Cho hàm số \(y=x - \sqrt {{x^2} + 1} \).

Cho hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\). Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y’ và tìm các điểm tại đó \(y' = 0\).

b) Xét dấu y’ để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\) và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12\);
b) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2}\);

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\);

c) \(y = \frac{{2{x^2} + x - 2}}{{x - 1}}\).

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250km so với bề mặt của Mặt Trăng.

Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm độ cao h của con tàu so với bề mặt của mặt trăng được tính gần đúng bởi hàm.

 \(h\left( t \right) =  - 0,01{t^3} + 1,1{t^2} - 30t + 250\)

Trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng kilômét

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = h\left( t \right)\) với \(0{\rm{ }} \le t \le {\rm{ }}50\) (đơn vị trên trục hoành là 10 giây, đơn vị trên trục tung là 10 km).

b) Gọi v(t) là vận tốc tức thời của con tàu ở thời điểm t (giây) kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm với \(0{\rm{ }} \le t \le {\rm{ }}50\). Xác định hàm số v(t).

c) Vận tốc tức thời của con tàu lúc bắt đầu hãm phanh là bao nhiêu? Tại thời điểm t = 25 (giây) là bao nhiêu?

d)  Tại thời điểm t = 25 (giây), vận tốc của con tàu vẫn giảm hay tăng trở lại?

e) Tìm thời điểm t (\(0{\rm{ }} \le t \le {\rm{ }}50\)) Sao cho con tàu đạt khoảng cách nhỏ nhất so với bề mặt của Mặt Trăng. Khoảng cách nhỏ nhất này là bao nhiêu?

Xét phản ứng hoá học tạo ra chất C từ hai chất A và B:

\(A{\rm{ }} + {\rm{ }}B{\rm{ }} \to {\rm{ }}C\)

Giả sử nồng độ của hai chất A và B bằng nhau [A] = [B] = a (mol/l). Khi đó, nồng độ của chất C theo thời gian t (t > 0) được cho bởi công thức: \(\left[ C \right]\; = \;\frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}}\) (mol/l), trong đó K là hằng số dương.

a) Tìm tốc độ phản ứng ở thời điểm t > 0.

b) Chứng minh nếu \(x\; = \;\left[ C \right]\) thì

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t\; \to \; + \infty \)

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t\; \to \; + \infty \)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a,\(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

\(b,\;y =  - {x^3} + 3{x^2} - 6x\)

\(c,y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\)

\(d,y = \frac{x}{{2x + 3}}\)

\(e,y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\)

\(g,y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\;\)

Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức:

\(\overline C (x) = 2x - 230 + \frac{{7200}}{x}\)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(\overline C (x)\) trên [30; 120].

b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao cho chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.

Điện trở R (\(\Omega \)) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất \(\rho \)(\(\Omega \)m), chiều dài \(\ell \)(m) và tiết diện S (\({m^2}\)) được cho bởi công thức

\(R = \rho \frac{\ell }{S}\)

(Vật lí 11 – Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 104)

Giả sử người ta khảo sát sự biến thiên của điện trở R theo tiết diện S (ở nhiệt độ \(20^\circ C\)) của một sợi dây điện dài 10m làm từ kim loại có điện trở suất \(\rho \) và thu được đồ thị hàm số như Hình 6.

a) Có nhận xét gì về sự biến thiên của điện trở R theo tiết diện S?

b) Từ đồ thị, hãy giải thích ý nghĩa của toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng R = 0,001.

c) Tính điện trở suất \(\rho \) của dây điện. Từ đó, hãy cho biết dây điện được làm bằng kim loại nào trong số các kim loại được cho ở bảng sau:

Đường cong dưới đây là đồ thị hàm số nào?

Quan sát bảng biến thiên và cho biết bảng biến thiên đó là của hàm số nào.

Đồ thị dưới đây là của hàm số nào?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như trong hình dưới?

Cho hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình vẽ:

Xác định công thức của hàm số.

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) là hàm số xác định trên R∖{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Xác định công thức của hàm số.

Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 9x + 1\) là:

Hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) trên khoảng K. Hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số f’(x) trên khoảng K. Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là:

Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 7}}{{x + 2}}\) là:

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = x.{e^x}\).
a) \(y' = {e^x} + x.{e^x}\).
b) \(y' = 0\) khi \(x = - 1,x = 0\).
c) \(y' > 0\) khi \(x \in \left( { - 1; + \infty } \right)\) và \(y' < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).
d) Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số \(y = \frac{{3{\rm{x}} - 2}}{{1 - x}}\).
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).
b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 3\).
c) Điểm \(M\) nằm trên đồ thị hàm số có hoành độ \({x_0} \ne 1\) thì tung độ là \({y_0} = - 3 - \frac{1}{{{x_0} - 1}}\).
d) Tích khoảng cách từ điểm \(M\) bất kì nằm trên đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đó bằng 1.

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong như Hình 30.

a) Phương trình \(f\left( x \right) = 4\) có hai nghiệm \(x =  - 1,x = 2\).

b) Phương trình \(f\left( x \right) =  - 1\) có hai nghiệm.

c) Phương trình \(f\left( x \right) = 2\) có ba nghiệm.

d) Phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = 4\) có sáu nghiệm.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) và có bảng biến thiên như sau:

a) Tìm điểm cực đại, cực tiểu; giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số.

b) Viết phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang không? Vì sao?

d) Tìm công thức xác định hàm số, biết hàm số \(f\left( x \right)\) có dạng \(f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + b{\rm{x}} + c}}{{x + n}}\)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 6{{\rm{x}}^2} + 9x - 2\)   

b) \(y =  - {x^3} - x\)   

c) \(y = \frac{{2{\rm{x}} - 4}}{{{\rm{x}} + 1}}\)

d) \(y = \frac{{ - x + 3}}{{{\rm{x}} - 2}}\) 

e) \(y = \frac{{{x^2} - x + 2}}{{{\rm{x}} + 1}}\) 

g) \(y = \frac{{ - {x^2} + 4}}{{2{\rm{x}}}}\)