Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ .
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
b) Tính giới hạn của dãy số và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số .
c) Gọi là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ . Tính , nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?
a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó, do vậy . Suy ra số hạng tổng quát của dãy là .
b) Ta có
Từ đó ta rút ra ý nghĩa giới hạn của dãy .
c) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó. Sau lần chạm đất thứ , độ cao của quả bóng là , thì lần chạm đất tiếp theo (thứ ), độ cao của quả bóng là .
Tức là . Như vậy là cấp số nhân với và công bội .
Như vậy
Vậy số hạng tổng quát của dãy là .
b) Ta có
Từ giới hạn này, ta rút ra được ý nghĩa: Khi càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.
c) Từ lúc thả rơi đến lần chạm đất đầu tiên, qua bóng đi được 100 m.
Từ lúc chạm đất lần đầu tiên đến lúc chạm đất lần thứ hai, quả bóng nảy lên độ cao rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là .
Từ lúc chạm đất lần thứ hai đến lúc chạm đất lần thứ ba, quả bóng nảy lên độ cao rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là .
Cứ như vậy, quãng đường quả bóng đi được là:
Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi thì quãng đường quả bóng đi được là
Ta thấy là cấp số nhân với công bội , nên là cấp số nhân lùi vô hạn.
Như vậy
Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển là m.
Các bài tập cùng chuyên đề
Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng (H.5.3). Từ A kẻ , từ kẻ , sau đó lại kẻ . Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.
a)
b)
Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)
d)
e)
g)
Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn.
a) Tính diện tích của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;
b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành.
Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).
(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)
Gọi là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số .
b) Chứng minh rằng có giới hạn là 0.
c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn g.
Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1 là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính , C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính
Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB.
a) Tính pn, Sn.
b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).
Tính các giới hạn sau:
a)
b) ;
c) ;
d)
e)
g) .
Từ độ cao của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất lần. Tính .
Cho một tam giác đều ABC cạnh . Tam giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác , tam giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác Gọi và theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác .
a) Tìm giới hạn của các dãy số và .
b) Tìm các tổng và .
Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).
a) Kí hiệu là diện tích của hình vuông thứ và là tổng diện tích của hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính và tìm (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).
b) Kí hiệu là chu vi của hình vuông thứ và là tổng chu vi của hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính và và tìm (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).
Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:
Bắt đầu bằng một hình vuông cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình .
Ta có: có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng ;
có hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng ;…
Từ đó, nhận được hình có hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng .
a) Tính diện tích của và tính .
b) Tính chu vi của và tính .
(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích và chu vi ).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng tại điểm . Kí hiệu là diện tích của tam giác . Tính .
Cho và . Tìm giá trị của a.
Cho dãy số thỏa mãn . Tìm .
Phát biểu nào sau đây là SAI?
A.
B.
C.
D.
Chứng minh rằng .
Cho hai dãy số , với , . Tính:
a) ,
b) , , ,
Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)
d)
Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)
d)
e)
g)
Tính các giới hạn sau:
a)
b)
c)
d)
e)
g)
Cho với a, b là các số thực thỏa mãn . Tìm
Cho dãy số với . Đặt
a) Tính theo n.
b) Tính theo n.
c) Tìm
Cho dãy số thỏa mãn với mọi . Khi đó
Biết và .
Cho . Biết với , tối giản. Khi đó:
Giả sử là số hạng thứ của dãy số và .
a) Chứng tỏ rằng và với mọi .
Từ đó suy ra là dãy số Fibonacci.
b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số đầu tiên.
Tinh .