Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là  \(s = s(t) =  - {t^3} + 9{t^2} + t + 10\) (t được tính bằng giây, s được tính bẳng mét)

a) Đạo hàm của hàm số \(s(t)\)tại thời điểm \({t_0}\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}f'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{f(t) - f({t_0})}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{{t^2} + 4t + 6 - ({t_0}^2 + 4{t_0} + 6)}}{{t - {t_0}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{(t - {t_0})(t + {t_0} + 4)}}{{t - {t_0}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {t + {t_0} + 4} \right) = 2{t_0} + 4\end{array}\)

b) Phương trình vận tốc của chất điểm là: \(v(t) = s' = s'(t) = \left( { - {t^3} + 9{t^2} + t + 10} \right)' = - 3{t^2} + 18t + 1\)

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 (s) là: \(v(5) =  - {3.5^2} + 18.5 + 1 = 16\)

c) Phương trình gia tốc của chất điểm: \(a(t) = v'(t) = \left( { - 3{t^2} + 18t + 1} \right)' = - 6t + 18\)

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 (s) là: \(a(5) =  - 6.5 + 18 =  - 12(m/{s^2})\)

d) Phương trình vận tốc của chất điểm là: \(v(t) = s' = s'(t) = \left( { - {t^3} + 9{t^2} + t + 10} \right)' = - 3{t^2} + 18t + 1\)

Ta có: \(v(t) =  - 3{t^2} + 18t + 1 =  - 3{(t - 3)^2} + 24 \le 24\)

Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 24 khi \(t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3\)(s)