Đề thi học kì 1 Toán 10 năm 2025 - 2026 trường THPT Số 1 Lê Lợi - Quảng Trị

Tọa độ của điểm $A\left( {x_{0};y_{0}} \right)$ chính là tọa độ của vectơ $\overset{\rightarrow}{OA}$, nghĩa là $\overset{\rightarrow}{OA} = x_{0}\overset{\rightarrow}{i} + y_{0}\overset{\rightarrow}{j}$.

Vì $A\left( {- 5;4} \right)$ nên $\overset{\rightarrow}{OA} = - 5\overset{\rightarrow}{i} + 4\overset{\rightarrow}{j}$.

Số bài có số từ dùng sai không nhỏ hơn 5 tương ứng với các giá trị $x \geq 5$, do đó ta cộng số bài ứng với $x \in \left\{ {5;6;7;8} \right\}$.

Số bài có số từ dùng sai không nhỏ hơn 5 là 6 + 4 + 3 + 2 = 15.

Thay tọa độ $\left( {x_{0};y_{0}} \right)$ của từng phương án vào bất phương trình $2x - 3y \geq 6$, cặp số nào không thỏa mãn vế trái $\geq 6$ thì đó không phải là nghiệm.

Thay (2; 3) vào vế trái của bất phương trình: 2.2 – 3.3 = -5 < 6 (không thỏa mãn).

Vậy cặp số (2; 3) không phải là nghiệm của bất phương trình.

Khoảng biến thiên $R = x_{max} - x_{min}$.

Khoảng biến thiên R = 35 – 25 = 10.

Với $90^{o} < \alpha < 180^{o}$ ($\alpha$ tù) thì $\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha < 0$, $\tan\alpha < 0$, $\cot\alpha < 0$.

Do $\alpha$ là góc tù nên $\tan\alpha < 0$.

Sử dụng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Ta có $\cot 120^{\circ} = - \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Do đó đẳng thức $\cot 120^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ là sai.

Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ độ phân tán của mẫu số liệu xung quanh số trung bình.

Mức độ phân tán của số liệu càng lớn thì phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu càng lớn.

Đường thẳng d đi qua các điểm (-8; 0) và (0; 4). Xác định phương trình đường thẳng d, sau đó lấy gốc tọa độ O(0; 0) thuộc miền nghiệm để kiểm tra dấu.

Đường thẳng d đi qua (-8; 0) và (0; 4) có phương trình là $\left. \dfrac{x}{- 8} + \dfrac{y}{4} = 1\Leftrightarrow - x + 2y - 8 = 0 \right.$.

Miền nghiệm chứa gốc tọa độ O(0; 0) và kể cả đường thẳng d. Thay (0; 0) vào biểu thức -x + 2y – 8 ta được $- 0 + 2.0 - 8 = - 8 \leq 0$ hay $x - 2y - 8 \leq 0$.

Vậy miền nghiệm biểu diễn bất phương trình $x - 2y - 8 \leq 0$.

Phủ định của mệnh đề P là “Không phải P”.

Mệnh đề phủ định là: "Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán".

Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình, điểm thỏa mãn đồng thời cả hai bất phương trình là điểm thuộc miền nghiệm.

Thay điểm P(1; -2) vào hệ:

2.1 – 2(-2) + 3 = 7 > 0 (thỏa mãn).

1 + 2(-2) – 1 = -4 < 0 (thỏa mãn).

Vậy điểm P(1; -2) thuộc miền nghiệm của hệ.

"Tồn tại số thực" dùng kí hiệu $\exists x \in R$, "bình phương nhỏ hơn hoặc bằng 0" là $x^{2} \leq 0$.

Mệnh đề viết dưới dạng kí hiệu là: "$\exists x \in R,x^{2} \leq 0$".

Vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = x\overset{\rightarrow}{i} + y\overset{\rightarrow}{j}$ có tọa độ là (x; y).

Ta có $\left. \overset{\rightarrow}{u} = 7\overset{\rightarrow}{j} - 9\overset{\rightarrow}{i} = - 9\overset{\rightarrow}{i} + 7\overset{\rightarrow}{j}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u} = \left( {- 9;7} \right) \right.$.

Tính tọa độ $\overset{\rightarrow}{a}$, $\overset{\rightarrow}{c}$, $\overset{\rightarrow}{PQ}$ và độ dài $\left| \overset{\rightarrow}{b} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

Hai vectơ cùng phương nếu tỉ số các tọa độ tương ứng bằng nhau.

a) Đúng. Ta có $\overset{\rightarrow}{PQ} = \left( {7 - 2; - 4 - 3} \right) = \left( {5; - 7} \right)$.

Vì $\overset{\rightarrow}{a} = \left( {4; - 6} \right)$ nên $\overset{\rightarrow}{c} = \overset{\rightarrow}{a} - 2\overset{\rightarrow}{b} = \left( {4 - 2\left( {- 3} \right); - 6 - 2(4)} \right) = \left( {10; - 14} \right)$.

Ta thấy $\overset{\rightarrow}{c} = 2\overset{\rightarrow}{PQ}$ nên hai vectơ $\overset{\rightarrow}{PQ}$ và $\overset{\rightarrow}{c}$ cùng phương.

b) Đúng. Tọa độ $\overset{\rightarrow}{PQ} = \left( {7 - 2; - 4 - 3} \right) = \left( {5; - 7} \right)$.

c) Sai. Do $\overset{\rightarrow}{a} = 4\overset{\rightarrow}{i} - 6\overset{\rightarrow}{j}$ nên $\overset{\rightarrow}{a} = \left( {4; - 6} \right)$.

d) Sai. $\left| \overset{\rightarrow}{b} \right| = \sqrt{\left( {- 3} \right)^{2} + 4^{2}} = 5$.

Áp dụng các định nghĩa vectơ, độ dài đoạn thẳng, tích vô hướng $\overset{\rightarrow}{u}.\overset{\rightarrow}{v} = \left| \overset{\rightarrow}{u} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{v} \right|.\cos\left( {\overset{\rightarrow}{u},\overset{\rightarrow}{v}} \right)$.

a) Đúng. Ta có $\left| \overset{\rightarrow}{DB} \right| = a\sqrt{2}$, $\left| \overset{\rightarrow}{BC} \right| = a$. Góc giữa $\overset{\rightarrow}{DB}$ và $\overset{\rightarrow}{BC}$ là $135^{o}$.

Do đó $\overset{\rightarrow}{DB}.\overset{\rightarrow}{BC} = a\sqrt{2}.a.\cos 135^{o} = - a^{2}$.

b) Sai. Ta có $\left| \overset{\rightarrow}{CB} \right| = a$, còn $\left| \overset{\rightarrow}{CA} \right| = a\sqrt{2}$, do đó $\left| \overset{\rightarrow}{CB} \right| \neq \left| \overset{\rightarrow}{CA} \right|$.

c) Sai. Vectơ $\overset{\rightarrow}{AB}$ và $\overset{\rightarrow}{CD}$ là hai vectơ ngược hướng nên $\overset{\rightarrow}{AB} = - \overset{\rightarrow}{CD}$.

d) Đúng. O là trung điểm BD nên $\overset{\rightarrow}{DO}$ và $\overset{\rightarrow}{OB}$ cùng hướng và cùng độ dài, do đó $\overset{\rightarrow}{DO} = \overset{\rightarrow}{OB}$.

Biến đổi $\overset{\rightarrow}{BA} - \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{CA}$, từ đó tính độ dài $\left| {\overset{\rightarrow}{BA} - \overset{\rightarrow}{BC}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{CA} \right| = AC$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{BA} - \overset{\rightarrow}{BC} = \overset{\rightarrow}{CA}$.

Do tam giác ABC vuông tại B nên $AC = \sqrt{BA^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ (cm).

Vậy $\left| {\overset{\rightarrow}{BA} - \overset{\rightarrow}{BC}} \right| = 5$.

Công sinh bởi lực $\overset{\rightarrow}{F}$: $m = A = F.s.\cos 30^{o}$.

${\overset{\rightarrow}{F}}_{1}$ vuông góc với $\overset{\rightarrow}{AB}$ nên công $n = 0$.

Lực ${\overset{\rightarrow}{F}}_{2}$ cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{AB}$, độ lớn $F_{2} = F.\cos 30^{o}$, công $k = F_{2}.s = F.s.\cos 30^{o} = m$.

Công $m = 50.150.\cos 30^{o} = 3750\sqrt{3}$ (J).

Vì ${\overset{\rightarrow}{F}}_{1}\bot\overset{\rightarrow}{AB}$ nên $n = 0$ (J).

Lực ${\overset{\rightarrow}{F}}_{2}$ cùng hướng $\overset{\rightarrow}{AB}$ có $F_{2} = F\cos 30^{o}$, suy ra $k = F_{2}.s = 3750\sqrt{3}$ (J).

Thay vào biểu thức S: $S = \dfrac{3750\sqrt{3}}{15} + 0 - \dfrac{3750\sqrt{3}}{16} \approx 27,1$.

Sai số tương đối $\delta_{a} \leq \dfrac{d}{|a|}$.

Ta có $\delta_{a} \leq \dfrac{0,4}{968} \approx 0,0004132 \approx 0,04\%$.

Sắp xếp mẫu số liệu, tính các tứ phân vị $Q_{1},Q_{2},Q_{3}$ và khoảng tứ phân vị $\text{Δ}_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$.

Giá trị $x$ là bất thường nếu $x < Q_{1} - 1,5\text{Δ}_{Q}$ hoặc $x > Q_{3} + 1,5\text{Δ}_{Q}$.

Mẫu số liệu xếp theo thứ tự không giảm (n = 14):

30,5; 32; 33; 40; 44; 44; 45; 45; 49; 49; 50; 64; 65,5; 66.

$Q_{2} = \dfrac{45 + 45}{2} = 45$.

Nửa số liệu dưới gồm 7 giá trị: 30,5; 32; 33; 40; 44; 44; 45 $\left. \Rightarrow Q_{1} = 40 \right.$.

Nửa số liệu trên gồm 7 giá trị: 45; 49; 49; 50; 64; 65,5; 66 $\left. \Rightarrow Q_{3} = 50 \right.$.

Khoảng tứ phân vị $\text{Δ}_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 50 - 40 = 10$.

Giới hạn dưới: $Q_{1} - 1,5\text{Δ}_{Q} = 40 - 15 = 25$.

Giới hạn trên: $Q_{3} + 1,5\text{Δ}_{Q} = 50 + 15 = 65$.

Các giá trị lớn hơn 65 là giá trị bất thường: 65,5 và 66.

Tổng các giá trị bất thường là $65,5 + 66 = 131,5 = \dfrac{263}{2}$.

Do đó a = 263, b = 2, suy ra a – 2b = 259.

Giải phương trình để tìm tập hợp A, giải bất phương trình với điều kiện $x \in N$ để tìm tập hợp B, sau đó lấy giao của hai tập hợp.

Giải phương trình $\left. x^{2} - 5x + 4 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{matrix} {x = 1} \\ {x = 4} \end{matrix}$ \right. \right.. Do đó $A = \left\{ {1;4} \right\}$.

Giải bất phương trình $\left. 2x - 3 < 6\Leftrightarrow 2x < 9\Leftrightarrow x < \dfrac{9}{2} \right.$.

Vì $x \in N$ nên $B = \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}$.

Vậy $A \cap B = \left\{ {1;4} \right\}$.

Sử dụng quy tắc hình bình hành để tìm lực tổng hợp $\overset{\rightarrow}{F} = {\overset{\rightarrow}{F}}_{1} + {\overset{\rightarrow}{F}}_{2}$ và áp dụng công thức tính độ dài đường chéo hình bình hành.

Vẽ $\overset{\rightarrow}{OA} = {\overset{\rightarrow}{F}}_{1}$, $\overset{\rightarrow}{OB} = {\overset{\rightarrow}{F}}_{2}$ $\left. \Rightarrow{\overset{\rightarrow}{F}}_{1} + {\overset{\rightarrow}{F}}_{2} = \overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} = \overset{\rightarrow}{OC} \right.$, với OACB là hình bình hành.

Do OA = OB = 70 N nên OACB là hình thoi.

Mặt khác $\widehat{AOB} = 60^{o}$ nên tam giác OAB là tam giác đều.

Ta có $\left| {{\overset{\rightarrow}{F}}_{1} + {\overset{\rightarrow}{F}}_{2}} \right| = \left| \overset{\rightarrow}{OC} \right| = 2.\dfrac{OA\sqrt{3}}{2} = OA\sqrt{3} = 70\sqrt{3}$ (N).

Vậy cường độ lực tổng hợp của ${\overset{\rightarrow}{F}}_{1}$ và ${\overset{\rightarrow}{F}}_{2}$ bằng $70\sqrt{3}$ N.

a) Tìm tọa độ các vectơ $\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC}$ rồi tính $2\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC}$.

b) Điểm $\left. M \in Ox\Rightarrow M\left( {x;0} \right) \right.$. Bán kính $\left. \widehat{AMC} = 90^{o}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{MA}.\overset{\rightarrow}{MC} = 0 \right.$.

a) Ta có $\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 3 - 5;4 - 2} \right) = \left( {- 8;2} \right)$ $\left. \Rightarrow 2\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {- 16;4} \right) \right.$.

$\overset{\rightarrow}{BC} = \left( {3 - \left( {- 3} \right); - 4 - 4} \right) = \left( {6; - 8} \right)$.

Suy ra $\overset{\rightarrow}{u} = 2\overset{\rightarrow}{AB} + \overset{\rightarrow}{BC} = \left( {- 16 + 6;4 + \left( {- 8} \right)} \right) = \left( {- 10; - 4} \right)$.

b) Điểm $M \in Ox$ nên tọa độ M(x; 0).

Ta có $\overset{\rightarrow}{MA} = \left( {5 - x;2} \right)$ và $\overset{\rightarrow}{MC} = \left( {3 - x; - 4} \right)$.

Theo đề bài $\left. \widehat{AMC} = 90^{o}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{MA}.\overset{\rightarrow}{MC} = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow\left( {5 - x} \right)\left( {3 - x} \right) + 2\left( {- 4} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 8x + 15 - 8 = 0 \right.$ $\left. \Leftrightarrow x^{2} - 8x + 7 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack$$\begin{matrix} {x = 1} \\ {x = 7} \end{matrix}$ \right. \right..

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán là M(1; 0) và M(7; 0).

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, xác định cỡ mẫu để tìm trung vị $Q_{2}$, sau đó xác định $Q_{1}$ và $Q_{3}$.

Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm:

30, 35, 39, 41, 45, 48, 51, 54, 61, 61, 61, 65, 68, 72, 72, 74, 75, 76, 80, 83, 87.

Cỡ mẫu n = 21.

Tứ phân vị thứ hai $Q_{2}$ là giá trị ở vị trí thứ 11: $Q_{2} = 61$.

Tứ phân vị thứ nhất $Q_{1}$ là trung vị của 10 số liệu đầu: $Q_{1} = \dfrac{45 + 48}{2} = \dfrac{93}{2} = 46,5$.

Tứ phân vị thứ ba $Q_{3}$ là trung vị của 10 số liệu cuối: $Q_{3} = \dfrac{74 + 75}{2} = \dfrac{149}{2} = 74,5$.

Tổng các tứ phân vị là $Q_{1} + Q_{2} + Q_{3} = 46,5 + 61 + 74,5 = 182$.

Tính điểm trung bình $\overline{x}$ và phương sai $s^{2}$ điểm số các môn của từng bạn. Bạn nào có phương sai nhỏ nhất tức là học đều các môn nhất, sẽ được chọn.

Giá trị trung bình điểm của bạn Anh là:

${\overline{x}}_{A} = \dfrac{9,5 + 8,5 + 8,8 + 8,7 + 9,2 + 8,6 + 9,3 + 7,8 + 9,8}{9} = \dfrac{80,2}{9} \approx 8,91$.

Phương sai của bạn Anh là: $s_{A}^{2} = \dfrac{659}{2025} \approx 0,325$.

Giá trị trung bình điểm của bạn Bích là:

${\overline{x}}_{B} = \dfrac{9,2 + 8,9 + 8,5 + 8,5 + 8,8 + 9,4 + 9,4 + 8,5 + 9,0}{9} = \dfrac{80,2}{9} \approx 8,91$.

Phương sai của bạn Bích là: $s_{B}^{2} = \dfrac{49}{405} \approx 0,121$.

Giá trị trung bình điểm của bạn Khánh là:

${\overline{x}}_{K} = \dfrac{9,3 + 8,5 + 9,5 + 8,8 + 8,3 + 9,1 + 9,1 + 8,4 + 9,2}{9} = \dfrac{80,2}{9} \approx 8,91$.

Phương sai của bạn Khánh là: $s_{K}^{2} = \dfrac{661}{4050} \approx 0,163$.

Dựa vào kết quả trên ta thấy mức độ phân tán điểm các môn của bạn Bích là ít nhất, tức là Bích học đều các môn nhất nên chọn bạn Bích tham gia cuộc thi.