Đề cuối kỳ 1 Toán 10 năm 2025 – 2026 trường THPT Nguyễn Trãi – Đà Nẵng

Khoảng biến thiên R của mẫu số liệu là hiệu giữa giá trị lớn nhất ${x_{max}}$ và giá trị nhỏ nhất ${x_{min}}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 10 - 3 = 7.

Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: Với ba điểm O, M, N bất kỳ, ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM}$.

Theo quy tắc hiệu hai vectơ có chung gốc B, ta có $\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA}$.

Do đó, mệnh đề ở phương án B là đúng.

Vectơ $\vec u = x\vec i + y\vec j$ có tọa độ là (x; y).

Ta có $\vec a = 5\vec i + 3\vec j$ nên tọa độ của vectơ $\vec a$ là (5; 3).

Hai vectơ ngược hướng là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau và hướng ngược chiều nhau.

$\overrightarrow {AN}$ và $\overrightarrow {CA}$ nằm trên cùng đường thẳng AC và hướng ngược chiều nhau nên $\overrightarrow {AN}$ và $\overrightarrow {CA}$ là hai vectơ ngược hướng.

Thay x = -2 và y = 3 vào các bất phương trình, bất phương trình nào cho mệnh đề đúng thì cặp số (-2; 3) là nghiệm.

Thay x = -2, y = 3 vào phương án D: x + y + 1 = -2 + 3 + 1 = 2 > 0 (mệnh đề đúng).

Do đó (-2; 3) là nghiệm của bất phương trình x + y + 1 > 0.

Sử dụng định lý côsin trong tam giác: ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B$.

Theo định lý côsin trong tam giác ABC, ta có đẳng thức ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B$.

Dựa vào biểu thức tọa độ các phép toán vecto trên mặt phẳng.

Công thức tính côsin góc giữa hai vectơ là $\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{|\vec a||\vec b|}} = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}$, do đó khẳng định ở phương án D là sai.

Độ chính xác d = 0,05 ở hàng phần trăm, nên ta phải quy tròn số a đến hàng phần mười (hàng lớn hơn d một cấp).

Chữ số ở hàng phần mười là 6, chữ số sau nó ở hàng phần trăm là 5 (lớn hơn hoặc bằng 5).

Do đó quy tròn a = 152,65 đến hàng phần mười ta thu được 152,7.

Với $\vec a = ({x_1};{y_1})$ và $\vec b = ({x_2};{y_2})$ thì $\vec a + \vec b = ({x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2})$.

Ta có $\vec a + \vec b = (5 + ( - 1); - 4 + 2) = (4; - 2)$.

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in X,P(x)$” là “$\exists x \in X,\overline {P(x)}$ ”.

Phủ định của “$\forall x \in R:{x^2} + x + 1 > 0$” là “$\exists x \in R:{x^2} + x + 1 \le 0$”.

Thay tọa độ từng điểm vào hệ bất phương trình, điểm thỏa mãn cả hai bất phương trình thuộc miền nghiệm.

Thay điểm (1; 3) vào hệ:

$1 + 3 = 4 \ge 2$ (đúng).

$2(1) - 3 + 1 = 0 \le 0$ (đúng).

Vậy điểm (1; 3) thuộc miền nghiệm của hệ.

{x_B}}}{2}\) và ${y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$.

Ta có ${x_I} = \frac{{2 + ( - 4)}}{2} = - 1$ và ${y_I} = \frac{{3 + 7}}{2} = 5$.

Do đó tọa độ trung điểm I là (-1; 5).

Tập hợp $X \subset B$ nếu mọi phần tử thuộc X đều thuộc B.

$A \cap B$ gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.

$A \cup B$ gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B.

$A\backslash B$ gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B

a) Sai. Phần tử $- 1 \notin B$, nên $\{ - 1;0\} \not \subset B$.

b) Đúng. Các phần tử chung của A và B là 1 và 3, nên $A \cap B = \{ 1;3\}$.

c) Sai. $A \cup B = \{ - 3; - 2;0;1;3;4;5\}$.

d) Đúng. $A\backslash B = \{ - 3;5\}$.

Tọa độ $\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})$.

Độ dài đoạn thẳng $\left| {AB} \right| = \sqrt {{{({x_B} - {x_A})}^2} + {{({y_B} - {y_A})}^2}}$.

Tích vô hướng $\vec u.\vec v = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}$.

a) Sai. Ta có $\overrightarrow {AB} = (3 - ( - 2);2 - 6) = (5; - 4)$.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AB} = (5; - 4) \Rightarrow \left| {AB} \right| = \sqrt {{5^2} + {{( - 4)}^2}} = \sqrt {41}$.

$\overrightarrow {BC} = ( - 1 - 3;7 - 2) = ( - 4;5) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {5^2}} = \sqrt {41}$.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|$.

c) Sai. Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 5( - 4) + ( - 4)5 = - 40$.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 40 \ne 0 \Rightarrow \widehat {ABC} \ne {90^o}$ hay tam giác ABC không vuông tại B.

Xác định tập hợp $B\backslash A$ gồm các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A, từ đó tìm a, b và tính S = 2a - 3b.

Ta có $A = ( - \infty ;10]$ và B= (5; 20).

Khi đó $B\backslash A = (10;20)$.

Suy ra a = 10 và b = 20.

Giá trị của S là S = 2.10 – 3.20 = -40.

Sử dụng định lý côsin trong tam giác ABC: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$.

Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABC tại đỉnh A:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2.AC.AB.\cos A$

$= {290^2} + {310^2} - 2.290.310.\cos {85^o}$

$= 84100 + 96100 - 179800.\cos {85^o} \approx 164531,24$.

$BC = \sqrt {164531,24} \approx 406$ (m).

Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng  khi tổng khoảng cách (MA + MB) đạt giá trị nhỏ nhất để lập tỉ lệ tìm OM.

Đặt OM = x ($0 \le x \le 600$), suy ra MP = 600 - x.

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua trục Ox, khi đó A’(0; -200) và MA = MA’.

Ta có MA + MB = MA’ + MB nhỏ nhất khi A’, M, B thẳng hàng.

Vì OA’ // BP nên theo hệ quả định lí Thales: $\frac{{OA'}}{{BP}} = \frac{{OM}}{{MP}}$

$\Leftrightarrow \frac{{OA}}{{BP}} = \frac{{OM}}{{MP}} \Leftrightarrow \frac{{200}}{{300}} = \frac{x}{{600 - x}} \Leftrightarrow x = 240$.

Vậy khoảng cách từ M đến O là 240 m.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. Tìm trung vị ${Q_2}$, sau đó tìm tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của nửa mẫu số liệu bên trái ${Q_2}$.

Sắp xếp 11 số liệu theo thứ tự không giảm:

4; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 10.

Vì n = 11 là số lẻ nên trung vị ${Q_2}$ là giá trị ở vị trí thứ 6: ${Q_2} = 7$.

Nửa mẫu số liệu bên trái ${Q_2}$ gồm 5 số: 4; 5; 6; 6; 7.

Trung vị của dãy 5 số này là giá trị ở vị trí thứ 3: ${Q_1} = 6$.

a) Áp dụng công thức $\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}}$.

b) Tổng hợp hai lực căng dây theo quy tắc hình bình hành và cho cân bằng với trọng lực $\vec P$.

a) Ta có: $\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{20}}{{6.5}} = \frac{2}{3}$.

b) Trọng lượng của vật là: $P = m.g = 40\sqrt 3 .10 = 400\sqrt 3$ (N).

Gọi ${\vec F_{12}} = {\vec T_1} + {\vec T_2}$ là hợp lực của hai lực căng dây.

Khi vật cân bằng thì $\left| {\overrightarrow {{F_{12}}} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right| = 400\sqrt 3 {\rm{ N}}$.

Hình bình hành tạo bởi hai vectơ lực căng có hai cạnh kế bằng nhau nên là hình thoi.

Độ dài đường chéo ${F_{12}} = 2.{T_1}.\cos {30^o}$.

Suy ra $400\sqrt 3 = 2.{T_1}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = {T_1}\sqrt 3 \Rightarrow {T_1} = 400$ (N).

Vậy lực căng của mỗi sợi dây bằng 400 N.

a) Tính tọa độ $\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC}$ rồi tính $\vec u = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC}$.

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (2 - ( - 1);3 - 1) = (3;2)$; $\overrightarrow {AC} = (5 - ( - 1);0 - 1) = (6; - 1)$.

Suy ra $\vec u = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = (2.3 - 6;2.2 - ( - 1)) = (0;5)$.

b) Gọi D(x; y).

Ta có $\overrightarrow {DC} = (5 - x;0 - y) = (5 - x; - y)$.

Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$

$\Leftrightarrow$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{5 - x = 3}\\{ - y = 2}\end{array}} \right.$ \Leftrightarrow $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = - 2}\end{array}} \right.$.

Vậy D(2; -2).

a) Áp dụng công thức số trung bình $\bar x = \frac{{\sum {{n_i}} {x_i}}}{N}$.

b) Áp dụng công thức phương sai ${s^2} = \frac{{\sum {{n_i}} {{({x_i} - \bar x)}^2}}}{N}$.

a) Kích thước mẫu $N = 3 + 7 + 4 + 12 + 8 + 6 = 40$.

Thời gian tự học trung bình mỗi ngày là:

$\bar x = \frac{{1.3 + 2.7 + 3.4 + 4.12 + 5.8 + 6.6}}{{40}} = \frac{{153}}{{40}} \approx 3,8$.

b) Phương sai của mẫu số liệu là:

${s^2} = \frac{{3{{(1 - 3,8)}^2} + 7{{(2 - 3,8)}^2} + 4{{(3 - 3,8)}^2} + 12{{(4 - 3,8)}^2} + 8{{(5 - 3,8)}^2} + 6{{(6 - 3,8)}^2}}}{{40}} = 2,245$.