Đề bài

Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng 14 độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi hn là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (hn).

b) Tính giới hạn của dãy số (hn) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (hn).

c) Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính Sn, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Phương pháp giải

a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng 14 độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó, do vậy hn+1=14hn. Suy ra số hạng tổng quát của dãy là hn=1004n.

b) Ta có lim1004n=lim100.lim14n=100.0=0

Từ đó ta rút ra ý nghĩa giới hạn của dãy (hn).

c) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Theo đề bài, sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng 14 độ cao mà quả bóng đạt được lần trước đó. Sau lần chạm đất thứ n, độ cao của quả bóng là hn, thì lần chạm đất tiếp theo (thứ n+1), độ cao của quả bóng là 14hn.

Tức là hn+1=14hnhn+1hn=14. Như vậy (hn) là cấp số nhân với h1=1004=25 và công bội q=\(hn=1004n\)14.

Như vậy hn=h1.qn1=1004.(14)n1=1004n

Vậy số hạng tổng quát của dãy là .

b) Ta có lim1004n=lim100.lim14n=100.0=0

Từ giới hạn này, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

c) Từ lúc thả rơi đến lần chạm đất đầu tiên, qua bóng đi được 100 m.

Từ lúc chạm đất lần đầu tiên đến lúc chạm đất lần thứ hai, quả bóng nảy lên độ cao h1 rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là 2h1.

Từ lúc chạm đất lần thứ hai đến lúc chạm đất lần thứ ba, quả bóng nảy lên độ cao h2 rồi rơi xuống đất. Lúc này quả bóng đi được đoạn đường là 2h2.

Cứ như vậy, quãng đường quả bóng đi được là:

Sn=100+2(h1+h2+h3+...+hn)

Nếu quá trình bóng nảy cứ tiếp tục diễn ra mãi thì quãng đường quả bóng đi được là limSn=100+2(h1+h2+h3+...)

Ta thấy (hn) là cấp số nhân với công bội q=14<1, nên (hn) là cấp số nhân lùi vô hạn.

Như vậy limSn=100+2(h1+h2+h3+...)=100+2h11q=100+225114=5003

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển là 5003 m.

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1BC, từ A1 kẻ A1A2AC, sau đó lại kẻ A2A3BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3 Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số.

a) 1,(01)

b) 5,(132)

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Tính các giới hạn sau:

a) lim5n+12n;                  

b) lim6n2+8n+15n2+3;                           

c) limn2+5n+36n+2;

d) lim(213n);           

e) lim3n+2n4.3n;                               

g) lim2+1n3n.

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. 

a) Tính diện tích Sn  của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;

b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. 

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. 

a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un)

b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.

c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 106 g. 

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1  là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính AB2,, C2  là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB4,... 

Gọi pn  là độ dài của Cn, Sn  là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn  và đoạn thẳng AB. 

a) Tính pn, Sn

b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn). 

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Tính các giới hạn sau:

a) lim2n2+6n+18n2+5                            

b) lim4n23n+13n3+5n22;          

c) lim4n2n+38n5;

d) lim(42n+13n)                           

e) lim4.5n+2n+26.5n                         

g) lim2+4n36n.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Ý, người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất (Hình 18). Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 110 độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi Sn là tổng độ dài quãng đường di chuyển của quả bóng tính từ lúc thả ban đầu cho đến khi quả bóng đó chạm đất n lần. Tính limSn.

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, Gọi p1,p2,,pn,S1,S2,,Sn, theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác A1B1C1,A2B2C2,,AnBnCn,.

a) Tìm giới hạn của các dãy số (pn)(Sn).

b) Tìm các tổng p1+p2++pn+S1+S2++Sn+.

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5).

a) Kí hiệu an là diện tích của hình vuông thứ nSn là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính an,Sn(n=1,2,3,...) và tìm limSn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu pn là chu vi của hình vuông thứ nQn là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính pnQn(n=1,2,3,...) và tìm limQn (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông).

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông H0 cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông H0 thành chính hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H1 (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của H1 thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình H2 (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình Hn(n=1,2,3,...).

Ta có:   H1 có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 13;

            H25.5=52 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 13.13=132;…

Từ đó, nhận được hình Hn5n hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng 13n.

a) Tính diện tích Sn của Hn và tính limSn.

b) Tính chu vi pn của Hn và tính limpn.

(Quá trình trên tạo nên một hình, gọi là một fractal, được coi là có diện tích limSn và chu vi limpn).

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d:x+y=2 cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng dn:y=2n+1nx tại điểm Pn(nN). Kí hiệu Sn là diện tích của tam giác OAPn. Tính limSn.

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho a>b>0liman+1+bn2an+bn+1=1. Tìm giá trị của a.

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Cho dãy số (un) thỏa mãn limnun=12. Tìm lim(3n4)un.

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. lim12n=0                                            

B. lim(32)n=0

C. lim1(2)n=0                                               

D. lim(32)n=0

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Chứng minh rằng lim(1)nn2=0.

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho hai dãy số (un), (vn) với un=34n+1, vn=853n2+2. Tính:

a) limun, limvn

b) lim(un+vn), lim(unvn), lim(un.vn), limunvn

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Tính các giới hạn sau:

a) lim4n+23                                                                       

b) lim3n+45+2n

c) lim3+1n+15n                                                                             

d) lim(654n)

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Tính các giới hạn sau:

a) lim6n53n

b) lim2n26n+28n25n+4

c) limn35n+13n24n+2

d) lim4n+19n2n+2

e) lim4n2+n+18n+3

g) lim4n+5n3.4n4.5n

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Tính các giới hạn sau:

a) lim2n45                      

b) lim1+12n2n                

c) lim(2+74n)

d) lim4n232n2n+5               

e) lim9n2+2n+1n5     

g) lim3n+4.9n3.4n+9n

Xem lời giải >>
Bài 22 :

Cho un=1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bn với a, b là các số thực thỏa mãn |a|<1,|b|<1. Tìm limn+un

Xem lời giải >>
Bài 23 :

Cho dãy số (un) với u1=2,un+1=un+23n,n1. Đặt vn=un+1un.

a) Tính v1+v2+...+vn theo n.

b) Tính un theo n.

c) Tìm limn+un

Xem lời giải >>
Bài 24 :

Cho dãy số (un) thỏa mãn |un2|<1n3 với mọi nN. Khi đó

Xem lời giải >>
Bài 25 :

Biết lim2n2n+4an2+n+3=2lim3n+4n+14n+3=b.

Xem lời giải >>
Bài 26 :

Cho un=7n+22n1+3n+17n+1+5n1. Biết limun=ab với a,bZ, ab tối giản. Khi đó:

Xem lời giải >>
Bài 27 :

Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)un=(1+5)n(15)n2n5.

a) Chứng tỏ rằng u1=1,u2=1un+2=un+1+un với mọi nN.

Từ đó suy ra (un) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số un+1un đầu tiên.

Tinh limn+un+1un.

Xem lời giải >>