Bài 1 trang 122 SGK Hình học 12 Nâng cao


Bình chọn:
3.4 trên 5 phiếu

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Gọi là mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên của hình lăng trụ và cắt chúng tại P, Q, R. Phép tịnh tiến theo vectơ biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’. a) Chứng minh rằng thể tích V của hình lăng trụ đã cho bằng thể tích của hình lăng trụ PQR.P’Q’R’. b) Chứng minh rằng , trong đó là diện tích tam giác PQR.

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên của hình lăng trụ và cắt chúng tại P, Q, R. Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {AA'} \) biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’.
a) Chứng minh rằng thể tích V của hình lăng trụ đã cho bằng thể tích của hình lăng trụ PQR.P’Q’R’.
b) Chứng minh rằng \(V = {S_{PQR}}.AA'\), trong đó \({S_{PQR}}\) là diện tích tam giác PQR.

Giải

a) Mp(PQR) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành 2 khối đa diện \({H_1}\) và \({H_2}\) với \({H_1}\) chứa \(\Delta ABC\), \({H_2}\) chứa \(\Delta A'B'C'\) Mp(A’B’C’) chia khối lăng trụ PQR.P’Q’R’ thành hai khối đa diện \({H_2}\) và \({H_3}\) với \({H_3}\) chứa \(\Delta P'Q'R'.\)
Gọi \({V_1},{V_2},{V_3}\) lần lượt là thể tích của các khối đa diện \({H_1},{H_2},{H_3}\) ta có:
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {V_1} + {V_2},{V_{PQR.P'Q'R'}} = {V_2} + {V_3}.\)
Phép tịnh tiến \(\overrightarrow {AA'} :\)

\(\eqalign{
& {T_{\overrightarrow {AA'} }}:\Delta ABC \to \Delta A'B'C' \cr
& {T_{\overrightarrow {AA'} }}:\Delta PQR \to \Delta P'Q'R' \cr} \)

Suy ra \({T_{\overrightarrow {AA'} }}:{H_1} \to {H_3}\) do đó \({V_1} = {V_3}.\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {V_{PQR.P'Q'R'}}.\)
b) Vì lăng trụ PQR.P’Q’R’ là lăng trụ đứng nên có chiều cao PP’ = AA’ nên

\({V_{ABC.A'B'C'}} = {V_{PQR.P'Q'R'}} = {S_{PQR}}.AA'.\)

loigiaihay.com

Các bài liên quan: - I. Bài tập tự luận

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.