Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AD = 2a,AB = BC = a\). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SBC là tam giác vuông.
b) \(CD \bot SC\).
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên \(AB \bot BC\).
Ta có: \(SA \bot BC\), \(AB \bot BC\), SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Lại có, \(SB \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow BC \bot SB\). Suy ra, tam giác SBC vuông tại B.
b) Gọi I là trung điểm của AD. Do đó, \(AI = ID = \frac{1}{2}AD = a\)
Tứ giác ABCI có: AI//BC (do tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A, B), \(AI = BC\left( { = a} \right)\) nên tứ giác ABCI là hình bình hành. Lại có: \(BC = AB\) nên tứ giác ABCI là hình thoi. Mà \(\widehat {BAI} = {90^0}\) nên ABCI là hình vuông. Do đó, \(\widehat {AIC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {CID} = {90^0}\)
Tam giác CID có: \(\widehat {CID} = {90^0},CI = ID\left( { = a} \right)\) nên tam giác CID vuông cân tại I.
Suy ra: \(\widehat {DCI} = {45^0}\).
Lại có: CA là phân giác góc ICB (do ABCI là hình vuông) nên \(\widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {ICB} = \frac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)
Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {ACI} + \widehat {ICD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD\)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC\)
Ta có: \(AC \bot CD\), \(SA \bot DC\), SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên \(DC \bot \left( {SAC} \right)\). Mà \(SC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot SC\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Chọn đáp án đúng.
Cho số thực a và số nguyên dương n \(\left( {n \ge 2} \right)\). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu:
Chọn đáp án đúng:
Rút gọn biểu thức \(\left( {{9^{3 + \sqrt 3 }} - {9^{\sqrt 3 - 1}}} \right){.3^{ - 2\sqrt 3 }}\) được kết quả là:
Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3}{b^2}}}} \right)}^8}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}}{b^6}} }}}}\)
Chọn đáp án đúng.
Chọn đáp án đúng.
Cho a, b là các số thực dương. Giá trị của \(\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a}\) bằng:
Chọn đáp án đúng.
Cho \(a > 0,a \ne 1,b > 0\). Với mọi số nguyên dương \(n \ge 2\) ta có:
Cho \({\log _a}b = 4\). Giá trị của \({\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right)\) bằng:
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \({a^3}{b^2} = 1000\). Giá trị của biểu thức \(P = 3\log a + 2\log b\) là:
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Đồ thị hàm số \(y = {6^{2x}}\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
Chọn đáp án đúng.
Hàm số \(y = \log x\) có cơ số là:
Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số \(y = {\log _a}x,y = {\log _b}x,y = {\log _c}x\) thể hiện ở hình vẽ dưới đây.
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {3 - x} }} + \ln \left( {x - 1} \right)\) là:
Bất phương trình \({6^x} \ge b\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^x} > {\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^3}\) là:
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \ge 2\) là:
Cho phương trình \({4^x} + {2^{x + 2}} - 5 = 0\). Đặt \(t = {2^x}\) ta được phương trình là:
