Đề giữa kỳ 1 Toán 10 năm 2025 – 2026 trường THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng

Sử dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau.

Ta có $\cot \left( {{{180}^ \circ } - \alpha } \right) = - \cot \alpha$, do đó đẳng thức ở phương án B là sai.

Mệnh đề dạng “Nếu P thì Q” có mệnh đề đảo là “Nếu Q thì P”.

Mệnh đề đảo là: “Nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác đó là hình chữ nhật”.

Sử dụng định lý cosin trong tam giác: ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C$.

Định lý cosin đối với cạnh c là ${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C$.

Phủ định của mệnh đề dạng "$\exists x \in M,P\left( x \right)$" là "$\forall x \in M,\overline {P\left( x \right)}$". Phủ định của $\ge$ là $<$.

Mệnh đề phủ định là "$\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + x + 5 < 0$".

Sử dụng kí hiệu $\forall$ biểu thị cho từ "Mọi" và kí hiệu tập hợp số thực $\mathbb{R}$.

Mệnh đề viết dưới dạng ký hiệu là: $\forall x \in \mathbb{R},x.1 = x$.

Kiểm tra mối quan hệ thuộc ($\in$) và tập con ($\subset$).

Vì 3 là một phần tử thuộc tập B nên $3 \in B$. Do đó mệnh đề $3 \notin B$ là sai.

Sử dụng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

Ta có $\cos {150^ o } = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$, $\sin {150^ o } = \frac{1}{2}$, $\tan {150^ o } = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$, $\cot {150^ o } = - \sqrt 3$.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Công thức tính diện tích tam giác là $S = \frac{1}{2}ac\sin B$.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm các bất phương trình có dạng ax + by + c < 0 (hoặc $\le , > , \ge$) với a, b không đồng thời bằng 0.

Hệ ở đáp án D chứa các bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.

"Buồn ngủ quá!" là câu cảm thán nên không phải là mệnh đề.

Thay tọa độ các điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ vào bất phương trình 2x + y < 1, nếu thỏa mãn thì điểm thuộc miền nghiệm.

Thay tọa độ điểm M(1; -2): 2.1 + (-2) = 0 < 1 (đúng).

Thay các giá trị x tương ứng vào P(x) để kiểm tra tính đúng sai.

Với $x = 1 \Rightarrow 1 + 3 = 4 > {1^2} = 1$ (Đúng).

Đếm số phần tử của tập hợp A. Kiểm tra quan hệ tập con $X \subset A$. Xác định giao $A \cap B$ và hiệu $B\backslash A$.

a) Đúng. Tập hợp A gồm 4 phần tử $\left\{ { - 3; - 1;0;2} \right\}$.

b) Đúng. Các phần tử -1 và 2 đều thuộc A, nên $X \subset A$.

c) Sai. Ta có $A \cap B = \left\{ { - 1;2} \right\}$.

d) Sai. Ta có $B\backslash A = \left\{ { - 2;4} \right\}$.

Quan sát hình vẽ đồ thị và trục tọa độ Oxy. Xác định các tọa độ giao điểm, miền nghiệm và hình dạng miền nghiệm.

a) Đúng. Đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm (0; 2).

b) Đúng. Miền gạch chéo nằm phía bên phải trục tung ($x \ge 0$) nên các điểm đều có hoành độ không âm.

c) Sai. Điểm M(1; -1) có y = -1 < 0, nằm dưới trục hoành Ox, không thuộc miền gạch chéo.

d) Đúng. Miền nghiệm gạch chéo là hình tam giác vuông giới hạn bởi Ox, Oy và đường thẳng d.

Tìm $A \cap B$. Liệt kê các số nguyên thuộc tập hợp $A \cap B$.

Ta có $A \cap B = \left( { - 3;2\left] \cap \right[ - 1; + \infty } \right) = \left[ { - 1;2} \right]$.

Các phần tử là số nguyên trong $\left[ { - 1;2} \right]$ là: $\left\{ { - 1;0;1;2} \right\}$.

Vậy có 4 phần tử nguyên.

Lập bất phương trình doanh thu.

Bất phương trình doanh thu:

$350000x + 250000y \ge 7000000$ hay $7x + 5y \ge 140$.

Vậy $T = 2n - m = 2.140 - 7 = 273$.

Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$. Do $\alpha \in \left( {{0^o};{{90}^o}} \right)$ nên $\cos \alpha > 0$.

Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{5}} \right)^2} = 1 - \frac{2}{{25}} = \frac{{23}}{{25}}$.

Vì $\alpha \in \left( {{0^o};{{90}^o}} \right)$ nên $\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt {23} }}{5}$.

Suy ra $a = 23$ (TM) và $b = 5$. Do đó $a - 2b = 23 - 2.5 = 13$.

Tính góc $\widehat {ACB} = {180^o} - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right)$.

Áp dụng định lý hàm số sinh trong tam giác ABC:

$\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}}$.

Trong ${\rm{\Delta }}ABC$, ta có: $\widehat {ACB} = {180^ \circ } - \left( {{{85}^ \circ } + {{45}^ \circ }} \right) = {50^ \circ }$.

Theo định lý sin:

$AC = \frac{{AB.\sin \widehat {ABC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{60.\sin {{45}^o}}}{{\sin {{50}^o}}} \approx 55$ (m).

Sử dụng các phép toán trên tập hợp.

a) $A \cup B = \left[ { - 1; + \infty ) \cup ( - 3;2} \right] = \left( { - 3; + \infty } \right)$.

${C_\mathbb{R}}B = \mathbb{R} \setminus \left( { - 3;2} \right] = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

b) Số học sinh chỉ thích bóng đá:

$m = 30 - \left( {15 + 10 - 5} \right) = 30 - 20 = 10$.

Số học sinh chỉ thích bóng bàn:

$n = 25 - \left( {15 + 12 - 5} \right) = 25 - 22 = 3$.

Số học sinh chỉ thích cầu lông:

$p = 20 - \left( {10 + 12 - 5} \right) = 20 - 17 = 3$.

Vậy $S = m + n + p = 10 + 3 + 3 = 16$.

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

a) Gọi số bàn xưởng sản xuất được là x (bàn) và số ghế xưởng sản xuất được là y (ghế) ($x,y \in \mathbb{N}$).

Xưởng có 3 công nhân lắp ráp và một công nhân làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày nên tổng thời gian lắp ráp một ngày là 3.8 = 24 (giờ).

Xưởng có 4 công nhân hoàn thiện và một công nhân làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày nên tổng thời gian lắp ráp một ngày là: 4.8 = 32 (giờ).

Tổng thời gian lắp ráp x chiếc bàn và y chiếc ghế không vượt quá 24 giờ nên $1,5x + y \le 24$ (1)

Tổng thời gian hoàn thiện x chiếc bàn và y chiếc ghế không vượt quá 32 giờ nên $x + 2y \le 32$ (2)

Vì lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn nên $3,5x \ge y$ (3)

Từ (1), (2), (3) và điều kiện của x, y nên ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1,5x + y \le 24}\\{x + 2y \le 32}\\{3,5x - y \ge 0}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\).

b) Vẽ các đường thẳng:

d1: 1,5x + y = 24 đi qua hai điểm (16; 0) và (0; 24).

d2: x + 2y = 32 đi qua hai điểm (32; 0) và (0; 16).

d3: 3,5x – y = 0 đi qua hai điểm (0; 0) và (2; 7).

d4: x = 0 là trục Oy.

d5: y = 0 là trục Ox.

Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của từng bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tứ giác OABC với O(0; 0), A(4; 14), B(8; 12), C(16; 0).

Số tiền lãi mà phân xưởng thu được khi bán x chiếc bàn và y chiếc ghế là: 600x + 450y (nghìn đồng).

Đặt F = 600x + 450y.

Thay x,y lần lượt là tọa độ các điểm O, A, B, C, D vào biểu thức F:

F(0; 0) = 0 F(4; 14) = 8700, F(8; 12) = 10200, F(16; 0) = 9600.

F đạt giá trị lớn nhất bằng 10200 tại x = 8, y = 12.

Vậy xưởng cần sản xuất 8 chiếc bàn và 12 chiếc ghế để thu được tiền lãi lớn nhất là 10 200 000 đồng.

a) Áp dụng định lí sin.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính các cạnh của tam giác BCD, sau đó dùng hệ thức Heron để tính diện tích.

a) Theo định lý sin: $\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{AB}}{{2\sin C}} = \frac{3}{{2\sin {{60}^o}}} = \frac{3}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3$.

b) Xét các tam giác vuông DAB và DAC với DA = 380 m:

Trong ${\rm{\Delta }}DAB$ vuông tại D:

$DB = DA.\tan {66^o} = 380.\tan {66^o}$;

$$AB = \frac{{AD}}{{\cos {{66}^o}}}{\rm{\; = }}\frac{{380}}{{\cos {{66}^o}}}$$.

Trong ${\rm{\Delta }}DAC$ vuông tại D:

$DC = DA.\tan {55^o} = 380.\tan {55^o}$

$$AC = \frac{{AD}}{{\cos {{55}^o}}}{\rm{\; = }}\frac{{380}}{{\cos {{55}^o}}}$$.

Từ góc $\widehat {BAC} = {50^o}$, áp dụng định lý cosin trong ${\rm{\Delta }}ABC$:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos {50^o}$.

Ta có: $p = \frac{{DB + DC + BC}}{2}$.

Áp dụng công thức Heron:

$S = \sqrt {p(p - DB)(p - DC)(p - BC)} \approx 193843,5$ $({m^2})$.