Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Bài 2: Hai đường thẳng song song

Câu 26 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.


Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SCD và SDA.

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N, E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b) Tứ giác MNEF là hình thoi.

c) Ba đường thẳng ME, NF và SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD).

Lời giải chi tiết

Gọi M’, N’, E’, F’ lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng SM và AB, SN và BC, SE và CD, SF và DA. Khi đó M’, N’, E’, F’ lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC, CD, DA.

Vì M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC nên:

\({{SM} \over {SM'}} = {{SN} \over {SN'}} = {2 \over 3} \)

\(\Rightarrow MN// M'N'\)  và \(MN = {2 \over 3}M'N'\)  (1)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(EF//E'F'\,\,\text{và}\,\,EF = {2 \over 3}\)E'F'       (2)

NE // N’E’ và \(NE = {2 \over 3}N'F'\,\,(3)\)

MF // M’F’ và \(MF = {2 \over 3}M'F'\,\,\,(4)\)

a) M’N’ là đường trung bình của tam giác BAC suy ra:

 M’N’//AC và \(M'N' = {1 \over 2}AC\,\,\,(5)\)

Tương tự: E’F’ // AC và \(E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(6)\)

Từ (5) và (6) suy ra M’N’ //E’F’ và \(M'N' = E'F' = {1 \over 2}AC\,\,\,(7)\)

Từ (1), (2), (7) suy ra MN // EF. Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng.

b) Lí luận tương tự như câu a), ta suy ra:

N’E’ // M’F’ và \(N'E' = M'F' = {1 \over 2}BD.\)

Từ (1), (2), (3), (4), (7), (8) và AC = BD suy ra:

\(MN = NE = EF = FM = {1 \over 3}AC.\)

Vậy tứ giác MNEF là một hình thoi.

c) Dễ thấy O cũng là giao điểm của M’E’ và N’F’. Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’) và (MNEF). Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {N'SF'} \right) = SO \cr 
& \left( {M'SE'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = ME \cr 
& \left( {N'SF'} \right) \cap \left( {MNEF} \right) = NF \cr 
& ME \cap NF = I \cr} \)

Vậy theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng SO, ME và NF đồng quy.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua