1. Thả một vật dụng không thấm nước hình chóp tứ giác đều như hình bên vào một chiếc bình đang chứa 780 ml nước. Hỏi nước có tràn ra khỏi bình không, biết rằng vật chìm hẳn xuống nước và dung tích của bình là \(1000ml\).
2. Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 2cm,AC = 4cm\). Qua B dựng đường thẳng cắt AC tại D sao cho \(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\).
a) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$
b) Tính AD và DC.
c) Gọi AH là đường cao của \(\Delta ABC\), AE là đường cao của \(\Delta ABD\). Chứng minh rằng diện tích \(\Delta ABH\) gấp 4 lần diện tích \(\Delta ADE\).
1. Để xác định xem nước có tràn ra khỏi bình hay không, ta cần tính dung tích của vật dụng hình chóp tứ giác đều.
2. a) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ theo trường hợp góc – góc.
b) Từ $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau suy ra \(A{B^2} = AC.AD\), từ đó ta tính AD và DC.
c) Chứng minh $\Delta ADE\backsim \Delta ABH$ theo trường hợp góc – góc suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng để chứng minh.
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác vuông chứng minh.
1. Thể tích của vật dụng hình chóp tứ giác đều là:
\(V = \frac{1}{3}{.12.8^2} = 256\left( {c{m^3}} \right)\)
Mà \(256c{m^3} = 256ml\)
Sau khi thả vật dụng đó vào chiếc bình thì lượng nước dâng lên thành \(780 + 256 = 1036\left( {ml} \right) > 1000ml\).
Vậy khi thả vật vào bình thì nước sẽ bị tràn.
2.
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\widehat {ABD} = \widehat {ACB}\) (gt)
\(\widehat {BAC}\) chung
Suy ra $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ (g.g). (đpcm)
b) Vì $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ (cmt) suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}}\) nên \(A{B^2} = AC.AD\).
Suy ra \({2^2} = 4.AD\) hay \(AD = 1\left( {cm} \right)\).
Suy ra \(CD = AC - AD = 4 - 1 = 3\left( {cm} \right)\)
c) Do $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\).
Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta AHB\) có:
\(\widehat E = \widehat H = {90^0}\)
\(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)(cmt)
Suy ra $\Delta ADE\backsim \Delta ABH\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{DE}}{{BH}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).
Do đó \(BH = 2DE;AH = 2AE\).
Từ đó suy ra \({S_{\Delta ABH}} = \frac{1}{2}BH.AH = \frac{1}{2}\left( {2DE} \right)\left( {2AE} \right) = 4.\frac{1}{2}DE.AE = 4{S_{\Delta ADE}}\) (đpcm).
