Cho lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\). Có đáy là hình vuông và cạnh bên bằng \(2a\). Hình chiếu của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AD\), đường thẳng \(A'C\) hợp với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)một góc \({45^o}\).

a) \(A'H \bot (ABCD) \Rightarrow A'H \bot AC\)

b) A’H không vuông góc (BB’C’C)

c)d) Ta có: \(A'H \bot (ABCD)\)

\( \Rightarrow HC\)là hình chiếu của \(A'C\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow (\widehat {A'C,(ABCD)}) = (\widehat {A'C,HC}) = \widehat {HCA'} = {45^o}\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác HDC vuông tại D ta có:

\(HC = \sqrt {H{D^2} + D{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow A'H = HC.\tan {45^o} = a\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = a\sqrt 5 .{\left( {2a} \right)^2} = 4{a^3}\sqrt 5 \).