Cho phương trình \(\left( {{4^x} - {{10.2}^x} + 16} \right)\sqrt {{{\log }_3}{x^5} - m} = 0\) (m là tham số). Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt.
+ Nếu \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
+ Với \(a > 0,a \ne 1\) ta có: \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\).
Điều kiện: \({\log _3}{x^5} \ge m > 0,x > 0\)
\(\left( {{4^x} - {{10.2}^x} + 16} \right)\sqrt {{{\log }_3}{x^5} - m} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^x} - {10.2^x} + 16 = 0\;\left( 1 \right)\\{\log _3}{x^5} - m = 0\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Giải phương trình (1): \({\left( {{2^x}} \right)^2} - {10.2^x} + 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 2} \right)\left( {{2^x} - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 2 = 0\\{2^x} - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vì \(m \in \mathbb{N}*\) nên phương trình (2) luôn có nghiệm \(x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\). Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì:
+ Trường hợp 1: \(x = \sqrt[5]{{{3^m}}} = 1 \Rightarrow m = 0\) (loại)
+ Trường hợp 2: \(x = \sqrt[5]{{{3^m}}} = 2 \Rightarrow {3^{\frac{m}{5}}} = 2 \Rightarrow m = 5{\log _3}2\) (loại)
+ Trường hợp 3: Phương trình đã cho chỉ nhận nghiệm \(x = 3\) của phương trình (1) làm nghiệm, một nghiệm từ (2):
Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}m = 5{\log _3}x,x < 3\\5{\log _3}1 < m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 5\\x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\\x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\end{array} \right.\)
Suy ra, với \(m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\), \(x = 3\).
Vậy \(m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\) phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
Các bài tập cùng chuyên đề
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Chọn đáp án đúng.
Cho số thực a và số nguyên dương n \(\left( {n \ge 2} \right)\). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu:
Chọn đáp án đúng:
Rút gọn biểu thức \(\left( {{9^{3 + \sqrt 3 }} - {9^{\sqrt 3 - 1}}} \right){.3^{ - 2\sqrt 3 }}\) được kết quả là:
Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^8}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)
Chọn đáp án đúng.
Chọn đáp án đúng.
Cho a, b là các số thực dương. Giá trị của \(\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a}\) bằng:
Chọn đáp án đúng.
Cho \(a > 0,a \ne 1,b > 0\). Với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\) ta có:
Cho \({\log _a}b = 4\). Giá trị của \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right)\) bằng:
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \({a^3}{b^2} = 1000\). Giá trị của biểu thức \(P = 3\log a + 2\log b\) là:
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Đồ thị hàm số \(y = {6^{2x}}\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
Chọn đáp án đúng.
Hàm số \(y = \log x\) có cơ số là:
Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x,y = {\log _c}x\) thể hiện ở hình vẽ dưới đây.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }} + \ln \left( {x - 1} \right)\) là:
Bất phương trình \({6^x} \ge b\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^3}\) là:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \ge 2\) là:
Cho phương trình \({4^x} + {2^{x + 2}} - 5 = 0\). Đặt \(t = {2^x}\) ta được phương trình là:
