SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 2 - SBT Toán 11 CTST

Giải bài 1 trang 65 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1


Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết a) \({u_n} = \frac{{2n + 9}}{{n + 3}}\); b) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }}\); c) \({u_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}}\).

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết

a) \({u_n} = \frac{{2n + 9}}{{n + 3}}\);

b) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }}\);

c) \({u_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).

* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in \mathbb{N}*\).

+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\). 

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({u_n} = \frac{{2n + 9}}{{n + 3}} = \frac{{2\left( {n + 3} \right) + 3}}{{n + 3}} = 2 + \frac{3}{{n + 3}}\), suy ra \(2 < {u_n} < 3\;\forall n \in \mathbb{N}*\)

Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Lại có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 9}}{{n + 1 + 3}} - \frac{{2n + 9}}{{n + 3}} = \frac{{2n + 11}}{{n + 4}} - \frac{{2n + 9}}{{n + 3}}\)

\( = \frac{{\left( {2n + 11} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {2n + 9} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} = \frac{{2{n^2} + 17n + 33 - 2{n^2} - 17n - 36}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 4} \right)}} < 0\)

Suy ra, \({u_{n + 1}} < {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

b) Ta có: \(0 < \frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }} < 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Lại có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n + 1} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {2\;024 + n} }}}} = \frac{{\sqrt {2\;024 + n} }}{{\sqrt {2\;024 + n + 1} }} < 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\)

Suy ra, \({u_{n + 1}} < {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

c) Ta có: \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!{2^n}}}{{n!{2^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1}}{2} \ge 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\).

Suy ra, \({u_{n + 1}} \ge {u_n}\;\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Lại có: \({u_n} = \frac{{n!}}{{{2^n}}} > 0\;\forall n \in \mathbb{N}*\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store