Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Tìm điểm \(M\) trên đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \(\frac{{18}}{5}.\)
Gọi tọa độ điểm M thuộc \(\left( C \right)\). Lập phương trình tính diện tích tam giác
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Gọi \(M\left( {a;\frac{{a - 2}}{{a + 3}}} \right) \in \left( C \right)\).
\(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\): \(y = \frac{5}{{{{\left( {a + 3} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + \frac{{a - 2}}{{a + 3}}{\rm{ }}\left( \Delta \right)\)
\(A = Ox \cap \Delta \Rightarrow A\left( {\frac{{ - {a^2} + 4a + 6}}{5};0} \right)\)
\(B = Oy \cap \Delta \Rightarrow B\left( {0;\frac{{{a^2} - 4a - 6}}{{{{\left( {a + 3} \right)}^2}}}} \right)\)
\(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left| {\frac{{ - {a^2} + 4a + 6}}{5}} \right|.\left| {\frac{{{a^2} - 4a - 6}}{{{{\left( {a + 3} \right)}^2}}}} \right| = \frac{{18}}{5}\\ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} - 4a - 6} \right)^2} = 36{\left( {a + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} - 10a - 24 = 0\\{a^2} + 2a + 12 = 0:vn\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 12\\a = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(M\left( {12;\frac{2}{3}} \right)\) hoặc \(M\left( { - 2; - 4} \right).\)
