Đề kiểm tra cuối học kì 2 Toán 8 năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Bắc Ninh

+ Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: $\dfrac{A}{M} + \dfrac{B}{M} = \dfrac{A + B}{M}$.

+ Thu gọn tử thức, sau đó phân tích tử thức thành nhân tử để rút gọn phân thức thu được.

Ta có: $\dfrac{x - 2}{x + 2} + \dfrac{4}{x + 2} = \dfrac{x - 2 + 4}{x + 2} = \dfrac{x + 2}{x + 2} = 1$.

Thay $x = 2{\mkern 1mu} 000$ vào công thức $y = 165x$ để tính giá trị của $y$.

Số tiền bạn Toán nhận được khi đổi $2{\mkern 1mu} 000$ yên Nhật là:

$y = 165.2000 = 330 000$ (đồng)

Phân thức nghịch đảo của phân thức $\dfrac{A}{B}$ (với $A,B \neq 0$) là phân thức $\dfrac{B}{A}$.

Phân thức nghịch đảo của $\dfrac{2}{3x - 1}$ là $\dfrac{3x - 1}{2}$.

Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D}$, sau đó rút gọn các nhân tử chung ở tử và mẫu.

Ta có: $\dfrac{x}{7y^{2}} \cdot \dfrac{14y^{3}}{x^{2}} = \dfrac{x.14y^{3}}{7y^{2}.x^{2}} = \dfrac{14xy^{3}}{7x^{2}y^{2}} = \dfrac{2y}{x}$

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Vì $AD$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ trong $\Delta ABC$ nên:

$\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

Nếu hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau.

Vì $\left. \Delta ABC \right.\backsim\Delta MNP$ nên các góc tương ứng bằng nhau:

$\widehat{A} = \widehat{M}$ ($\widehat{BAC} = \widehat{NMP}$), $\widehat{B} = \widehat{N}$, $\widehat{C} = \widehat{P}$ ($\widehat{BCA} = \widehat{NPM}$).

Giải phương trình $2x + 1 = 5$ để tìm nghiệm $x_{0}$.

Thay giá trị $x_{0}$ vừa tìm được vào biểu thức $3x_{0} + 4$.

Ta có: $2x + 1 = 5$

$2x = 4$

$x = 2$

Do đó $x_{0} = 2$.

Thay $x_{0} = 2$ vào biểu thức $3x_{0} + 4$, ta được:

$3.2 + 4 = 6 + 4 = 10$.

Tính giá trị $f(x_{0})$ bằng cách thay $x = x_{0}$ vào công thức $y = 3x - 6$

Với $x = 3$ thì $f(3) = 3 \cdot 3 - 6 = 9 - 6 = 3$ (Đúng).

Thay $x = 2$ vào phương trình đã cho, biến đổi tìm $k$.

Vì $x = 2$ là nghiệm của phương trình nên thay $x = 2$ vào phương trình ta được:

$2.2 + k = 2 - 1$

$4 + k = 1$

$k = 1 - 4$

$k = - 3$

Đồ thị của hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ($a \neq 0$) đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ khi và chỉ khi $b = 0$, tức là hàm số có dạng $y = ax$.

Đồ thị của hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ($a \neq 0$) đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ khi và chỉ khi $b = 0$, tức là hàm số có dạng $y = ax$.

Biểu diễn tuổi của Lan hiện nay theo $x$ (tuổi Lan hiện nay = tuổi Lan sau 5 năm - 5).

Biểu diễn tuổi mẹ Lan hiện nay = tuổi Lan hiện nay + 20.

Sau 5 năm nữa tuổi Lan là $x$ (tuổi)

Nên tuổi Lan hiện nay là: $x - 5$ (tuổi).

Vì mẹ Lan hơn Lan 20 tuổi

Nên tuổi mẹ Lan hiện nay là: $(x - 5) + 20 = x + 15$ (tuổi).

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = ax + b$, trong đó $a, b$ là các số cho trước và $a \neq 0$.

Hàm số $y = - 2x - 3$ có dạng $y = ax + b$ với $a = - 2 \neq 0$ và $b = - 3$, nên đây là hàm số bậc nhất.

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0$, trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \neq 0$.

$9x + 5 = 0$ có dạng $ax + b = 0$ với $a = 9 \neq 0$, nên là phương trình bậc nhất một ẩn.

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác là đường trung bình của tam giác đó và có độ dài bằng một nửa cạnh thứ ba.

Xét $\Delta ABC$, ta có:

$E$ là trung điểm của $BC$

$F$ là trung điểm của $AB$

Suy ra $EF$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

Do đó, $EF = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5\text{~(cm)}$

Thay $x = 2$ và $y = - 4$ vào công thức hàm số $y = ax + 2$ rồi giải phương trình tìm $a$.

Thay $x = 2$ và $y = - 4$ vào hàm số $y = ax + 2$, ta được:

$- 4 = a \cdot 2 + 2$

$2a = - 6$

$a = - 3$

Phân thức $\dfrac{A}{B}$ xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác $0$ ($B \neq 0$).

Phân thức $\dfrac{2x - 6}{x + 1}$ xác định khi mẫu thức $x + 1 \neq 0$ suy ra $x \neq - 1$.

Tính độ dài $AE = AC - CE$.

Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét

Ta có: $AE = AC - CE = 6 - 4 = 2\text{~(cm)}$.

Xét $\Delta ABC$ có $DE//BC$, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:

$\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$

Hay $\dfrac{2}{6} = \dfrac{DE}{7,5}$

Suy ra $DE = \dfrac{2 \cdot 7,5}{6} = 2,5\text{~(cm)}$

Nhận xét $x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức: Nhân cả tử và mẫu của $\dfrac{2}{x + 1}$ với $(x - 1)$ để quy đồng mẫu thức, từ đó tìm $A$.

Ta có: $\dfrac{A}{x^{2} + 1} = \dfrac{2x + 2}{x + 1}$

$A = \dfrac{2x + 2}{x + 1}.(x^{2} + 1)$

$\begin{array}{l}A={\displaystyle \frac{2(x+1)}{x+1}}\mathrm{.}(x^2+1)\\ A=2(x^2+1)\\ A=2x^2+2\end{array}$$\begin{array}{l} {A = \dfrac{2(x + 1)}{x + 1}.(x^{2} + 1)} \\ {A = 2(x^{2} + 1)} \\ {A = 2x^{2} + 2} \end{array}$

Phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức, sau đó rút gọn nhân tử chung $(x + 3)$.

Ta có: $\dfrac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6x + 9} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{{(x + 3)}^{2}} = \dfrac{x - 3}{x + 3}$

Giả thiết cây C'A' và cọc CA cùng vuông góc với mặt đất BA', suy ra $CA//C'A'$.

Tính độ dài $BA' = BA + AA'$.

Áp dụng định lý Ta-lét hoặc tam giác đồng dạng ($\left. \Delta BAC \right.\sim\Delta BA'C'$) để thiết lập tỉ lệ: $\dfrac{CA}{C'A'} = \dfrac{BA}{BA'}$.

Vì $CA\bot BA'$ và $C'A'\bot BA'$ nên $CA//C'A'$.

Ta có: $BA' = BA + AA' = 1 + 4,5 = 5,5\text{~(m)}$.

Xét $\Delta BA'C'$ có $CA//C'A'$, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:

$\dfrac{CA}{C'A'} = \dfrac{BA}{BA'}$

Hay $\dfrac{1,2}{C'A'} = \dfrac{1}{5,5}$

Suy ra $C'A' = 1,2 \times 5,5 = 6,6\text{~(m)}$

a) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải và chia hai vế cho hệ số của $x$.

b) Đồ thị hàm số đi qua điểm $A(x_{0};y_{0})$ khi và chỉ khi tọa độ điểm $A$ thỏa mãn công thức của hàm số. Thay $x = 1,y = 3$ vào công thức hàm số để tìm $m$.

c) Phân tích mẫu thức $x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Quy đồng mẫu thức các phân thức với Mẫu thức chung (MTC) là $(x - 3)(x + 3)$.

Thực hiện cộng trừ các tử thức và rút gọn.

a) Ta có $3x - 6 = 0$

$3x = 6$

$x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$.

b) Đồ thị của hàm số $y = 2x - m + 1$ đi qua $A\left( {1;3} \right)$ nên ta có:

$3 = 2.1 - m + 1$

$m = 0$

Vậy $m = 0$ thì đồ thị của hàm số $y = 2x - m + 1$ đi qua $A\left( {1;3} \right)$.

c) Với $x \neq 3, x \neq - 3$, ta có:

$A = \dfrac{x + 3}{x^{2} - 9} + \dfrac{x - 4}{x - 3}$

$\text{~~~~=}\dfrac{x + 3}{(x - 3)(x + 3)} + \dfrac{x - 4}{x - 3}$

$\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{x - 3} + \dfrac{x - 4}{x - 3}$

$\begin{array}{l}={\displaystyle \frac{1+x-4}{x-3}}\\ ={\displaystyle \frac{x-3}{x-3}}=1\end{array}$$\begin{array}{l} {\,\,\,\,\, = \dfrac{1 + x - 4}{x - 3}} \\ {\,\,\,\,\, = \dfrac{x - 3}{x - 3} = 1} \end{array}$

Vậy với $x \neq 3, x \neq - 3$ thì $A\, = 1$.

+ Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (gọi giá $1\text{~kg}$ na là $x$).

+ Biểu diễn giá $1\text{~kg}$ vải thiều theo $x$.

+ Lập phương trình biểu diễn tổng số tiền mua hàng.

+ Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận.

Gọi giá tiền của $1 kg$ quả na là $x$ (nghìn đồng, $x > 0$)

Giá tiền của $1 kg$ quả vải thiều là: $x + 10$(nghìn đồng)

Số tiền bạn Dung dùng để mua $\text{2~}kg$ quả vải thiều là:$2.(x + 10)$(nghìn đồng)

Theo bài ra, ta có phương trình: $x + 2.(x + 10) = 140$

Giải phương trình được $x = 40$ (thoả mãn)

Vậy giá tiền của $1 kg$ quả na bạn Dung đã mua là 40 nghìn đồng.

a) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc - góc (g-g): $\widehat{BAC} = \widehat{AHB} = 90^{{^\circ}}$ và $\widehat{B}$ chung.

b) Chứng minh $\Delta HAC \backsim \Delta HBA$ (g-g) để rút ra tỉ lệ $\left. \dfrac{AH}{HB} = \dfrac{HC}{AH}\Rightarrow AH^{2} = HB \cdot HC \right.$.

c) Chứng minh $\left. \dfrac{HC}{HA} = \dfrac{DC}{AB}\Rightarrow\dfrac{HC}{KA} = \dfrac{DC}{AB} \right.$ (do $HA = 2KA,DC = 2AC$).

+ Chứng minh $\left. \Delta HCD \right.\backsim\Delta KAB$ (c-g-c) $\left. \Rightarrow\widehat{HDC} = \widehat{KBA} \right.$.

+ Gọi $E,G$ là lượt là giao điểm của $DH$ với các cạnh $BK$ và $AB$, chứng minh $\left. \widehat{BEG} = 90^{{^\circ}}\Rightarrow BK\bot DH \right.$.

a) Vì AH là đường cao nên $AH\bot BC$, suy ra $\widehat{AHB} = 90^{0}$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại A nên $\widehat{BAC} = 90^{0}$

Suy ra $\widehat{BAC} = \widehat{AHB} = 90^{0}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat{BAC} = \widehat{AHB} = 90^{0}$

$\widehat{ABC}$ chung

Suy ra $\Delta ABC \backsim \,\Delta HBA$ ( g.g)

b) Xét $\Delta HAC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat{AHC} = \widehat{AHB} = 90^{0}$ ($AH$ là đường cao )

$\widehat{ABC} = \widehat{CAH}$ (2 góc cùng phụ góc $\widehat{ACB}$)

Suy ra $\Delta HAC \backsim \,\Delta HBA$ ( g.g)

Từ đó ta được $\dfrac{AH}{BH} = \dfrac{CH}{AH}$ (hai cạnh tương ứng)

hay $\dfrac{AH}{1} = \dfrac{4}{AH}$

$AH^{2} = 4$

$AH = 2\,$

Vậy $AH = 2\,(cm)$

Theo chứng minh trên ta có $\Delta HAC \backsim \,\Delta HBA$ suy ra $\left. \dfrac{HC}{HA} = \dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{HC}{HA:2} = \dfrac{2AC}{AB} \right.$

Mà $AC = AD, KA = KH$ nên $\dfrac{HC}{KA} = \dfrac{DC}{AB}$

c) Xét $\Delta HCD$ và $\Delta KAB$ có

$\dfrac{HC}{KA} = \dfrac{DC}{AB}$ (chứng mình trên)

$\widehat{HAB} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$)

Suy ra $\Delta HCD \backsim \,\Delta KAB$ (c.g.c), suy ra $\widehat{KBA} = \widehat{HDC}$

Gọi $E,G$ là lượt là giao điểm của $DH$ với các cạnh $BK$ và $AB$.

Xét $\Delta ADG$ và $\Delta EBG$ có:

$\widehat{AGD} = \widehat{EGB}$ (đối đỉnh)

$\widehat{ADG} = \widehat{EBG}$ (do $\widehat{HDC} = \widehat{KBA}$)

Do đó, $\left. \Delta ADG \right.\backsim\Delta EBG$ (g.g)

Suy ra $\widehat{BEG} = \widehat{GAD} = 90^{0}$ suy ra $BK\bot DH.$

Gọi số tiền cô Khánh gửi tiết kiệm là $x$ (triệu đồng, $x > 0$).

Số tiền nhận được sau năm thứ nhất: $x \cdot (1 + 6\%)$.

Số tiền nhận được sau năm thứ hai: $x \cdot {(1 + 6\%)}^{2}$.

Đổi $337{\mkern 1mu} 080{\mkern 1mu} 000$ đồng $= 337,08$ triệu đồng. Lập phương trình giải tìm $x$, sau đó cộng thêm 20 triệu ban đầu giữ lại.

Gọi số tiền cô Khánh gửi ở ngân hàng là $x$ (triệu đồng,$x > 0$)

Số tiền cả gốc lẫn lãi của cô Khánh sau năm thứ nhất là:

$x + 6\%.x = \left( {1 + 6\%} \right)x$ (triệu đồng)

Số tiền cả gốc lẫn lãi của cô Khánh sau năm thứ hai là:

$\left( {1 + 6\%} \right)x + 6\%.\left( {1 + 6\%} \right)x = \left( {1 + 6\%} \right)^{2}x$ (triệu đồng)

Vì sau hai năm cô Khánh rút hết tiền về và nhận được cả gốc lẫn lãi là $337 080 000$ đồng $= 337,08$ (triệu đồng), nên ta có phương trình:

$\left( {1 + 6\%} \right)^{2}x = 337,08$

$1,06^{2}x = 337,08$

$1,1236x = 337,08$

$x = 337,08:1,1236$

$x = 300$ (thoả mãn)

Vậy số tiền ban đầu của cô Khánh là $300 + 20 = 320$ triệu đồng.