Kiểm tra điện lượng của một số viên pin tiểu do một hãng sản xuất thu được kết quả sau:
Hãy ước lượng số trung bình, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Sử dụng công thức tính trung bình cộng, mốt và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Ta có:
Tổng số viên pin là: \(n = 10 + 20 + 35 + 15 + 5 = 85\).
• Điện lượng trung bình của một số viên pin tiểu sau khi ghép nhóm là:
\(\bar x = \frac{{10.0,925 + 20.0,975 + 35.1,025 + 15.1,075 + 5.1,125}}{{85}} \approx 1,02\left( {mAh} \right)\)
• Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}\).
Do đó: \({u_m} = 1,0;{n_{m - 1}} = 20;{n_m} = 35;{n_{m + 1}} = 15;{u_{m + 1}} - {u_m} = 1,05 - 1,0 = 0,05\)
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:
\({M_O} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right) + \left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,0 + \frac{{35 - 20}}{{\left( {35 - 20} \right) + \left( {35 - 15} \right)}}.0,05 \approx 1,02\left( {mAh} \right)\)
Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{85}}\) là điện lượng của các viên pin được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có:
\(\begin{array}{l}{x_1},...,{x_{10}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,9;0,95} \right)}\end{array};{x_{11}},...,{x_{30}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,95;1,0} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{31}},...,{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array};\\{x_{66}},...,{x_{80}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,05;1,1} \right)}\end{array}}\end{array};{x_{81}},...,{x_{85}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,1;1,15} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}\end{array}\)
• Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là: \({x_{43}}\)
Ta có: \(n = 85;{n_m} = 35;C = 10 + 20 = 30;{u_m} = 1,0;{u_{m + 1}} = 1,05\)
Do \({x_{43}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}}\end{array}}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là:
\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 1,0 + \frac{{\frac{{85}}{2} - 30}}{{35}}.\left( {1,05 - 1,0} \right) \approx 1,02\)
• Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{21}} + {x_{22}}} \right)\).
Ta có: \(n = 85;{n_m} = 20;C = 10;{u_m} = 0,95;{u_{m + 1}} = 1,0\)
Do \({x_{21}},{x_{22}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {0,95;1,0} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là:
\({Q_1} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{4} - C}}{{{n_m}}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right) = 0,95 + \frac{{\frac{{85}}{4} - 10}}{{20}}.\left( {1,0 - 0,95} \right) \approx 0,98\)
• Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là: \(\frac{1}{2}\left( {{x_{64}} + {x_{65}}} \right)\).
Ta có: \(n = 85;{n_j} = 35;C = 10 + 20 = 30;{u_j} = 1,0;{u_{j + 1}} = 1,05\)
Do \({x_{64}},{x_{65}} \in \begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {1,0;1,05} \right)}\end{array}\) nên tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là:
\({Q_3} = {u_j} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - C}}{{{n_j}}}.\left( {{u_{j + 1}} - {u_j}} \right) = 1,0 + \frac{{\frac{{3.85}}{4} - 30}}{{35}}.\left( {1,05 - 1,0} \right) \approx 1,048\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:
a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là \(\left[ {0;5} \right)\). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?
c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:
a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa.
b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này.
Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:
a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.
b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.
Phỏng vấn một học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu ở bên
a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.
b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?
Anh Văn ghi lại cự li 30 lần ném lao của mình ở bảng sau (đơn vị: mét):
a) Tính cự li trung bình của mỗi lần ném.
b) Tổng hợp lại kết quả ném của anh Văn vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
c) Hãy ước lượng cự li trung bình mỗi lần ném từ bảng tần số ghép nhóm trên.
d) Khả năng anh Văn ném được khoảng bao nhiêu mét là cao nhất?
Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Kết quả đo chiều cao của 200 cây keo 3 năm tuổi ở một nông trường được biểu diễn ở biểu đồ dưới đây.
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Cân nặng của một số lợn con mới sinh thuộc hai giống A và B được cho ở biểu đồ dưới đây (đơn vị: kg).
a) Hãy so sánh cân nặng của lợn con mới sinh giống A và giống B theo số trung bình và trung vị.
b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của cân nặng lợn con mới sinh giống A và của cân nặng lợn con mới sinh giống B.
Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:
Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của chiếc điện thoại mới, chị An thống kê thời gian sử dụng điện thoại của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
a) Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị An sạc đầy pin điện thoại cho tới khi hết pin.
b) Chị An cho rằng có khoảng 25% số lần sạc điện thoại chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị An có hợp lí không?
Tổng lượng mưa trong tháng 8 đo được tại một trạm quan trắc đặt tại Vũng Tàu từ năm 2002 đến năm 2020 được ghi lại như dưới đây (đơn vị: mm):
(Nguồn: Tổng cục Thống kê)
a) Xác định số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu trên.
b) Hoàn thiện bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
c) Hãy ước lượng số trung bình, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
Bảng sau thống kê số ca nhiễm mới SARS-CoV-2 mỗi ngày trong tháng 12/2021 tại Việt Nam.
(Nguồn: worldometers.info)
a) Xác định số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu trên. Mẫu số liệu có bao nhiêu giá trị ngoại lệ?
b) Hoàn thiện bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
c) Hãy ước lượng số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm trên.
Cho bảng số liệu khảo sát về tuổi thọ (đơn vị: nghìn giờ) của một loại bóng đèn:
Có bao nhiêu bóng đèn được khảo sát và bao nhiêu bóng đèn có tuổi thọ từ 9 nghìn giờ trở lên?
Cho mẫu số liệu về chiều cao của các học sinh lớp 11B (đơn vị: cm)
Khoảng biến thiến của mẫu số liệu trên là
Cho mẫu số liệu về thống kê nhiệt độ tại một địa điểm trong 30 ngày, ta có bảng số liệu sau:
Bảng thống kê thời gian (phút) giải một bài toán của một lớp có 45 học sinh được ghi lại như sau:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là?
Nhóm số liệu ghép nhóm thường được cho dưới dạng:
Một thư viện thống kê số lượng sách được mượn mỗi ngày trong ba tháng ở bảng sau:
Số lượng khách hàng nữ mua bảo hiểm nhân thọ trong một ngày được thống kê trong bảng tần số ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm [30;40) là
Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả cam ở mỗi lô hàng A, B được cho ở bảng sau:
Nhóm số liệu rời rạc \({k_1} - {k_2}\) với \({k_1},{k_2} \in \mathbb{N},\,\,{k_1} < {k_2}\) là nhóm gồm các giá trị
A. \({k_1}\) và \({k_2}\)
B. \({k_1} + 1,\,...,\,{k_2}\)
C. \({k_1},...,{k_2} + 1\)
D. \({k_1},{k_1} + 1,\,...,\,{k_2}\).
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\) là
A. \({a_i}\)
B. \({a_{i + 1}}\)
C. \(\frac{{{a_{i + 1}} - {a_i}}}{2}\)
D. \(\frac{{{a_{i + 1}} + {a_i}}}{2}\).
Số nguyện vọng đăng kí vào đại học của các bạn trong lớp được thống kê trong bảng sau:
a) Trung bình một bạn trong lớp đăng kí bao nhiêu nguyện vọng.
b) Tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu
Nhân ngày hội đọc sách, các học sinh của một trường trung học phổ thông mang sách cũ đến tặng thư viện trường và trao đổi với các bạn học sinh khác. Bảng sau thống kê số sách cũ mà các bạn học sinh lớp 11B mang đến trường.
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bảng sau thống kê số lượt chở khách mỗi ngày của một lái xe taxi trong 30 ngày.
a) Hãy tính số trung bình và mốt của mẫu số liệu trên.
b) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên với nhóm đầu tiên là \(\left[ {4,5;7,5} \right)\).
c) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
Bảng sau thống kê cân nặng (đơn vị: kg) của một số con ngan đực 88 ngày tuổi ở một trang trại.
a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên với nhóm đầu tiên là \(\left[ {4,6;4,7} \right)\).
b) Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Bảng sau thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của một số cây giống sau khi nảy mầm được 2 tuần.
Hãy ước lượng số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Thống kê lại thu nhập trong một tháng của nhân viên hai công ty A và B (đơn vị: triệu đồng) được thể hiện trong biểu đồ dưới đây.
Hãy so sánh thu nhập trung bình của nhân viên hai công ty theo số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.
Thâm niên công tác của các công nhân hai nhà máy A và B.
a) Hãy so sánh thâm niên công tác của nhân viên hai nhà máy theo số trung bình và trung vị.
b) Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của hai mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Thầy giáo thống kê lại số lần kéo xà đơn của các học sinh nam khối 11 ở bảng sau:
a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Thầy giáo dự định chọn 25% học sinh có số lần kéo thấp nhất để bồi dưỡng thể lực thêm. Thầy giáo nên chọn học sinh có thành tích kéo xà đơn dưới bao nhiêu lần để bồi dưỡng thể lực?
