Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh: \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}\).
Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\).
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.
Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = bk}\\{c = dk}\end{array}} \right.\)
Do đó ta có:
\(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{bkdk}}{{bd}} = {k^2}(1)\)
Ta cũng có:
\(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{{(bk)}^2} + {{(dk)}^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{b^2}{k^2} + {d^2}{k^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{k^2}\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}{{{b^2} + {d^2}}} = {k^2}(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \left( {{k^2}} \right)\) (đpcm)
Các bài tập cùng chuyên đề
Thay tỉ số 1,2 : 1,35 bằng tỉ số giữa các số nguyên ta được:
Biết \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\) và \(x + y = - 15\). Khi đó giá trị của x, y là
Biết đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x với các cặp giá trị tương ứng trong bảng sau:
Giá trị cần điền vào “?” là
Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a và khi \(x = - 2\) thì \(y = 4\). Khi đó, hệ số a bằng bao nhiêu?
Bộ ba độ dài đoạn thẳng nào sau đây tạo thành một tam giác?
Biểu thức đại số biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp là:
Trong các biểu thức sau, em hãy chỉ ra biểu thức số.
Cho ABCD là hình chữ nhật như hình vẽ, điểm E nằm trên cạnh CD. Khẳng định nào sau đây là sai?
Điền vào chỗ trống sau: “Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại … của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó”.
Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2. Khi x = –3 thì giá trị của y bằng bao nhiêu?
Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = –12 thì y = 8. Khi x = 3 thì y bằng
Giá trị của biểu thức \(A = 2{x^2} - 3x + 1\) tại \(x = - 1\) là
Tìm số hữu tỉ x trong các tỉ lệ thức sau:
a) \(\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}\)
b) \(\frac{{ - 4}}{x} = \frac{x}{{ - 49}}\)
a) Cho \(\frac{a}{b} = \frac{6}{5}\). Tìm a, b biết: a – b = 3
b) Cho \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\). Tìm x, y, z biết \(x - y + z = 32\)
Ba đơn vị cùng vận chuyển 700 tấn hàng. Đơn vị A có 10 xe trọng tải mỗi xe là 5 tấn; đơn vị B có 20 xe trọng tải mỗi xe là 4 tấn; đơn vị C có 14 xe trọng tải mỗi xe là 5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị vận chuyển được bao nhiêu tấn hàng, biết mỗi xe đều chở một số chuyến như nhau?
Cho góc xOy khác góc bẹt có Ot là tia phân giác. Qua điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường vuông góc với Ot và cắt Ox và Oy theo thứ tự A và B.
a) Chứng minh OA = OB.
b) Lấy điểm C nằm giữa O và H. Chứng minh \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB}\).
c) AC cắt Oy ở D. Trên tia Ox lấy điểm E sao cho OE = OD. Chứng minh ba điểm B, C, E thẳng hàng.
