Đề giữa học kỳ 1 Toán 10 năm 2025 – 2026 trường THPT Phan Bội Châu – Đà Nẵng

Mệnh đề toán học là những mệnh đề (khẳng định đúng hoặc sai) liên quan đến toán học.

“7 là một số nguyên tố” là một mệnh đề toán học.

Dựa vào định nghĩa mệnh đề đảo.

Mệnh đề đảo của mệnh đề $\left. A\Rightarrow B \right.$ là mệnh đề $\left. B\Rightarrow A \right.$.

Giao của A và B là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B.

$A \cap B = \left\{ {2;\, 3;\, 9} \right\}$.

Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$x - 2y > 1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Thay các cặp số vào hệ, nếu không thỏa mãn thì cặp số đó không phải nghiệm của hệ.

Thay cặp số (-1; 1) vào hệ, được $\{\begin{array}{c}-1+1-2\le 0\\ 2(-1)-3.1+2>0\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} {- 1 + 1 - 2 \leq 0} \\ {2( - 1) - 3.1 + 2 > 0} \end{matrix} \right.$ (vô lí). Do đó, (-1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Dựa vào quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc bù nhau.

$\sin(180^{0} - \alpha) = \sin\alpha$.

Dựa vào định lí cosin.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\,\cos C$.

Dựa vào các công thức tính diện tích tam giác.

$S = \dfrac{abc}{2R}$ là mệnh đề sai.

Viết lại tập hợp A, B bằng cách liệt kê phần tử. Thực hiện các phép toán trên tập hợp:

- Giao của A và B: Gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B.

- Hợp của A và B: Gồm các phần tử thuộc A hoặc vừa thuộc B.

- Hiệu của A và B: Gồm các phần tử vừa thuộc A mà không thuộc B.

$A = \{ 1;2;3;4\}$, $B = \{ 0;2;4;6\}$.

a) Đúng. $B = \{ 0;2;4;6\}$.

b) Đúng. $A\backslash B = \{ 1;3\}$.

c) Sai. $A \cup B = \{ 0;1;2;3;4;6\}$.

d) Đúng. $A \cap B = \{ 2;4\}$.

a, b) Thay tọa độ các điểm M, N vào bất phương trình/hệ bất phương trình tương ứng để kiểm tra.

c) Vẽ miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy để xác định dạng hình học và các đỉnh của miền nghiệm.

d) Tìm giá trị lớn nhất của F(x; y) = 2x + 3y bằng cách so sánh giá trị của F tại các đỉnh của miền nghiệm đa giác.

a) Đúng. Thay tọa độ điểm M vào (1): $1 + 1 = 2 \le 4$ (đúng). Vậy M(1; 1) thuộc miền nghiệm của (1).

b) Sai. Thay tọa độ điểm N vào hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + 0 = 2 \le 4}\\{2 + 3.0 = 2 \le 6}\\{2 \ge 0}\\{0 \ge 0}\end{array}} \right.\), thấy cả 4 bất phương trình đều thỏa mãn, do đó N thuộc miền nghiệm của hệ.

c) Đúng. Giao điểm của các đường thẳng từng đôi một là O(0; 0), A(4; 0), B(3; 1), C(0; 2).

Miền nghiệm là miền trong kể cả biên của tứ giác OAIC có một đỉnh có tọa độ (3; 1).

d) Sai. Tính giá trị F(x; y) = 2x + 3y tại các đỉnh:

F(0; 0) = 0, F(4; 0) = 8, F(3; 1) = 9, F(0; 2) = 6.

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền nghiệm bằng 9.

Tìm phần bù ${C_\mathbb{R}}A = \mathbb{R}\backslash A$ gồm các phần tử là số thực không thuộc A. Tính số phần tử nguyên thuộc phần bù đó.

${C_\mathbb{R}}A = [1986;2027]$.

Số các số tự nhiên từ 1986 đến 2027 là: (2027 – 1986) + 1 = 42 (số).

Chia cả tử và mẫu của biểu thức A cho $\cos \alpha$.

Vì $\tan \alpha = 3$ nên $\cos \alpha \ne 0$.

Ta có: $A = \frac{{\frac{{3\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{4\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{2\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \frac{{5\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{3\tan \alpha + 4}}{{2\tan \alpha - 5}} = \frac{{3.3 + 4}}{{2.3 - 5}} = 13$.

Áp dụng các phép toán trên tập hợp.

$A \cap B = \left\lbrack {1;2} \right)$, $A\backslash B = \left( {- 1;1} \right)$.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Gọi $x$(kg) là số kg thịt bò phải mua, y (kg) là số kg thịt lợn phải mua.
Theo đề ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}0\le x\le 1,6\\ 0\le y\le 1,1\\ 800x+600y\ge 900\\ 200x+400y\ge 400\end{array}\end{array}$$\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {0 \leq x \leq 1,6} \\ {0 \leq y \leq 1,1} \\ {800x + 600y \geq 900} \\ {200x + 400y \geq 400} \end{array} \end{array} \right.$ (*)

Bài toán dẫn đến tìm GTNN của biểu thức $F\left( {x;y} \right) = 250x + \text{~160}y$ thỏa mãn (*).

Miền nghiệm của (*) là miền trong tứ giác ABCD (kể cả bờ AB, BC, CD, DA) với:

A(1,6; 0,2), B(0,6; 0,7), C(0,3; 1,1), D(1,6; 1,1).

Ta có:

F(0,3; 1,1) = 251;

F(0,6; 0,7) = 262;

F(1,6; 0,2) = 432;

F(1,6; 1,1) = 576.

Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là F(0,3; 1,1) = 251.

Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình đó cần mua 0,3 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn.

Áp dụng định lí sin trong tam giác.

$\left. \widehat{CAD} = 63^{o}\Rightarrow\widehat{BAD} = 117^{o} \right.$

$\left. \Rightarrow\widehat{ADB} = 180^{o} - \left( {117^{o} + 48^{o}} \right) = 15^{o} \right.$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:

$\left. \dfrac{AB}{\sin\widehat{ADB}} = \dfrac{BD}{\sin\widehat{BAD}}\Rightarrow BD = \dfrac{AB.\sin\widehat{BAD}}{\sin\widehat{ADB}} \right.$.

Tam giác BCD vuông tại C nên có:

$\left. \sin\widehat{CBD} = \dfrac{CD}{BD}\Rightarrow CD = BD.\sin\widehat{CBD} \right.$.

Vậy $CD = \dfrac{AB.\sin\widehat{BAD}.\sin\widehat{CBD}}{\sin\widehat{ADB}}$

$= \dfrac{24.\sin 117^{o}.sin48^{o}}{\sin 15^{o}} \approx 61,4$.