Giải bài 3 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD,AC = BD,AD = BC\). a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc hai cạnh đó.

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(AB = CD,AC = BD,AD = BC\).

a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc hai cạnh đó.

b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc trong không gian để chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC.

Tam giác ADC và tam giác BCD có: CD chung, \(AC = BD,AD = BC\)

Suy ra, \(\Delta ADC = \Delta BCD\left( {c.c.c} \right)\) nên \(AN = BN\) (hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD)

Do đó, tam giác NAB cân tại N. Do đó, NM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(NM \bot AB\)

Chứng minh tương tự ta có: \(NM \bot CD\)

Vậy đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc hai cạnh đó

b) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên \(MQ = \frac{{AC}}{2}\)

Vì PN là đường trung bình của tam giác ADC nên \(PN = \frac{{AC}}{2}\). Do đó, \(MQ = PN = \frac{{AC}}{2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(MP = QN = \frac{{BD}}{2}\)

Mà \(AC = BD\). Do đó, \(MQ = PN = MP = QN\)

Suy ra, tứ giác MPNQ là hình thoi, suy ra \(MN \bot PQ\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Giải bài 4 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của SA, SD, SC và BC. Tính các góc giữa các đường thẳng sau:
Giải bài 5 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.
Giải bài 2 trang 51 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 ,SA \bot AC,\) \(SA \bot BC,\) \(\widehat {BAD} = {120^0}\).
Giải bài 1 trang 50 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.