Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng .
Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ và đều khác . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: .
Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ , đều khác . Khi đó,
Giả sử cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ bằng 1. Khi đó,
Gọi E’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ của hình vuông A’B’C’D’. Khi đó, E’ là trung điểm của A’C’ và B’D’. Suy ra và .
Gọi E là trung điểm của CC’. Mà E’ là trung điểm của A’C’ nên EE’ là đường trung bình của tam giác A’C’C. Do đó, và
Áp dụng định lí Pythagore vào A’C’C vuông tại C’ có:
Áp dụng định lí Pythagore vào D’C’E vuông tại C’ có:
Vì nên E’D’E vuông tại E’. Do đó,
Ta có: (đpcm)
Các bài tập cùng chuyên đề
Như đã biết, nếu có một lực tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức , trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?
Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng và
Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.
Trong không gian, cho hai vectơ và có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là , hãy tính:
a) ;
b)
c) .
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng . Gọi là một vectơ pháp tuyến của và là một điểm thuộc .
a) Một điểm M(x; y; z) thuộc khi và chỉ hai vectơ và có mối quan hệ gì?
b) Một điểm M(x; y; z) thuộc khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính
a.
b,Các góc
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vecto và . Hãy biểu diễn các vecto theo ba vecto đơn vị và tính tích vô hướng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho và . Góc giữa hai vecto và bằng:
A.
B.
C.
D.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và CC’. Tính góc giữa hai vecto và
Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là (Hình 26).
a) Tính độ lớn của trọng lực tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn 9,8
b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực có độ dịch chuyển được tính bởi công thức . Hãy tính công sinh bởi trọng lực khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.
a) Tính các tích vô hướng: ,
b) Tính góc (kết quả làm tròn đến phút)
Trong không gian, cho và thoả mãn , . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho , (Hình 24). Giả sử
a) Tính góc
b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ và trong mặt phẳng.
b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ và trong không gian?
Cho A(2; –1; 1), B(–1; 3; –1), C(5; –3; 4). Tích vô hướng có giá trị là
A. 48.
B. –48.
C. 52.
D. –52.
Cho hai vectơ và tạo với nhau góc . Biết rằng và . Tính
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a. Tích vô hướng bằng:
Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto là?
Cho hai vecto , . Tích bằng:
Cho hai vecto , . Tích bằng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho hai vecto , . Tích bằng:
Cho hình hộp có tất cả các cạnh bằng và cho biết . Tính các tích vô hướng sau:
a) ;
b) ;
c) .
Cho hình lập phương có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:
a)
b)
c)
Trong không gian, cho hai vectơ khác . Từ một điểm tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ sao cho , . (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ và (Hình 2.21).
a) Trong mặt phẳng , hãy viết biểu thức tính .
b) Hãy so sánh với .
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:
a)
b)
c)
Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài bằng 3cm (hình 12).
a, Tính góc giữa hai vecto
b, Tính . Cos()
Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng và tam giác vuông cân tại , biết . Gọi là trung điểm của cạnh . Tích vô hướng bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là a. Khi đó, bằng