Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Lấy N là trung điểm của cạnh AC, hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho NK = NG.
a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\).
b) Chứng minh \(CK \bot BC\).
c) Gọi I là giao điểm của KH và CG. Chứng minh I là trọng tâm của \(\Delta BCK\).
d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\).
Dựa vào giả thiết để vẽ hình.
a) Chứng minh \(\Delta ABH = \Delta ACH\) theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.
b) Chứng minh \(\Delta AGN = \Delta CKN\left( {c.g.c} \right)\) suy ra hai góc bằng nhau.
Mà hai góc bằng nhau đó ở vị trí so le trong nên suy ra AG // CK hay AH // CK.
Kết hợp với AH \( \bot \) BC nên \(CK \bot BC\).
c) Chứng minh G là trung điểm của BK; H là trung điểm của BC nên có hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.
Do đó I là trọng tâm của tam giác BCK.
d) Chứng minh GM = GN
Chứng minh \(GN = \frac{1}{4}BK\)
Chứng minh \(BK < BC + CK\)
Chứng minh AG = CK (6)
Kết hợp lại ta được điều phải chứng minh
a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Vì \(AH \bot BC\) nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:
\(AB = AC\)
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AH chung
nên \(\Delta ABH = \Delta ACH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
b) Xét \(\Delta AGN\) và \(\Delta CKN\) có:
\(AN = NC\) (N là trung điểm của AC)
\(\widehat {ANG} = \widehat {CNK}\) (hai góc đối đỉnh)
\(GN = NK\) (gt)
nên \(\Delta AGN = \Delta CKN\left( {c.g.c} \right)\)
suy ra \(\widehat {AGN} = \widehat {CKN}\).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AG // CK hay AH // CK.
Mà \(AH \bot BC\) nên \(CK \bot BC\).
c)
Vì \(\Delta ABH = \Delta ACH\) nên BH = CH, mà \(H \in BC\) suy ra H là trung điểm của BC.
Do đó AH là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì N là trung điểm của AC nên BN là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mà BN cắt AH tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Suy ra \(BG = \frac{2}{3}BN\) và \(GN = \frac{1}{3}BN\), do đó \(BG = 2GN\) (1)
Vì NK = NG và \(N \in GK\) nên N là trung điểm của GK, suy ra \(GK = 2GN\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BG = KG.
Do đó G là trung điểm của BK.
Xét tam giác BCK có:
CG là đường trung tuyến (vì G là trung điểm của BK)
KH là đường trung tuyến (vì H là trung điểm của BC)
Mà KH cắt CG tại I
Do đó I là trọng tâm của tam giác BCK.
d) Vì tam giác ABC cân nên hai đường trung tuyến BN = CM, do đó GM = GN (3)
Mà \(GK = 2GN\) nên \(GN = \frac{1}{2}GK\).
Mà \(GK = \frac{1}{2}BK\) (vì G là trung điểm của BK) nên \(GN = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}BK = \frac{1}{4}BK\) (4)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác BCK, ta có: \(BK < BC + CK\) (5)
Vì \(\Delta AGN = \Delta CKN\left( {c.g.c} \right)\) nên AG = CK (6)
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + CK} \right) = \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\)
Vậy \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.
Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD= 2 DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A
Gợi ý D là trọng tâm của tam giác ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là trung tuyến.
Cho tam giác ABC cân tại A (\(\widehat A < {90^o}\)). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rẳng \(\Delta BFC = \Delta CEB\)
b) Chứng minh rằng \(\Delta AEH = \Delta AFH\)
c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm A,H,I thẳng hàng.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.
a) Chứng minh rằng \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)
b) Kẻ \(MI \bot AH\)(I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:
a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng;
b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.
Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Khi AH = BC, hãy chứng minh \(\widehat {BAC} = {45^0}\).
a) Giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điểm D nằm giữa A và C. Chứng minh AC > AB.
b) Hỏi đảo lại có đúng không tức là nếu tam giác ABC có AC > AB thì đường trung trực d của cạnh BC có cắt AC tại điểm nằm giữa A và C không?
c) Vẫn giả sử đường trung trực d của cạnh BC của tam giác ABC cắt cạnh AC tại một điển D nằm giữa A và C. Với M là một điểm tuỳ ý thuộc d, M khác D, hãy chứng minh MA + MB > DA + DB.
Cho M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác đều ABC. Lấy điểm N nằm khác phía với M đối với đường thẳng AC sao cho \(\widehat {CAN} = \widehat {BAM}\) và AN = AM.
Chứng minh:
a) Tam giác AMN là tam giác đều
b) \(\Delta MAB = \Delta NAC\)
c) MN = MA, NC = MB
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác của góc A. Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác và gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác. Chứng minh ba điểm A, I, G thẳng hàng.
Cho tam giác nhọn ABC. Hãy nêu cách tìm các điểm sau đây bên trong tam giác ABC.
a) Điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
b) Điểm N cách đều ba cạnh của tam giác ABC
c) Điểm P là trọng tâm của tam giác ABC.
d) Điểm Q là trực tâm của tam giác ABC.
Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BE; K là hình chiếu của I trên BC.
a) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng.
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trọng tâm của tam giác BCD.
Trong các hình 62a, 62b, 62c, 62d, hình nào có điểm cách đều các đỉnh của tam giác đó? Vì sao?
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh ∆ADB = ∆AEC.
b) Chứng minh tam giác HDE là tam giác cân.
c) So sánh HB và HD.
d) Gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của HB, I là giao điểm của BM và CN. Chứng minh ba điểm A, H, I thẳng hàng.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) cắt AC tại E. Từ E kẻ \(EH \bot BC\) tại H và EH cắt AB tại K.
a) Chứng minh \(AE = EH\).
b) So sánh độ dài hai cạnh AE và EC.
c) Chứng minh BE là đường trung trực của AH.
d) Chứng minh \(\Delta KBC\) là tam giác cân.
Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH \(\left( {H \in BC} \right)\).
a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC\).
b) Từ H kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D. Chứng minh \(AD = DH\).
c) Gọi M là trung điểm của AC, CD cắt AH tại G. Chứng minh ba điểm B, G, M thẳng hàng.
d) Chứng minh chu vi \(\Delta ABC\) lớn hơn \(AH + 3BG\).
Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho \(BD = 2DC\). Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.47). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.
Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và tia đối của tia CB theo thứ tự lấy hai điểm D và E sao cho \(BD = CE\).
a) Chứng minh \(\Delta ADE\) cân.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE và \(AM \bot DE\).
c) Từ B và C kẻ BH, CK theo thứ tự vuông góc với AD, AE. Chứng minh: \(BH = CK\).
d) Chứng minh: HK//BC.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho \(BD = BA\) và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt BA tại M. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABH = \Delta DBH\).
b) Tam giác AED cân.
c) \(EM > ED\).
d) Tam giác BCM là tam giác đều và \(CE = 2EA\), biết \(\widehat {ABC} = {60^o}\).
A. Đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác
B. Đường trung tuyến CP đồng thời là đường trung trực
C. Đường trung tuyến BN đồng thời là đường phân giác
D. Đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực
a) Chứng minh rằng: \(\Delta APH = \Delta QPC\) và \(QC\) vuông góc với\(BC\).
b) Chứng minh rằng: \(QC = AH\) từ đó suy ra \(AC > QC\).
c) Chứng minh rằng: \(\angle PAC < \angle HAP\)
d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BQ\). Chứng minh rằng ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.
a) Chứng minh: \(\Delta AHD = \Delta AKD\)
b) Tia \(KD\) cắt tia \(AB\) tại \(M\), tia \(HD\) cắt tia \(AC\) tại \(N\). Chứng minh: \(HM = KN\)
c) Chứng minh: \(AD \bot MN\) và \(BC//MN\)
d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(MN\). Qua \(I\) kẻ đường thẳng d song song với \(AM\), đường thẳng \(d\) cắt \(AN\)tại \(E\). Chứng minh: \(IE = \dfrac{1}{2}AM\)
a) Chứng minh rằng: $\Delta APH = \Delta QPC$ và $QC$ vuông góc với$BC$.
b) Chứng minh rằng: $QC = AH$từ đó suy ra $AC > QC$.
c) Chứng minh rằng: $\angle PAC < \angle HAP$
d) Gọi $I$ là trung điểm của $BQ$. Chứng minh rằng ba điểm $A,H,I$ thẳng hàng.
a) Chứng minh rằng: \(\Delta APH = \Delta QPC\) và \(QC\) vuông góc với\(BC\).
b) Chứng minh rằng: \(QC = AH\) từ đó suy ra \(AC > QC\).
c) Chứng minh rằng: \(\angle PAC < \angle HAP\)
d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BQ\). Chứng minh rằng ba điểm \(A,H,I\) thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
a) Chứng minh rằng CBD là tam giác cân.
b) Gọi M là trung điểm của CD, đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng BM tại E. Chứng minh rằng BC = DE và BC + BD > BE
c) Gọi G là giao điểm của AE và DM. Chứng minh rằng BC = 6GM
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A,$ có \(\widehat C = {30^0}\), đường trung trực của $BC$ cắt $AC$ tại $M.$ Em hãy chọn câu đúng:
-
A.
$BM$ là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
-
B.
\(BM = AB\).
-
C.
$BM$ là phân giác của \(\widehat {ABC}\).
-
D.
$BM$ là đường trung trực của \(\Delta ABC\).
a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC.
b) Chứng minh: \(\Delta ADB = \Delta ADC\).
c) Gọi M là trung điểm của DB. Từ M vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại E. Chứng minh: DE // AC.
