Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
a) Tứ giác AHBK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh $\Delta HAE\backsim \Delta HBF$.
c) Chứng minh \(CE.CA = CF.CB\).
d) \(\Delta ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.
a) Chứng minh AHBK có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
b) Chứng minh $\Delta HAE\backsim \Delta HBF$ theo trường hợp góc – góc.
c) Chứng minh $\Delta AFC\backsim \Delta BEC$ (g.g) để chứng minh \(CE.CA = CF.CB\).
d) Gọi D là giao điểm KH và AB
Để tứ giác AHBK là hình thoi thì KH vuông góc AB
Ta có: H là trực tâm \( \Rightarrow \) CH vuông góc AB
\( \Rightarrow \) C, H, D thẳng hàng \( \Rightarrow \) CD là đường cao và D là trung điểm của AB \( \Rightarrow \) CD cũng là đường trung tuyến
\( \Rightarrow \) Tam giác ABC cân tại C
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AK \bot AC\\BE \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow AK//BE\)
\(\left. \begin{array}{l}BK \bot BC\\AF \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BK//AF\)
Xét tứ giác AHBK có:
\(\begin{array}{l}AK//BH\left( {H \in BE} \right)\\AB//AH\left( {H \in AF} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) AHBK là hình bình hành.
b) Xét \(\Delta HAE\) và \(\Delta HBF\) có:
\(\widehat E = \widehat F\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat {AHE} = \widehat {BHF}\) (hai góc đối đỉnh)
$\Rightarrow \Delta HAE\backsim \Delta HBF$ (g.g) (đpcm)
c) Xét \(\Delta AFC\) và \(\Delta BEC\) có:
\(\widehat F = \widehat E\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat C\) chung
$\Rightarrow \Delta AFC\backsim \Delta BEC\left( g.g \right)$
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CF}}{{CE}} \Rightarrow AC.CE = CF.CB\) (đpcm)
d) Gọi D là giao điểm của AB và HK \( \Rightarrow \) D là trung điểm của AB và HK.
Để AHBK là hình thoi thì \(AB \bot HK\).
Mà H trực tâm của tam giác ABC nên \(CH \bot AB\).
\( \Rightarrow \) C, H, K thẳng hàng hay C, H, D thẳng hàng.
Khi đó CD là đường cao của tam giác ABC.
Mà D là trung điểm của AB nên CD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC
\( \Rightarrow \) Tam giác ABC cân tại C.
Vậy để AHBK là hình thoi thì tam giác ABC cân tại C.
Các bài tập cùng chuyên đề
1. Một vườn cây có \({x^2} + 2x - {y^2} - 2y\) cây, trong đó có \({x^2} - {y^2}\) cây lấy gỗ còn lại là cây ăn quả.
a) Viết phân thức biểu thị tỉ số cây lấy gỗ và số cây ăn quả.
b) Tính giá trị của phân thức đó tại \(x = 100;y = 10\).
2. Thực hiện phép tính:
a) \(\frac{{1 - 3x}}{{2x}} + \frac{{3x - 2}}{{2x - 1}} + \frac{{3x - 2}}{{2x - 4{x^2}}}\)
b) \(\frac{{{x^2} + x}}{{5{x^2} - 10x + 5}}:\frac{{3x + 3}}{{5x - 5}}\)
Cho các biểu thức \(P = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{{2x + 10}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\); \(Q = \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 25}}\) với \(x \ne \pm 5\).
a) Tính giá trị Q với \(x = 6\).
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Đặt \(A = \frac{Q}{P}\). Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Cho hình vẽ bên. Tính chiều dài của cánh buồm?
(Làm tròn đến hàng phần trăm).
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\) và \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) thì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\).
Cho \(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{x - y}} = \frac{P}{{{x^2} - {y^2}}}\). Đa thức P là:
Thương của hai phân thức \(\frac{{2x}}{{x - 3}}\) và \(\frac{{4{x^2}}}{{3 - x}}\) là:
Cho ABC có AB = 24cm, AC = 30cm, BC = 36cm . Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = 20cm . Trên cạnh AC lấy F sao cho AF = 16cm. Độ dài cạnh EF là
Ông An có một khu vườn, trong đó có miếng đất dạng hình tam giác vuông ABC như hình vẽ bên. Biết M là trung điểm của BC; AC = 40m; AM = 25m. Ông muốn trang trí lại khu vườn của mình nên cần biết khoảng cách từ A đến B. Em hãy giúp ông tính khoảng cách từ A đến B.
Cho $\Delta ABC\backsim \Delta HIK$, biết \(\widehat A = {80^0},\widehat B = {25^0}\). Khi đó số đo \(\widehat K\) bằng
