Đề giữa học kì 1 Toán 10 năm 2025 – 2026 trường THPT Yên Dũng 1 – Bắc Ninh

Giải phương trình $2{x^2} - 3x + 1 = 0$ tìm nghiệm, sau đó lọc các nghiệm thuộc tập số nguyên $\mathbb{Z}$.

\(2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\).

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $X = \left\{ 1 \right\}$.

Dựa vào dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by < c (hoặc $> , \le , \ge$).

2x + 5y > 3 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hai vectơ ngược hướng là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau và chỉ hướng ngược nhau.

$\overrightarrow {MC}$ và $\overrightarrow {MB}$ là hai vecto ngược hướng.

Sử dụng định lý cosin trong tam giác.

$B{C^2} = {2^2} + {1^2} - 2.2.1.\cos {60^o} = 3 \Rightarrow BC = \sqrt 3$.

Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài

Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. Mà $\overrightarrow {AD}$ cùng hướng với $\overrightarrow {BC}$ nên hai vecto đó bằng nhau.

Xác định điểm biểu diễn của góc $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ mấy, từ đó suy ra dấu của các giá trị lượng giác.

Vì ${0^o} < \alpha < {90^o}$ nên điểm biểu diễn của góc $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ I. Khi đó tất cả các giá trị lượng giác của $\alpha$ đều dương.

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{R}:P(x)$” là “$\exists x \in \mathbb{R}:\overline {P(x)}$ ”.

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{R}:{x^2} + x + 2025 > 0$” là “$\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} + x + 2025 \le 0$”.

Sử dụng công thức liên hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

$\cot \left( {{{180}^o } - \alpha } \right) = - \cot \alpha$.

Kiểm tra tính đúng/sai của các hệ thức lượng trong tam giác.

Mệnh đề ${a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A$ sai vì theo định lí cosin, ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$.

Biến đổi thu gọn bất phương trình, sau đó thay tọa độ lần lượt từng điểm vào kiểm tra.

x - 2 + 2(y - 1) > 2x + 4

x - 2 + 2y - 2 > 2x + 4

- x + 2y - 8 > 0.

Thay tọa độ điểm A: -1 + 2.(-1) – 8 = -7 > 0 (sai).

Thay tọa độ điểm B: -1 + 2.5 – 8 = 1 > 0 (đúng).

Thay tọa độ điểm C: -4 + 2.3 – 8 = -6 > 0 (sai).

Thay tọa độ điểm D: -0 + 2.4 – 8 = 0 > 0 (sai).

Mệnh đề là một khẳng định có tính đúng hoặc sai.

“Số 27 là số lẻ” là một mệnh đề.

A\B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

A\B = (1; 5] \ (2; 7] = (1; 2].

a) Kiểm tra các phương trình trong hệ có đều là bậc nhất hai ẩn không.

b) Thay cặp số (0; 0) vào hệ xem có thỏa mãn.

c) Vẽ các đường thẳng và xác định miền nghiệm.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của F = 3x + 4y tại các đỉnh của miền nghiệm.

a) Đúng. Mọi bất phương trình trong hệ đều là bậc nhất hai ẩn.

b) Sai. Thay (x; y) = (0; 0) vào hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 + 0 - 2 = - 2 \le 0}\\{0 - 0 + 2 = 2 \ge 0}\\{0 - 2.0 + 2 = 2 \le 0}\end{array}} \right.\) thấy bất phương trình $0 - 2.0 + 2 = 2 \le 0$ không đúng. Do đó cặp số (0; 0) không phải nghiệm của hệ.

c) Đúng. Ba đường thẳng x + y – 2 = 0, x – y + 2 = 0, x – 2y + 2 = 0 cắt nhau, tạo miền tam giác với ba đỉnh A(0; 2), $B\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3}} \right)$, C(-2; 0).

Lấy điểm D(0; 1,5) bên trong miền tam giác. Thay tọa độ điểm D vào hệ thấy thỏa mãn, do đó miền tam giác chính là miền nghiệm của hệ.

d) Sai. Tính F = 3x + 4y tại các đỉnh: F(A) = 8; $F(B) = \frac{{22}}{3}$; F(C) = -6.

Vậy giá trị nhỏ nhất đạt được tại C(-2; 0), hay x = -2, y = 0.

Dùng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$, tính $\cos \alpha ,\tan \alpha$ và thay vào biểu thức.

a) Đúng. ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}$.

b) Sai. Vì ${0^o} < \alpha < {90^o}$ nên các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ đều dương.

Do đó ${\cos ^2}\alpha = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

c) Đúng. $\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

d) Đúng. $\frac{{\sin \alpha + \sqrt 5 \cos \alpha }}{{2\sin \alpha + \cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3} + \sqrt 5 .\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{2.\frac{2}{3} + \frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = \frac{7}{{4 + \sqrt 5 }}$.

Áp dụng công thức $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.

Số học sinh thích cả hai môn: 295+ 340 – 540 = 95 (học sinh).

Số học sinh chỉ thích Văn: 295 – 95 = 200 (học sinh).

Số học sinh chỉ thích Toán: 340 – 95 = 245 (học sinh).

Số học sinh chỉ thích học đúng một môn: 200 + 245 = 445 (học sinh).

Áp dụng công thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

$P = 3{\sin ^2}x + 8(1 - {\sin ^2}x)$

$= 8 - 5{\sin ^2}x = 8 - 5{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} \approx 5,78$.

Lập bất phương trình tổng số tiền mua vở và bút.

Số tiền mua vở là 12000x (đồng); số tiền mua bút là 8000y (đồng).

Tổng số tiền phải trả không quá 200000 đồng nên ta có: $12000x + 8000y \le 200000$ hay $3x + 2y \le 50$.

Vậy P = a + b = 2 + 50 = 52.

Dùng định lý tổng 3 góc trong một tam giác bằng ${180^o}$.

$\widehat C = {180^o} - \widehat A - \widehat B = {180^o} - {40^o} - {60^o} = {80^o}$. Vậy a = 80.

Giao của A và B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B. Hợp của A và B là tập hợp gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

a) $A \cup B = \{ 0;1;2;3;4;5;6\}$.

b) $M \cap N = (3;5]$, $M \cup N = [ - 2;9]$.

Áp dụng định lí cosin và công thức tính diện tích tam giác.

a) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A$

$= {5^2} + {6^2} - 2.5.6.\cos {120^o} = 91 \Rightarrow BC = \sqrt {91}$.

b) ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.5.6.\sin {120^o} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}$.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Gọi x và y lần lượt là số lít nước loại K và T cần pha chế.

Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sau:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 30x+10y\le 180\\ x+y\le 8\\ x+2y\le 14\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\30x + 10y \le 180\\x + y \le 8\\x + 2y \le 14\end{array} \right.$ hay $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+y\le 18\\ x+y\le 8\\ x+2y\le 14\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\3x + y \le 18\\x + y \le 8\\x + 2y \le 14\end{array} \right.$ (*)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ (Oxy), ta được miền ngũ giác OABCD (lấy cả các điểm trên các cạnh của ngũ giác) với tọa độ các đỉnh là O(0;0), A(0;7) , B(2;6) , C(5;3) , D(6; 0).

Số điểm thưởng đội chơi nhận được là F(x; y) = 60x + 70y (điểm).

Ta có: F (0; 0) = 0, F(0; 7) = 490, F(2; 6) = 540, F(5; 3) = 510, F(6; 0) = 360.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) bằng 540 khi x = 2, y = 6.

Vậy cần pha chế 2 lít nước loại K và 6 lít nước loại T thì số điểm thưởng cao nhất.