z - 1 - 2i| = 4$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $|z + 2 + i|$. Tính $S = {M^2} + {m^2}$.

A.

$S = 34$
B.

$S = 82$
C.

$S = 68$
D.

$S = 36$

Câu 3 :

Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau ${z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i$. Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

A.

$m = - 3$
B.

$m = 1$
C.

$m = - 1$
D.

$m = 3$

Câu 4 :

Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó

A.

$w = {2^{50}}i$
B.

$w = - {2^{51}}$
C.

$w = {2^{51}}$.
D.

$w = - {2^{50}}i$.

Câu 5 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha ):4x + 3y - 7z + 3 = 0$ và điểm $I(0;1;1)$. Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ qua $I$ là:

A.

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 3 = 0$
B.

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 11 = 0$
C.

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 11 = 0$
D.

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 5 = 0$

Câu 6 :

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0$

A.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2$
B.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3$
C.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$
D.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

Câu 7 :

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} $ thành:

A.

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} $
B.

$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
C.

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
D.

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} $

Câu 8 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $R$ thỏa mãn $\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 10;\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 18;\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = 7$. Giá trị của $\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} $ là:

A.

$ - 15$
B.

$7$
C.

$15$
D.

$ - 7$

Câu 9 :

Cho ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $|{z_1} - {z_2}| = 1$ và $|{z_1} + {z_2}| = 3$. Tính $\max T = |{z_1}| + |{z_2}|$

A.

$8$
B.

$10$
C.

$4$
D.

$\sqrt {10} $

Câu 10 :

Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\overline z $

A.

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2i$
B.

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2$
C.

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2i$
D.

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2$

Câu 11 :

Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz$, cho hai điểm $E\left( {2,1,1} \right),{\rm{ }}F\left( {0,3, - 1} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $EF$ có phương trình là:

A.

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 3.$
B.

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 9.$
C.

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 9.$
D.

${(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 9.$

Câu 12 :

Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:

A.

Cả mặt phẳng
B.

Đường thẳng
C.

Một điểm
D.

Hai đường thẳng

Câu 13 :

Cho hình phẳng giới hạn bởi $D = \left\{ {y = \tan x;\,\,y = 0;\,\,x = 0;\,\,x = \dfrac{\pi }{3}} \right\}.$ Thể tích vật tròn xoay khi $D$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi \left( {a - \dfrac{\pi }{b}} \right),$ với $a,\,\,b \in R.$ Tính $T = {a^2} + 2b.$

A.

$T = 6.$
B.

$T = 9.$
C.

$T = 12.$
D.

$T = 3.$

Câu 14 :

Cho hình lập phương $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khoảng cách giữa $MN$ và $A'C$ là:

A.

$\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
B.

$\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}$

Câu 15 :

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = - \,{x^2} + 2x$ và $y = 0$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ là

A.

$V = \dfrac{7}{3}\pi .$
B.

$V = \dfrac{8}{3}\pi .$
C.

$V = \dfrac{{10}}{3}\pi .$
D.

$V = \dfrac{{16}}{3}\pi .$

Câu 16 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} $. Gọi $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}$. Chọn kết luận đúng:

A.

$a - b = - 1$
B.

$a + b = 1$
C.

$a + b = 2$
D.

$a - b = 0$

Câu 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y + 6z + 5 = 0$. Tiếp diện của $(S)$ tại điểm $M(-1;2;0)$ có phương trình là:

A.

$2x+y=0$
B.

$x = 0$
C.

$y = 0$
D.

$z = 0$

Câu 18 :

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0$ và điểm $M\left( {0;1;1} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
B.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
C.

$M \in \left( P \right)$
D.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

Câu 19 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(2; - 1;1)$, $B(3;0; - 1)$, $C(2; - 1;3)$ và $D$ thuộc trục $Oy$ . Tính tổng tung độ của các điểm $D$, biết thể tích tứ diện bằng $5$ .

A.

$ - 6$
B.

$2$
C.

$7$
D.

$ - 4$

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y = 0$. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua $A\left( { - 1;3; - 4} \right)$ cắt trục $Ox$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$:

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 3 + t\\z - 4 - t\end{array} \right.$
C.

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{4}$
D.

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 4}}{4}$

Câu 21 :

Người ta cần trồng hoa tại phần đắt nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ $O$ , bán kính bằng $\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$ và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt 2 $ và độ dài trục nhỏ bằng $2$ (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón $\dfrac{{100}}{{(2\sqrt 2 - 1)\pi }}kg$ phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?

A.

$30kg$
B.

$40kg$
C.

$50kg$
D.

$45kg$

Câu 22 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72$ và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

A.

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B.

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C.

$mn = 4$
D.

$mn = - 4$

Câu 23 :

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ là :

A.
$\sin x - \cos x + C$
B.
$\sin x + \cot x + C$
C.
$\cos x - \sin x + C$
D.
$\sin x + \cos x + C$

Câu 24 :

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f'\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$. Biết rằng $f\left( 0 \right)=2018$. Giá trị của biểu thức $f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)$ bằng:

A.
$\ln 2$
B.

$2\ln 4$
C.
$\ln 3$
D.
$2\ln 2$

Câu 25 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn $[0;\pi ]$ đạt giá trị bằng $0$ ?

A.

$f(x) = \cos 3x$.
B.

$f(x) = \sin 3x$.
C.

$f(x) = \cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$.
D.

$f(x) = \sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$.

Câu 26 :

Tính tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

A.

$I = \ln \dfrac{6}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$
B.

$I = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{6}$
C.

$I = \ln \dfrac{4}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$
D.

$I = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}$

Câu 27 :

Tính tổng $T$ của phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.$

A.

$T = 11$.
B.

$T = 11 + 6\sqrt 2 $.
C.

$T = - 7 + 6\sqrt 2 $.
D.

$T = - 7$.

Câu 28 :

Tìm phần ảo $b$ của số phức $w = \dfrac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$ với $z = 5 - 3i$.

A.

$b = 0.$
B.

$b = - 6$.
C.

$b = - 3i$.
D.

$b = - 3$.

Câu 29 :

Cho hai số phức ${z_1} = 2017 - i$ và ${z_2} = 2 - 2016i$. Tìm số phức $z = {z_1}.{z_2}.$

A.

$z = 2017 - 4066274i$.
B.

$z = 2018 + 4066274i$.
C.

$z = 2018 - 4066274i$.
D.

$z = 2016 - 4066274i$.

Câu 30 :

Tìm môđun của số phức $z$, biết $\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i.$

A.

$\left| z \right| = \sqrt[4]{{\dfrac{1}{2}}}.$
B.

$\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
C.

$\left| z \right| = \sqrt[4]{2}.$
D.

$\left| z \right| = \sqrt 2 .$

Câu 31 :

Cho phương trình $4{z^4} + m{z^2} + 4 = 0$ trong tập số phức và $m$ là tham số thực. Gọi ${z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3},{\rm{ }}{z_4}$ là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left( {z_1^2 + 4} \right)\left( {z_2^2 + 4} \right)\left( {z_3^2 + 4} \right)\left( {z_4^2 + 4} \right) = 324$.

A.

$m = 1$ hoặc $m = - 35$.
B.

$m = - 1$ hoặc $m = - 35$.
C.

$m = - 1$ hoặc $m = 35$.
D.

$m = 1$ hoặc $m = 35$.

Câu 32 :

Gọi $S$ là tổng phần thực và phần ảo của số phức $w = {z^3} - i$, biết $z$ thỏa mãn $z + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\overline {iz} $. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

$S = - 46.$
B.

$S = - 36$.
C.

$S = - 56$.
D.

$S = - 1$.

Câu 33 :

Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức $z = 3 + 2i$ và $B$ là điểm biểu diễn của số phức $z' = 2 + 3i$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua trục hoành.
B.

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua trục tung.
C.

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$.
D.

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Câu 34 :

Cho ba điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ lần lượt biểu diễn ba số phức ${z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3}$ với ${z_3} \ne {z_1}$ và ${z_3} \ne {z_2}.$ Biết $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$ và ${z_1} + {z_2} = 0.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$.
B.

Tam giác $ABC$ đều
C.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.
D.

Tam giác $ABC$ cân tại $C$.

Câu 35 :

Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ là đường thẳng $\Delta $ như hình vẽ. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.

A.

${\left| z \right|_{\min }} = 2.$
B.

${\left| z \right|_{\min }} = 1.$
C.

${\left| z \right|_{\min }} = \sqrt 2 .$
D.

${\left| z \right|_{\min }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Câu 36 :

Hoành độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k $ là:

A.

$ - 1$
B.

$1$
C.

$2$
D.

$ - 2$

Câu 37 :

Cho hai véc tơ $\overrightarrow u = \left( {m;2;1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {0;n;p} \right)$. Biết $\overrightarrow u = \overrightarrow v $, giá trị $T = m - n + p$ bằng:

A.

$3$
B.

$2$
C.

$1$
D.

$ - 1$

Câu 38 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

$A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

A.

$4$
B.

$5$
C.

$7$
D.

$6$

Câu 39 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $d$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với trục $Ox$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$. Phương trình của $d$ là:

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = - t\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3t\\z = - t\end{array} \right.$
C.

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3t\\z = t\end{array} \right.$

Câu 40 :

Cho hàm số $y=f(x)$ có $f'(x)$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ 0;+\infty \right)$ thỏa mãn $3f(x)+f'(x)=\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}$ biết $f(0)=\frac{11}{3}$. Giá trị $f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)$ bằng

A.
$\frac{1}{2}$.
B.
$\frac{5\sqrt{6}}{18}$.
C.
$1.$
D.
$\frac{5\sqrt{6}}{9}$.

Câu 41 :

Cho $\left( H \right)$ là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình $y=\frac{10}{3}x-{{x}^{2}}$, $y=\left\{ \begin{align} & -x\,\,\,\,\,\,\,\text{khi}\,x\le 1 \\ & x-2\,\,\text{khi}\,\,x>1 \\ \end{align} \right.$. Diện tích của $\left( H \right)$ bằng?

A.
$\frac{11}{6}.$
B.
$\frac{13}{2}$.
C.
$\frac{11}{2}$.
D.
$\frac{14}{3}$.

Câu 42 :

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-4x+4$, trục tung và trục hoành. Xác định k để đường thẳng (d) đi qua điểm $A\left( 0;4 \right)$ và có hệ số góc k chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau.

A.

k=-8
B.

k=-6
C.

k=-2
D.
k=-4

Câu 43 :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{e^x}$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2;x = 3$ có công thức tính là

A.
$S = \int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} .$
B.
$S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{e^x}} \right|dx} .$
C.
$S = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} } \right|.$
D.
$S = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} .$

Câu 44 :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},\ \ y=0,\ x=0,\ x=1$ xung quanh trục $Ox$ là:

A.
$V=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
B.
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx.}$
C.
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
D.
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx.}$

Câu 45 :

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;-2;\ 1 \right),\ B\left( 1;-1;\ 3 \right).$ Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB}$ là

A.
$\left( -1;\ 1;\ 2 \right)$
B.
$\left( -3;\ 3;-4 \right)$
C.
$\left( 3;-3;4 \right)$
D.
$\left( 1;-1;-2 \right)$

Câu 46 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M\left( {2; - 6;3} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 - 2t\\z = t\end{array} \right.$. Tọa độ hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$ là:

A.

$\left( {1; - 2;0} \right)$
B.

$\left( { - 8;4; - 3} \right)$
C.

$\left( {1;2;1} \right)$
D.

$\left( {4; - 4;1} \right)$

Câu 47 :

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d có phương trình $d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{3}$ với mặt phẳng (P) có phương trình $(P):x + 2y - z - 3 = 0$ là:

A.

$A\left( { - 3;1; - 7} \right)$
B.

$B\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$
C.

$C\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$
D.

$D\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)$

Câu 48 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( 0;1;2 \right),\,\,B\left( 2;-\,2;0 \right)$ và $C\left( -\,2;0;1 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,$ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ có phương trình là

A.

$4x-2y+z+4=0.$
B.

$4x+2y+z-4=0.$
C.

$4x-2y-z+4=0.$
D.

$4x+2y-z+4=0.$

Câu 49 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right):\,\,3x-y+4z+2=0$ và $\left( {{Q}_{2}} \right):\,\,3x-y+4z+8=0$. Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$ là:

A.

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+10=0$
B.

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$
C.

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z-10=0$
D.

$\left( P \right):\,\,3x-y+4y-5=0$

Câu 50 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right).$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A,\,\,B$ và $\left( P \right)$ cách điểm $O$ một khoảng lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A.
$x+2y+6z-7=0.$
B.
$x+2y+4z-5=0.$
C.
$x+2y+5z-6=0.$
D.
$2x+3y+5z-6=0.$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

A.

$x - 2y + 3z - 2 = 0$
B.

$x - 2y - 3z - 2 = 0$
C.

$x + 2y - 3z - 6 = 0$
D.

$2x - y - 1 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu

+ Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$

+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB} = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Câu 2 :

Cho số phức $z$ thỏa mãn$|z - 1 - 2i| = 4$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $|z + 2 + i|$. Tính $S = {M^2} + {m^2}$.

A.

$S = 34$
B.

$S = 82$
C.

$S = 68$
D.

$S = 36$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: $\left| A \right| - \left| B \right| \le \left| {A \pm B} \right| \le \left| A \right| + \left| B \right|$.

Đặc biệt $\left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \leqslant \left| {A \pm B} \right| \leqslant \left| A \right| + \left| B \right|$

Lời giải chi tiết :

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

$|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2 - 4 = m$

$|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2 = M$

Suy ra ${M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2 - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68$

Chú ý

- Áp dụng sai bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

- Tính sai mô đun số phức.

Câu 3 :

A.

$m = - 3$
B.

$m = 1$
C.

$m = - 1$
D.

$m = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tích vô hướng $2$ véc tơ vuông góc với nhau thì bằng $0$

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${z_2} = 2i$

Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$

$\overrightarrow {AB} = ( - 1;1);\overrightarrow {BC} = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3$

Câu 4 :

Gọi ${z_{1,}}$${z_2}$ là các nghiệm phức của phương trình ${z^2} + 4z + 5 = 0$. Đặt $w = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}$, khi đó

A.

$w = {2^{50}}i$
B.

$w = - {2^{51}}$
C.

$w = {2^{51}}$.
D.

$w = - {2^{50}}i$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp giải phương trình bậc hai trên tập hợp số phức:

- Bước 1: Tính $\Delta = {B^2} - 4AC$.

- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của $\Delta $

- Bước 3: Tính các nghiệm:

+ Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}$

+ Nếu $\Delta \ne 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ${z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}$ (ở đó $\sqrt \Delta $ là kí hiệu căn bậc hai của số phức $\Delta $)

Lời giải chi tiết :

Ta có:

${z^2} + 4z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = - 1 \Leftrightarrow {(z + 2)^2} = {i^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 2 + i\\{z_2} = - 2 - i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + 1 = i - 1\\{z_2} + 1 = - i - 1\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^2} = {(i - 1)^2} = - 2i\\{({z_2} + 1)^2} = {( - i - 1)^2} = 2i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({z_1} + 1)^4} = - 4\\{({z_2} + 1)^4} = - 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow {({z_1} + 1)^{100}} + {({z_2} + 1)^{100}} = {\left( { - 4} \right)^{25}} + {\left( { - 4} \right)^{25}} = 2.{\left( { - {2^2}} \right)^{25}} = - {2^{51}}\end{array}$

Câu 5 :

A.

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 3 = 0$
B.

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 11 = 0$
C.

$(\beta ):4x + 3y - 7z - 11 = 0$
D.

$(\beta ):4x + 3y - 7z + 5 = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ suy ra $(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} $

$(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$qua I, suy ra I là trung điểm của AA’ với $A \in \left( \alpha \right);A' \in \left( \beta \right)$

Lời giải chi tiết :

$(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = (4;3; - 7)$

Lấy $A(0; - 1;0) \in \left( \alpha \right)$. Gọi $A' \in \left( \beta \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$.

$ \Rightarrow I$ là trung điểm của $AA'$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow A'(0;3;2)\\ \Rightarrow 4(x - 0) + 3(y - 3) - 7(z - 2) = 0\\ \Rightarrow 4x + 3y - 7z + 5 = 0\end{array}$

Câu 6 :

Viết phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0$

A.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2$
B.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3$
C.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4$
D.

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$, đó chính là bán kính mặt cầu cần tìm

Lời giải chi tiết :

Khoảng cách từ $I$ đến $\left( P \right)$ được tính theo công thức $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 2 - 2.3 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$

Phương trình mặt cầu cần tìm là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$

Chú ý

Sau khi tính được $R=3$, nhiều em sẽ chọn nhầm đáp án B vì quên không bình phương $R$.

Câu 7 :

Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} $ thành:

A.

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} $
B.

$I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
C.

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $
D.

$I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$, đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$.

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$.

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt u = lnx $ \Rightarrow du = \dfrac{{dx}}{x}$ và $x = {e^u}$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 0\\x = e \Rightarrow u = 1\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - u}}{{{e^u}}}du} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $

Chú ý

Một số em sau khi tính được $I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} $ vội vàng kết luận đáp án C mà không chú ý cận.

Câu 8 :

A.

$ - 15$
B.

$7$
C.

$15$
D.

$ - 7$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} $

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = 10 - 7 - 18 = - 15 \Rightarrow \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = 15\end{array}$

Chú ý

Một số em sau khi tính được $\int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = - 15$ sẽ kết luận ngay đáp án A là sai.

Câu 9 :

Cho ${z_1},{z_2}$ thỏa mãn $|{z_1} - {z_2}| = 1$ và $|{z_1} + {z_2}| = 3$. Tính $\max T = |{z_1}| + |{z_2}|$

A.

$8$
B.

$10$
C.

$4$
D.

$\sqrt {10} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gọi ${z_1} = {x_1} + {y_1}i$,${z_2} = {x_2} + {y_2}i$, thay vào biểu thức đề bài tìm mối liên hệ ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2}$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ để đánh giá $\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$.

Lời giải chi tiết :

Giả sử ${z_1} = {x_1} + {y_1}i$,${z_2} = {x_2} + {y_2}i$.

Theo giả thiết $|{z_1} - {z_2}| = 1$ có

${({x_1} - {x_2})^2} + {({y_1} - {y_2})^2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 - 2{y_1}{y_2} = 1$ (1)

Theo giả thiết $|{z_1} + {z_2}| = 3$ có

${({x_1} + {x_2})^2} + {({y_1} + {y_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 + 2{y_1}{y_2} = 9$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có

$x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5$

Ta có

$T = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2} $

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$T \le \sqrt {2.(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)} = \sqrt {10} $

Chú ý

- Áp dụng sai bất đẳng thức Bunhiacopxki.

- Tính sai mô đun số phức.

Câu 10 :

Cho số phức $z = 3-2i$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $\overline z $

A.

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2i$
B.

Phần thực bằng $-3$ và Phần ảo bằng $-2$
C.

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2i$
D.

Phần thực bằng $3$ và Phần ảo bằng $2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là $a - bi$.

Phần thực và phần ảo của $z = a + bi$ lần lượt là $a,b$.

Lời giải chi tiết :

Số phức liên hợp của $z$ là $3 + 2i$, phần thực $3$, phần ảo $2$.

Chú ý

Một số em sẽ chọn đáp án C vì nhầm lẫn $2i$ là phần ảo của số phức.

Câu 11 :

A.

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 3.$
B.

${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {z^2} = 9.$
C.

${(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z + 1)^2} = 9.$
D.

${(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 9.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm tọa độ tâm mặt cầu: là trung điểm của $AB$.

- Tính bán kính mặt cầu: $R = \dfrac{{AB}}{2}$, suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết :

Ta có $EF = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{(1 + 1)}^2}} = 2\sqrt 3 $ .

Mặt cầu $(S)$ đường kính $EF $ nhận trung điểm $I$ của $EF$ là tâm, có $I\left( {1,2,0} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{1}{2}EF = \sqrt 3 $.

Chú ý

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án $B$ vì tính nhầm bán kính $R = 3$ là sai.

Câu 12 :

Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:

A.

Cả mặt phẳng
B.

Đường thẳng
C.

Một điểm
D.

Hai đường thẳng

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi số phức $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ có điểm biểu diễn là $M\left( {x;y} \right)$.

Bước 2: Thay $z = x + yi$ vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa $x,y$.

Bước 3: Kết luận:

- Phương trình đường thẳng: $Ax + By + C = 0$

- Phương trình đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$

- Phương trình parabol: $y = a{x^2} + bx + c$ hoặc $x = a{y^2} + by + c$

- Phương trình elip: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Lời giải chi tiết :

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in R} \right)$ thì ${\left| z \right|^2} = {z^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {x^2} + 2xyi - {y^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\{x^2} + {y^2} = {x^2} - {y^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = 0\end{array} \right.$

Do đó tập điểm biểu diễn $z$ là đường thẳng $y = 0$.

Câu 13 :

A.

$T = 6.$
B.

$T = 9.$
C.

$T = 12.$
D.

$T = 3.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),x = a,x = b$ quanh trục Ox là: $V = \pi .\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} .$

Lời giải chi tiết :

Thể tích vật tròn xoay cần tính là $V = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {{{\tan }^2}x\,{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)\,{\rm{d}}x} .$$=\pi \left. \left( \tan x-x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{3}}=\pi \left( \sqrt{3}-\dfrac{\pi }{3} \right)=\pi \left( a-\dfrac{\pi}{3} \right)\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align} & a=\sqrt{3} \\ & b=3 \\ \end{align} \right..$

Vậy $T = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 2.3 = 9.$

Câu 14 :

A.

$\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$
B.

$\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm tọa độ điểm $C$, sử dụng tính chất $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} $.

- Tính các véc tơ $\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} $.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}$

Lời giải chi tiết :

Gọi $C\left( {x;y;z} \right)$ ta có:

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 0 = x - 0\\0 - 0 = y - 1\\0 - 0 = z - 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;1;0} \right)$

Lại có

$\begin{array}{l}M\left( {\dfrac{1}{2};0;0} \right),N\left( {\dfrac{1}{2};1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {A'C} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {MA'} = \left( { - \dfrac{1}{2};0;1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\1\end{array}&\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}0\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\1\end{array}&\begin{array}{l}1\\1\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;0; - 1} \right)\end{array}$

Vậy $d\left( {MN,A'C} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right].\overrightarrow {MA'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {A'C} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 1} \right).\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 0.0 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}$

Câu 15 :

A.

$V = \dfrac{7}{3}\pi .$
B.

$V = \dfrac{8}{3}\pi .$
C.

$V = \dfrac{{10}}{3}\pi .$
D.

$V = \dfrac{{16}}{3}\pi .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Rút hàm số theo biến y, $x = f\left( y \right);x = g\left( y \right)$.

Giải phương trình tung độ giao điểm để tìm ra các cận $y = a$ và $y = b$.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục $Oy$ của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số $x = f\left( y \right),x = g\left( y \right),y = a,y = b$ là $V = \pi\int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right|dy} $.

Lời giải chi tiết :

Ta có $y = - \,{x^2} + 2x \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 - y \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{ }}x = 1 - \sqrt {1 - y} \\{\rm{ }}x = 1 + \sqrt {1 - y} \end{array} \right..$

Xét phương trình tung độ giao điểm $1 - \sqrt {1 - y} = 1 + \sqrt {1 - y} \Leftrightarrow \sqrt {1 - y} = 0 \Leftrightarrow y = 1$.

Khi đó, thể tích cần tính là $V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right|{\rm{d}}y} = \left| {\pi \int\limits_0^1 {4\sqrt {1 - y} \,{\rm{d}}y} } \right|$

Đặt $\sqrt {1 - y} = t \Leftrightarrow 1 - y = {t^2} \Leftrightarrow dy = - 2tdt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}y = 0 \Leftrightarrow t = 1\\y = 1 \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right.$

Khi đó $V=\left| -\pi \int\limits_{1}^{0}{4t.2tdt} \right|=\left| 8\pi \int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}dt} \right|=\left| 8\left. \pi \dfrac{{{t}^{3}}}{3} \right|_{0}^{1} \right|=\dfrac{8\pi }{3}$

Chú ý

Học sinh cần phân biệt bài toán xoay quanh trục Ox và xoay quanh trục Oy.

Câu 16 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} $. Gọi $a,b$ là các số nguyên thỏa mãn $I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}$. Chọn kết luận đúng:

A.

$a - b = - 1$
B.

$a + b = 1$
C.

$a + b = 2$
D.

$a - b = 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính tích phân bằng phương pháp từng phần:

- Bước 1: Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \sin \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{ax + b}}\\dv = \cos \left( {cx + d} \right)dx\end{array} \right.$

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức $\int\limits_m^n {udv} = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} $.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = - \cos x\end{array} \right.$ $I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = \left. { - {e^x}\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = 1 + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = \sin xdx\end{array} \right.$

Khi đó $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} = \left. {{e^x}\sin x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx} = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I$

Do đó $I = 1 + {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I \Leftrightarrow 2I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1 \Leftrightarrow I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

Quan sát các đáp án ta thấy đáp án A thỏa mãn.

Câu 17 :

A.

$2x+y=0$
B.

$x = 0$
C.

$y = 0$
D.

$z = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $\left( S \right)$

+ Phương trình tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M \in \left( S \right)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} $ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2; - 3} \right)$ và bán kính $R = 3$

Ta có : $M( - 1;2;0) \in \left( S \right)$

Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng tiếp diện của $\left( S \right)$ tại $M$.

Khi đó $\left( \alpha \right)$ đi qua $M$ và nhận $\overrightarrow {IM} \left( {0;0;3} \right)$ làm véctơ pháp tuyến

Vậy $\left( \alpha \right):0(x + 1) + 0(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0$

Câu 18 :

Cho mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0$ và điểm $M\left( {0;1;1} \right)$. Chọn kết luận đúng:

A.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
B.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$
C.

$M \in \left( P \right)$
D.

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính khoảng cách từ $M$ đến hai mặt phẳng trên, từ đó suy ra kết quả.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0$ nên A sai, D sai, B đúng.

Do đó $M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)$ nên C sai.

Chú ý

Một số em khi tính khoảng cách từ $M$ đến $\left( P \right)$ thì quên không trừ $1$ ở vế phải dẫn đến tính ra khoảng cách bằng $0$ và kết luận $M \in \left( P \right)$ là sai.

Câu 19 :

A.

$ - 6$
B.

$2$
C.

$7$
D.

$ - 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức tính tọa độ vecto:

Cho hai điểm $A({a_1};{a_2};{a_3})$ và $B({b_1};{b_2};{b_3})$ta có: $\overrightarrow {AB} = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})$

- Sử dụng công thức tính vô hướng

Cho hai vecto $\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})$ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}$

- Sử dụng công thức tính tích có hướng:

Cho hai vecto $\overrightarrow {AB} = ({a_1};{a_2};{a_3})$ và $\overrightarrow {CD} = ({b_1};{b_2};{b_3})$ta có:

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)$

- Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện

${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{,}}\overrightarrow {AC} } \right]{\rm{.}}\overrightarrow {AD} } \right|$

Lời giải chi tiết :

Giả sử $D\left( {0;y;0} \right) \in Oy$ ta có:

$\overrightarrow {AB} = (1;1; - 2),\overrightarrow {AC} = (0;0;2),\overrightarrow {AD} = ( - 2;y + 1; - 1)$

Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {2; - 2;0} \right)$

Theo công thức tính thể tích ta có

${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}.\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {2.( - 2) - 2.(y + 1) + 0.( - 1)} \right]} \right| = \dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right|$

Theo giả thiết ta có ${V_{ABCD}} = 5$, suy ra ta có:

$\dfrac{1}{6}\left| {6 + 2y} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {6 + 2y} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 6 = 30\\2y + 6 = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 12\\y = - 18\end{array} \right.$

Suy ra $D(0;12;0)$ hoặc $D(0; - 18;0)$

Do đó tổng tung độ của các điểm $D$ là $12 + ( - 18) = - 6$

Chú ý

- Tính sai tọa độ các véc tơ.

- Nhầm lẫn các công thức tính tích có hướng và vô hướng.

- Nhớ sai công thức tính thể tích tứ diện.

Câu 20 :

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 3 + t\\z - 4 - t\end{array} \right.$
C.

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z + 4}}{4}$
D.

$\dfrac{{x + 1}}{6} = \dfrac{{y - 3}}{{ - 5}} = \dfrac{{z + 4}}{4}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ giao điểm $B$ của $d$ với $Ox$.

- $d//\left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0$

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng $\left( P \right)$ có VTPT $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;0} \right)$.

Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm. Ta có $d \cap Ox = B\left( {b;0;0} \right)$.

Suy ra $d$ có VTCP $\overrightarrow {AB} = \left( {b + 1; - 3;4} \right)$.

Do $d\parallel \left( P \right)$ nên $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Rightarrow \left( {b + 1} \right).1 + \left( { - 3} \right).2 + 4.0 = 0 \Leftrightarrow b = 5 \Rightarrow B\left( {5;0;0} \right).$

Đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm $A,{\rm{ }}B$ nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 6t\\y = - 3t\\z = 4t\end{array} \right.$.

Câu 21 :

A.

$30kg$
B.

$40kg$
C.

$50kg$
D.

$45kg$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tính diện tích elip và diện tích hình tròn dựa vào công thức tích phân.

- Tính diện tích phần trồng hoa.

- Tính số kg phân bón cần dùng.

Lời giải chi tiết :

Phương trình elip: $\dfrac{{{x^2}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Ta có : $y = \sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} $ (nửa trên của elip)

Diện tích của elip là: $S = 4\int_0^{\sqrt 2 } {\sqrt {1 - \dfrac{{{x^2}}}{2}} } dx$

Đặt $x = \sqrt 2 \cos a \Rightarrow 1 - \dfrac{{{x^2}}}{2} = {\sin ^2}a$

Suy ra: $dx = - \sqrt 2 \sin ada$

Đổi cận $x = \sqrt 2 \Rightarrow a = 0$ ; $x = 0$ thì $a = \dfrac{\pi }{2}$

${S_1} = \int_{\dfrac{\pi }{2}}^0 { - \sqrt 2 {{\sin }^2}ada} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\int_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {\left( {\cos 2a - 1} \right)da} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left. {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2a - a} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \dfrac{{\sqrt 2 \pi }}{4}$$ \Rightarrow S = 4{S_1} = \sqrt 2 \pi $

Diện tích hình tròn là : $S' = \pi {R^2} = \pi .\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\pi $

Diện tích trồng hoa: ${S_b} = \pi \left( {\sqrt 2 - \dfrac{1}{2}} \right)$

Số kg phân bón là :$\dfrac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}.\left( {\sqrt 2 - \dfrac{1}{2}} \right)\pi = 50kg$

Câu 22 :

A.

$mn = \dfrac{{276}}{{49}}$
B.

$mn = - \dfrac{{276}}{{49}}$
C.

$mn = 4$
D.

$mn = - 4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ biết VTPT $\overrightarrow n = \left( {1;m;n} \right)$ và đi qua $A$.

- $\left( P \right)$ tiếp xúc $\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)$.

- Tìm GTLN của biểu thức $d\left( {B,\left( P \right)} \right)$ và suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ = > d(B,(P))\max = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19} \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

$\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$

Câu 23 :

Nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$ là :

A.
$\sin x - \cos x + C$
B.
$\sin x + \cot x + C$
C.
$\cos x - \sin x + C$
D.
$\sin x + \cos x + C$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

$\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C$

Câu 24 :

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có $f'\left( x \right)=\frac{1}{x+1}$. Biết rằng $f\left( 0 \right)=2018$. Giá trị của biểu thức $f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)$ bằng:

A.
$\ln 2$
B.

$2\ln 4$
C.
$\ln 3$
D.
$2\ln 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$f\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right)dx}$.

Lời giải chi tiết :

$f\left( x \right)=\int\limits_{{}}^{{}}{f'\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1}{x+1}dx}$ $=\ln \left| x+1 \right|+C$

$f\left( 0 \right)=2018\Leftrightarrow C=2018$ $\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left| x+1 \right|+2018$

$\Rightarrow f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)$ $=\ln 4+2018-\ln 2-2018=\ln 2$

Câu 25 :

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn $[0;\pi ]$ đạt giá trị bằng $0$ ?

A.

$f(x) = \cos 3x$.
B.

$f(x) = \sin 3x$.
C.

$f(x) = \cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$.
D.

$f(x) = \sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính tích phân các hàm đã cho trên $\left[ {0;\pi } \right]$, sử dụng các công thức nguyên hàm hàm lượng giác cơ bản:

$\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C$, $\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C$ và công thức tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)$

Lời giải chi tiết :

Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án:

+) $\int\limits_0^\pi {\cos 3xdx} = \left. {\dfrac{1}{3}\sin 3x} \right|_0^\pi = 0$,

+) $\int\limits_0^\pi {\sin 3xdx} = - \left. {\dfrac{1}{3}\cos 3x} \right|_0^\pi = \dfrac{2}{3}$,

+) $\int\limits_0^\pi {\cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)dx} = \left. {4\sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right|_0^\pi = 2\left( {\sqrt 2 - 2} \right)$,

+) $\int\limits_0^\pi {\sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)dx} = \left. { - 4\cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right|_0^\pi = 2\sqrt 2 $.

Vậy chọn $f(x) = \cos 3x$.

Câu 26 :

Tính tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} $

A.

$I = \ln \dfrac{6}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$
B.

$I = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{6}$
C.

$I = \ln \dfrac{4}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}$
D.

$I = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đặt $t = \sin x + \cos x$, tính $dt$ và đổi cận thay vào tính $I$.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = \sin x + \cos x \Rightarrow dt = \left( {\cos x - \sin x} \right)dx,$ đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} \Rightarrow t = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.$

$ \Rightarrow I = \int\limits_{\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}^{\sqrt 2 } {\dfrac{{ - dt}}{t}} = \left. { - \ln \left| t \right|} \right|_{\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}^{\sqrt 2 } = - \ln \sqrt 2 + \ln \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2} = \ln \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{{2\sqrt 2 }} = \ln \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}$

Câu 27 :

Tính tổng $T$ của phần thực và phần ảo của số phức $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.$

A.

$T = 11$.
B.

$T = 11 + 6\sqrt 2 $.
C.

$T = - 7 + 6\sqrt 2 $.
D.

$T = - 7$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biến đổi $z$ về dạng $z = a + bi$ suy ra phần thực và phần ảo.

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .3i + {\left( {3i} \right)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i - 9 = - 7 + 6\sqrt 2 i.$

Suy ra $T = - 7 + 6\sqrt 2 .$

Câu 28 :

Tìm phần ảo $b$ của số phức $w = \dfrac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right)$ với $z = 5 - 3i$.

A.

$b = 0.$
B.

$b = - 6$.
C.

$b = - 3i$.
D.

$b = - 3$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm $\overline z $ và thay và tìm $w$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = 5 - 3i \Rightarrow \bar z = 5 + 3i.$

Vậy $\dfrac{1}{{2i}}\left( {z - \bar z} \right) = \dfrac{1}{{2i}}\left[ {\left( {5 - 3i} \right) - \left( {5 + 3i} \right)} \right] = \dfrac{1}{{2i}}\left( { - 6i} \right) = - 3 = - 3 + 0i.$

Câu 29 :

Cho hai số phức ${z_1} = 2017 - i$ và ${z_2} = 2 - 2016i$. Tìm số phức $z = {z_1}.{z_2}.$

A.

$z = 2017 - 4066274i$.
B.

$z = 2018 + 4066274i$.
C.

$z = 2018 - 4066274i$.
D.

$z = 2016 - 4066274i$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nhân hai số phức $z.z' = \left( {a + bi} \right)\left( {a' + b'i} \right) = \left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i$

Lời giải chi tiết :

Ta có $z = {z_1}.{z_2} = \left( {2017 - i} \right)\left( {2 - 2016i} \right) = 2017.2 - 2017.2016i - 2i + 2016{i^2}$

$ = 4034 - 4066272i - 2i - 2016 = \left( {4034 - 2016} \right) + \left( { - 4066272i - 2} \right)i = 2018 - 4066274i.$

Chú ý

Các em cũng có thể dùng MTBT để tính, chú ý bấm MODE + 2 rồi mới bấm tích ${z_1}{z_2}$.

Câu 30 :

Tìm môđun của số phức $z$, biết $\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i.$

A.

$\left| z \right| = \sqrt[4]{{\dfrac{1}{2}}}.$
B.

$\left| z \right| = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.$
C.

$\left| z \right| = \sqrt[4]{2}.$
D.

$\left| z \right| = \sqrt 2 .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính ${z^2}$ suy ra $\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}$ rồi tính $\left| z \right|$.

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết, ta có $\dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}i = \dfrac{{1 + i}}{2} \Rightarrow {z^2} = \dfrac{2}{{1 + i}} = 1 - i.$.

Lấy môđun hai vế và chú ý $\left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2}$, ta được ${\left| z \right|^2} = \sqrt 2 \leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt[4]{2}.$

Câu 31 :

A.

$m = 1$ hoặc $m = - 35$.
B.

$m = - 1$ hoặc $m = - 35$.
C.

$m = - 1$ hoặc $m = 35$.
D.

$m = 1$ hoặc $m = 35$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đặt $t = {z^2}$, đưa phương trình về ẩn $t$.

- Biến đổi đẳng thức bài cho về đẳng thức liên quan đến các nghiệm ${t_1},{t_2}$ và sử dụng định lý Vi-et đưa về phương trình ẩn $m$.

- Giải phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Đặt $t = {z^2}$, phương trình trở thành $4{t^2} + mt + 4 = 0$ có hai nghiệm ${t_1},{\rm{ }}{t_2}$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = - \dfrac{m}{4}\\{t_1}.{t_2} = 1\end{array} \right.$ .

Do vai trò của các nghiệm như nhau nên ta giả sử ta có $z_1^2 = z_2^2 = {t_1}$, $z_3^2 = z_4^2 = {t_2}$.

Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow {\left( {{t_1} + 4} \right)^2}{\left( {{t_2} + 4} \right)^2} = 324 \Leftrightarrow {\left[ {{t_1}{t_2} + 4\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 16} \right]^2} = 324$

$ \Leftrightarrow {\left( { - m + 17} \right)^2} = {18^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m + 17 = 18\\ - m + 17 = - 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 35\end{array} \right.$ .

Câu 32 :

A.

$S = - 46.$
B.

$S = - 36$.
C.

$S = - 56$.
D.

$S = - 1$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đặt $z = a + bi$, thay vào đẳng thức bài cho tìm $z$.

- Từ đó tính $w$.

Lời giải chi tiết :

Đặt $z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right)$, suy ra $iz = i\left( {x + yi} \right) = - y + xi$ $ \Rightarrow \overline {iz} = - y - xi$

Theo giả thiết, ta có $x + yi + 2 - 4i = \left( {2 - i} \right)\left( { - y - xi} \right)$

$ \Leftrightarrow x + 2 + \left( {y - 4} \right)i = \left( { - 2y - x} \right) + \left( {y - 2x} \right)i$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 = - 2y - x\\y - 4 = y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow z = 2 - 3i$

Khi đó $w = {z^3} - i = {\left( {2 - 3i} \right)^3} - i = - 46 - 10i$.

Câu 33 :

Gọi $A$ là điểm biểu diễn của số phức $z = 3 + 2i$ và $B$ là điểm biểu diễn của số phức $z' = 2 + 3i$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng với nhau qua trục hoành.
B.

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua trục tung.
C.

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$.
D.

Hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ mỗi điểm $A,B$ và nhận xét vị trí của $A,B$.

Lời giải chi tiết :

Số phức $z = 3 + 2i$ có điểm biểu diễn là $A$ suy ra $A\left( {3;2} \right)$.

Số phức $z' = 2 + 3i$ có điểm biểu diễn là $B$ suy ra $B\left( {2;3} \right)$.

Ta thấy $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = {y_B}\\{y_A} = {x_B}\end{array} \right.$ nên hai điểm $A$ và $B$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$.

Câu 34 :

A.

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$.
B.

Tam giác $ABC$ đều
C.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.
D.

Tam giác $ABC$ cân tại $C$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biểu diễn hình học các điểm biểu diễn ${z_1},{z_2},{z_3}$ và nhận xét tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết :

Giả sử $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = R.$

Khi đó $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ nằm trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$.

Do ${z_1} + {z_2} = 0$ nên hai điểm $A,{\rm{ }}B$ đối xứng nhau qua $O.$ Như vậy điểm $C$ nằm trên đường tròn đường kính $AB$ (bỏ đi hai điểm $A$ và $B$) hay tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

Câu 35 :

Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức $z$ là đường thẳng $\Delta $ như hình vẽ. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left| z \right|$.

A.

${\left| z \right|_{\min }} = 2.$
B.

${\left| z \right|_{\min }} = 1.$
C.

${\left| z \right|_{\min }} = \sqrt 2 .$
D.

${\left| z \right|_{\min }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Viết phương trình $\Delta $ suy ra khoảng cách theo công thức $d\left( {A,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Lời giải chi tiết :

$\Delta $ đi qua hai điểm $\left( {1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ nên có phương trình $\Delta :x + y - 1 = 0$.

Khi đó ${\left| z \right|_{\min }} = d\left[ {O,\Delta } \right] = \dfrac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Câu 36 :

Hoành độ điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k $ là:

A.

$ - 1$
B.

$1$
C.

$2$
D.

$ - 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa điểm trong không gian $Oxyz$

Lời giải chi tiết :

$\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)$. Do đó hoành độ của $M$ bằng $ - 1$.

Câu 37 :

A.

$3$
B.

$2$
C.

$1$
D.

$ - 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hai véc tơ bằng nhau nếu tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau

Lời giải chi tiết :

Do $\overrightarrow u = \overrightarrow v $ nên $m = 0,n = 2,p = 1$.

Vậy $m - n + p = 0 - 2 + 1 = - 1$.

Câu 38 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm

A.

$4$
B.

$5$
C.

$7$
D.

$6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điều kiện để $H$ là trực tâm của tam giác là $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)$.

Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + c = - 3\\ - a - b + 3c = 0\\ - a - 5b - 2c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$.

Do đó $a + b + c = 4$.

Câu 39 :

A.

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t\\z = - t\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3t\\z = - t\end{array} \right.$
C.

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{{ - 1}}$
D.

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 3t\\z = t\end{array} \right.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ thì $d$ có VTCP $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]$

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $\Delta $ có VTCP $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {1; - 1; - 3} \right)$. Trục $Ox$ có VTCP $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.

Do $d \bot Ox$ và $d \bot \Delta $ nên có VTCP $\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow i ,\overrightarrow u } \right] = \left( {0;3; - 1} \right)$.

Câu 40 :

A.
$\frac{1}{2}$.
B.
$\frac{5\sqrt{6}}{18}$.
C.
$1.$
D.
$\frac{5\sqrt{6}}{9}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đạo hàm: $\left( f.g \right)'=f'.g+f.g'$.

Lời giải chi tiết :

$3f(x)+f'(x)=\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\Leftrightarrow 3{{e}^{3x}}f(x)+{{e}^{3x}}f'(x)={{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}\Leftrightarrow \left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'={{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}$

$\Rightarrow \int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'dx}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}}dx\,$

Ta có: $\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\left[ {{e}^{3x}}f(x) \right]'dx}=\left. \left( {{e}^{3x}}f(x) \right) \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}={{e}^{\frac{3\ln 6}{2}}}f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-f(0)={{e}^{\ln \sqrt{{{6}^{3}}}}}f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}=6\sqrt{6}.f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}$

$\begin{align} I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{3x}}\sqrt{1+3{{e}^{-2x}}}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{{{e}^{2x}}\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}dx=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}{\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}\,d\left( {{e}^{2x}}+3 \right) \\ =\frac{1}{2}\left. .\frac{{{\left( \sqrt{{{e}^{2x}}+3} \right)}^{3}}}{\frac{3}{2}} \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}=\left. \frac{\left( {{e}^{2x}}+3 \right)\sqrt{{{e}^{2x}}+3}}{3} \right|_{0}^{\frac{1}{2}\ln 6}=9-\frac{8}{3}=\frac{19}{3} \\ \Rightarrow 6\sqrt{6}.f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)-\frac{11}{3}=\frac{19}{3}\Rightarrow f\left( \frac{1}{2}\ln 6 \right)=\frac{10}{6\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{6}}{18} \\ \end{align}$

Câu 41 :

A.
$\frac{11}{6}.$
B.
$\frac{13}{2}$.
C.
$\frac{11}{2}$.
D.
$\frac{14}{3}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chia thành các miền diện tích và áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết :

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=-x$ và $y=x-2$ là: $-x=x-2\,\Leftrightarrow x=1$.

Diện tích hình phẳng cần tính là:$S=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{10}{3}x-{{x}^{2}}+x \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{10}{3}x-{{x}^{2}}-x+2 \right)\text{d}x}$.

$\Leftrightarrow S=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{13}{3}x-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}+\int\limits_{1}^{3}{\left( \frac{7}{3}x-{{x}^{2}}+2 \right)\text{d}x}$

$\Leftrightarrow S=\left. \left( \frac{13}{6}{{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)\, \right|_{\,0}^{1}+\left. \left( \frac{7}{6}{{x}^{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{3}+2x \right)\, \right|_{1}^{3}=\frac{13}{2}$

Câu 42 :

A.

k=-8
B.

k=-6
C.

k=-2
D.
k=-4

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Tính diện tích hình (H), áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, đường thẳng x = a, x = b, trục hoành là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}$

+) Viết phương trình đường thẳng (d), đường thẳng (d) chia hình (H) thành 2 phần, trong đó có 1 phần là tam giác vuông, tính diện tích tam giác vuông và cho ${{S}_{\Delta }}=\frac{1}{2}{{S}_{\left( H \right)}}\Rightarrow $ tìm k.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow x=2$

$\Rightarrow $ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-4x+4$, trục tung và trục hoành là $S=\int\limits_{0}^{2}{\left| {{x}^{2}}-4x+4 \right|dx}=\frac{8}{3}$

Đường thẳng (d) đi qua A(0;4) và có hệ số góc là k chia hình (H) thành hai phần:

Phần 1: Tam giác vuông OAB có diện tích S₁.

Phần 2: Hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng (d), đồ thị hàm số $y={{x}^{2}}-4x+4$ và trục hoành.

Đường thẳng (d) có phương trình $y=kx+4$ cắt trục hoành tại điểm $B\left( -\frac{4}{k};0 \right)$, với ${{x}_{B}}\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow k\le -2$

Đường thẳng (d) chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau$\Rightarrow {{S}_{1}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.4.\left| \frac{-4}{k} \right|=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow \left| \frac{1}{k} \right|=\frac{1}{6}\Leftrightarrow k=\pm 6\Rightarrow k=-6$

Câu 43 :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{e^x}$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2;x = 3$ có công thức tính là

A.
$S = \int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} .$
B.
$S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{e^x}} \right|dx} .$
C.
$S = \left| {\int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} } \right|.$
D.
$S = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {x{e^x}dx} .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y =f(x)$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = a;x = b$ có công thức tính là $S = \int\limits_{ a}^b {\left| {f(x)} \right|dx} .$

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x{e^x}$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2;x = 3$ có công thức tính là $S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x{e^x}} \right|dx} .$

Câu 44 :

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x{{e}^{x}},\ \ y=0,\ x=0,\ x=1$ xung quanh trục $Ox$ là:

A.
$V=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
B.
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx.}$
C.
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$
D.
$V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{x}}dx.}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thể tích khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),\ \ y=g\left( x \right),\ x=a,\ x=b$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức:

$V=\pi \int\limits_{a}^{b}{\left| {{f}^{2}}\left( x \right)-{{g}^{2}}\left( x \right) \right|dx.}$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng công thức ta có thể tích khối tròn xoay bài cho là: $V=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( x{{e}^{x}} \right)}^{2}}dx=}\pi \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}{{e}^{2x}}dx.}$

Câu 45 :

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left( 2;-2;\ 1 \right),\ B\left( 1;-1;\ 3 \right).$ Tọa độ của vecto $\overrightarrow{AB}$ là

A.
$\left( -1;\ 1;\ 2 \right)$
B.
$\left( -3;\ 3;-4 \right)$
C.
$\left( 3;-3;4 \right)$
D.
$\left( 1;-1;-2 \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Cho hai điểm $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}};{{z}_{1}} \right);\ \ B\left( {{x}_{2}};\ {{y}_{2}};\ {{z}_{2}} \right).$ Khi đó ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{y}_{2}}-{{y}_{1}};\ {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right).$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};{{y}_{2}}-{{y}_{1}};\ {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right)=\left( 1-2;\ -1+2;\ 3-1 \right)=\left( -1;\ 1;\ 2 \right).$

Câu 46 :

A.

$\left( {1; - 2;0} \right)$
B.

$\left( { - 8;4; - 3} \right)$
C.

$\left( {1;2;1} \right)$
D.

$\left( {4; - 4;1} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Gọi tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$.

- $MH \bot d$ nên $\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0$.

Lời giải chi tiết :

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$.

Suy ra $H \in d$ nên $H\left( {1 + 3t; - 2 - 2t;t} \right)$$ \Rightarrow \overrightarrow {MH} = \left( {3t - 1;4 - 2t;t - 3} \right)$.

Đường thẳng $d$ có một VTCP là $\overrightarrow u = \left( {3; - 2;1} \right)$.

Ta có $MH \bot d$ nên $\overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow 3\left( {3t - 1} \right) - 2\left( {4 - 2t} \right) + \left( {t - 3} \right) = 0$$ \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {4; - 4;1} \right)$.

Câu 47 :

A.

$A\left( { - 3;1; - 7} \right)$
B.

$B\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$
C.

$C\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}} \right)$
D.

$D\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tham số. Suy ra tọa độ điểm $M \in (d)$

Sau đó thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng để tìm tham số. Kết luận.

Lời giải chi tiết :

Giả sử M là giao điểm của (d) và (P).

$d:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{3} \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 0 - t\\z = - 2 + 3t\end{array} \right.$

Lấy $M \in (d) \Rightarrow M\left( { - 1 + t; - t; - 2 + 3t} \right)$

Vì $M \in (P) \Rightarrow - 1 + t + 2.( - t) - ( - 2 + 3t) - 3 = 0 \Leftrightarrow - 4t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{2}$

Suy ra ta có $M\left( { - \dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right)$

Câu 48 :

A.

$4x-2y+z+4=0.$
B.

$4x+2y+z-4=0.$
C.

$4x-2y-z+4=0.$
D.

$4x+2y-z+4=0.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc cắt nhau theo giao tuyến d. Nếu đường thẳng a nằm trong (P) và vuông góc với d thì a vuông góc (Q).

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {ABC} \right) \cap \left( P \right) = AH\\
BC \subset \left( {ABC} \right)\\
BC \bot AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( P \right)$

Do đó $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $BC$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(0;1;2)$ và nhận $\overrightarrow {CB} = \left( {4; - 2; - 1} \right)$ làm VTPT nên:

$\left( P \right):4\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 2} \right) = 0$ hay $\left( P \right):4x - 2y - z + 4 = 0$.

Chú ý

Chú ý: Cách giải trắc nghiệm

Dễ thấy $4.0-2.1-2+4=0$ suy ra $A\in \left( P \right):4x-2y-z+4=0.$

Câu 49 :

A.

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+10=0$
B.

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$
C.

$\left( P \right):\,\,3x-y+4z-10=0$
D.

$\left( P \right):\,\,3x-y+4y-5=0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$ là mặt phẳng song song và nằm chính giữa $\left( {{Q}_{1}} \right)$ và $\left( {{Q}_{2}} \right)$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\frac{2+8}{2}=5\Rightarrow \left( P \right):\,\,3x-y+4z+5=0$

Câu 50 :

A.
$x+2y+6z-7=0.$
B.
$x+2y+4z-5=0.$
C.
$x+2y+5z-6=0.$
D.
$2x+3y+5z-6=0.$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi phương trình tổng quát của mặt phẳng là $ax+by+cz+d=0,$ biểu diễn các mối liên hệ giữa a, b, c, d theo dữ kiện điểm thuộc mặt phẳng, từ đó đưa về khảo sát hàm số tìm giá trị lớn nhất

Lời giải chi tiết :

Gọi phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+by+cz+d=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0.$

Vì $\left( P \right)$ đi qua hai điểm $A\left( -\,1;1;1 \right),\,\,B\left( 1;0;1 \right)$ suy ra$\left\{ \begin{array}{l}
- \,a + b + c + d = 0\\
a + c + d = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = 2a\\
d = - \,a - c
\end{array} \right..$

Khi đó, phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $ax+2ay+cz-a-c=0.$

Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ là $d\left( O;\left( P \right) \right)=\frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}$

Ta có ${{\left( a+c \right)}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{5}}.a\sqrt{5}+c \right)}^{2}}\le \left( {{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( 5{{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{{\left( a+c \right)}^{2}}}{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\le \frac{6}{5}\Leftrightarrow \frac{\left| a+c \right|}{\sqrt{5{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}}\le \frac{\sqrt{30}}{5}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $c=5a$$\Rightarrow d=-\,6a.$

Vậy $\left( P \right):x+2y+5z-6=0.$

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục

Bài giải mới nhất

Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 2

Báo lỗi góp ý