Đề học kì 2 Toán 8 năm 2025 – 2026 trường THCS Chương Dương – Hà Nội

1)

a) Tính tổng thời gian tự học của 7 ngày trong tuần bằng cách cộng số liệu từ biểu đồ.

Thời gian trung bình mỗi ngày = (Tổng thời gian) : (Số ngày trong tuần)

b) Tính tổng thời gian tự học 2 ngày cuối tuần (Thứ bảy và Chủ nhật).

Tính tổng thời gian tự học 5 ngày còn lại (Thứ hai đến Thứ sáu).

Tỉ số phần trăm = (Thời gian 2 ngày cuối tuần : Thời gian các ngày còn lại) x 100%

2) Xác định tổng số kết quả có thể xảy ra (tổng số ngày trong tuần là $7$).

Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố (số ngày có thời gian tự học lớn hơn $170$ phút)

Xác suất P = Số kết quả thuận lợi : Tổng số kết quả có thể

1)

a) Thời gian trung bình bạn Tú tự học tại nhà mỗi ngày trong một tuần.

$\dfrac{162 + 135 + 170 + 150 + 180 + 175 + 190}{7} = \dfrac{1162}{7} = 166$

b) Tỉ số phần trăm thời gian tự học 2 ngày cuối tuần so với thời gian tự học các ngày còn lại trong tuần: $\dfrac{175 + 190}{162 + 135 + 170 + 150 + 180}.100\% \approx 45,79\%$

2) Tổng số ngày tự học trong tuần là : 7 ngày

Số ngày tự học lớn hơn 170 phút là: 3 ngày

Xác suất biến cố "Ngày được chọn có thời gian tự học tại nhà của bạn Tú lớn hơn 170 phút" là: $\dfrac{3}{7}$

a) Chuyển các hạng tử chứa biến $x$ về một thế, các hằng số về một thế rồi thu gọn giải $x$.

b) Quy đồng mẫu thức hai thế với mẫu chung là 12, khử mẫu rồi đưa về phương trình bậc nhất một ẩn.

c) Sử dụng hằng đẳng thức ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ và $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$ để khai triển hai thế, sau đó thu gọn.

a) $2x + 5 = 20 - 3x$

$2x + 3x = 20 - 5$

$5x = 15$

$x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 3$.

b) $\dfrac{3 - 2x}{6} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{x + 1}{3}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{2(3-2x)}{12}}-{\displaystyle \frac{15}{12}}={\displaystyle \frac{4\left(x+1\right)}{12}}\\ 6-4x-15=4x+4\\ -8x=13\\ x=-{\displaystyle \frac{13}{8}}\end{array}$$\begin{array}{l} {\dfrac{2(3 - 2x)}{12} - \dfrac{15}{12} = \dfrac{4\left( {x + 1} \right)}{12}} \\ {6 - 4x - 15 = 4x + 4} \\ {- 8x = 13} \\ {x = - \dfrac{13}{8}} \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = - \dfrac{13}{8}$

c) $\left( {x + 2} \right)^{2} - 4\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$

$\begin{array}{l}{x}^2+4x+4-4x+4=x^2-9\\ x^2-x^2=-9-8\end{array}$$\begin{array}{l} {x^{2} + 4x + 4 - 4x + 4 = x^{2} - 9} \\ {x^{2} - x^{2} = - 9 - 8} \end{array}$

$0 = - 17$ (Vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

Lập phương trình bằng cách biểu diễn thời gian qua quãng đường và vận tốc ($t = \dfrac{s}{v}$).

Tính tổng thời gian cả chuyến đi (bao gồm lượt đi, nghỉ ngơi, lượt về) từ lúc $7$ giờ sáng đến 16 giờ 45 phút.

Gọi độ dài quãng đường từ nhà bác Nghĩa đến khu du lịch là: x ( km; x>0)

Thời gian đi từ đi từ nhà đến khu du lịch là $\dfrac{x}{50}(h)$

Quãng đường từ khu du lịch về nhà là: x + 5 (km)

Thời gian ô tô đi từ khu du lịch về nhà là $\dfrac{x + 5}{60}(h)$

Thời gian bác Nghĩa xuất phát từ nhà, đến khu du lịch, nghỉ 6 giờ rồi quay về nhà là: 16h45’ – 7h = 9h45’=$\dfrac{39}{4}(h)$ nên ta có phương trình:

$\dfrac{x}{50}\dfrac{x + 5}{60} = \dfrac{39}{4}$

$\dfrac{6x}{300} + \dfrac{5x}{300} = \dfrac{1125}{300} - \dfrac{25}{300}$

$11x = 1100$

$x = 100$ (TMĐK)

Vậy quãng đường từ nhà bác Nghĩa đến khu du lịch dài 100 km

Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: $\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm $DB$ và $DC$ khi biết $BC = DB + DC$.

Xét ΔABC có phân giác AD nên

$\dfrac{DB}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

Hay $\dfrac{DB}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$

Lại có $BC = DB + DC$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{DB}{60} = \dfrac{DC}{90} = \dfrac{DB + DC}{60 + 90} = \dfrac{100}{150} = \dfrac{2}{3}$

+) $\dfrac{DB}{60} = \dfrac{2}{3}$ suy ra $DB = \dfrac{2}{3}.60 = 40$ (m)

+) $\dfrac{DC}{90} = \dfrac{2}{3}$ suy ra $DC = \dfrac{2}{3}.90 = 60$ (m)

Vậy khoảng cách từ điểm D đến B và C lần lượt là 40m; 60m.

a) Chứng minh hai tam giác vuông có góc nhọn chung (trường hợp g-g).

b) Chứng minh $\left. \Delta HEB \right.\backsim\Delta HDC\text{~(g-g)}$ để rút ra tỉ lệ cạnh $HE \cdot HC = HD \cdot HB$.

Từ tỉ số , chứng minh $\left. \Delta HED \right.\backsim\Delta HBC\text{~(c-g-c)}$ suy ra hai góc tương ứng bằng nhau.

c) Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông $\left. \Delta BDC\Rightarrow DM = BM = \dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta MBD \right.$ cân tại $M$.

Tính tổng $\widehat{HKM} = \widehat{EDM} = \widehat{EDH} + \widehat{BDM} = \widehat{HCB} + \widehat{DBC}$.

Sử dụng tổng $3$ góc trong $\Delta HBC$ bằng $180^{{^\circ}}$

a) Xét ΔADB và ΔAEC có:

$\widehat{ADB} = \widehat{AEC} = 90^{0}$

$\widehat{BAC}$ góc chung

Suy ra ΔADB $\backsim$ ΔAEC (g.g)

b) Xét $\Delta HEB$ và $\Delta HDC$ có:

$\widehat{HEB} = \widehat{HDC} = 90^{{^\circ}}$

$\widehat{EHB} = \widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\left. \Delta HEB \right.\backsim\Delta HDC\text{~(g-g)}$

Suy ra $\dfrac{HE}{HD} = \dfrac{HB}{HC}$

Hay $HE \cdot HC = HD \cdot HB$

$\dfrac{HE}{HB} = \dfrac{HD}{HC}$.

Xét $\Delta HED$ và $\Delta HBC$ có:

$\dfrac{HE}{HB} = \dfrac{HD}{HC}$ (chứng minh trên)

$\widehat{EHD} = \widehat{BHC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\left. \Delta HED \right.\backsim\Delta HBC\text{~(c-g-c)}$

Suy ra $\widehat{EDH} = \widehat{HCB}$ (hai góc tương ứng).

c) Xét $\Delta BDC$ vuông tại $D$ có $M$ là trung điểm của $BC$

nên $DM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

Suy ra $DM = BM = MC = \dfrac{1}{2}BC$.

Vì $DM = BM$ nên $\Delta BDM$ cân tại $M$.

Suy ra $\widehat{BDM} = \widehat{DBC} = \widehat{HBC}$.

Vì $HK \parallel ED$ nên $\widehat{HKM} = \widehat{EDM}$ (hai góc đồng vị).

Ta có: $\widehat{HKM} = \widehat{EDM} = \widehat{EDH} + \widehat{BDM}$

Mà $\widehat{EDH} = \widehat{HCB}$ (theo câu b) và $\widehat{BDM} = \widehat{HBC}$ (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat{HKM} = \widehat{HCB} + \widehat{HBC}$

Xét $\Delta HBC$ ta có:

$\widehat{HCB} + \widehat{HBC} + \widehat{BHC} = 180^{{^\circ}}$ (Tổng 3 góc trong một tam giác) $(2)$

Mà $\widehat{EHD} = \widehat{BHC}$ (hai góc đối đỉnh) $(3)$

Từ $(1),(2),(3)$ thay $\widehat{HCB} + \widehat{HBC}$ = $\widehat{HKM}$, $\widehat{BHC}$ = $\widehat{EHD}$, ta được:

$\widehat{HKM} + \widehat{EHD} = 180^{{^\circ}}$

Biểu diễn diện tích chuồng thỏ theo $1$ biến $x$ (chiều dài hàng rào vuông góc với tường).

Sử dụng phương pháp tách thành bình phương $A - {(x - a)}^{2} \leq A$ để tìm giá trị lớn nhất.

Gọi chiều dài của tấm rào sắt vuông góc với bờ tường của mỗi ô chuồng là $x$ (m) ($x > 0$)

Vì khu chuồng được chia thành 2 ô nên cần có $3$ đoạn hàng rào vuông góc với bờ tường (2 đoạn hai bên ngoài và 1 đoạn ngăn ở giữa) nên tổng chiều dài $3$ đoạn này là $3x\text{~(m)}$.

Chiều dài của tấm rào sắt song song với bờ tường là $150 - 3x$ (m)

Tổng diện tích của toàn bộ khu chuồng thỏ (gồm 2 ô) là:

$S = 2.\dfrac{1}{2}x \cdot (150 - 3x) = x \cdot (150 - 3x) = 150x - 3x^{2}\text{~(m}^{2}\text{)}$

Ta có: $S = - 3(x^{2} - 50x)$

$= - 3(x^{2} - 2 \cdot 25 \cdot x + 625 - 625)$

$= - 3{(x - 25)}^{2} + 1875$

Vì ${(x - 25)}^{2} \geq 0$ với mọi $x$ nên $- 3{(x - 25)}^{2} \leq 0$.

Suy ra $S = - 3{(x - 25)}^{2} + 1875 \leq 1875$.

Dấu "=" xảy ra khi $x - 25 = 0$

Suy ra $x = 25$ (thỏa mãn $0 < x < 50$).

Vậy diện tích lớn nhất của khu chuồng có thể dựng là $1875\text{~m}^{2}$ (khi chiều dài các đoạn rào vuông góc với tường là $25\text{~m}$)