Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.
a) Tứ giác AHBK là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ΔHAE∽ΔHBF.
c) Chứng minh CE.CA=CF.CB.
d) ΔABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.
a) Chứng minh AHBK có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
b) Chứng minh ΔHAE∽ΔHBF theo trường hợp góc – góc.
c) Chứng minh ΔAFC∽ΔBEC (g.g) để chứng minh CE.CA=CF.CB.
d) Gọi D là giao điểm KH và AB
Để tứ giác AHBK là hình thoi thì KH vuông góc AB
Ta có: H là trực tâm ⇒ CH vuông góc AB
⇒ C, H, D thẳng hàng ⇒ CD là đường cao và D là trung điểm của AB ⇒ CD cũng là đường trung tuyến
⇒ Tam giác ABC cân tại C
a) Ta có:
AK⊥ACBE⊥AC}⇒AK//BE
BK⊥BCAF⊥BC}⇒BK//AF
Xét tứ giác AHBK có:
AK//BH(H∈BE)AB//AH(H∈AF)
⇒ AHBK là hình bình hành.
b) Xét ΔHAE và ΔHBF có:
ˆE=ˆF(=900)
^AHE=^BHF (hai góc đối đỉnh)
⇒ΔHAE∽ΔHBF (g.g) (đpcm)
c) Xét ΔAFC và ΔBEC có:
ˆF=ˆE(=900)
ˆC chung
⇒ΔAFC∽ΔBEC(g.g)
⇒ACBC=CFCE⇒AC.CE=CF.CB (đpcm)
d) Gọi D là giao điểm của AB và HK ⇒ D là trung điểm của AB và HK.
Để AHBK là hình thoi thì AB⊥HK.
Mà H trực tâm của tam giác ABC nên CH⊥AB.
⇒ C, H, K thẳng hàng hay C, H, D thẳng hàng.
Khi đó CD là đường cao của tam giác ABC.
Mà D là trung điểm của AB nên CD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC
⇒ Tam giác ABC cân tại C.
Vậy để AHBK là hình thoi thì tam giác ABC cân tại C.
Các bài tập cùng chuyên đề
Phân thức 2x−3 không có nghĩa khi:
Cho (x+y)2x−y=Px2−y2. Đa thức P là:
Rút gọn phân thức x3−2x22x2−4x ta được
Thương của hai phân thức 2xx−3 và 4x23−x là:
Cho hình vẽ sau, giá trị của x là:
Cho ABC có AB = 24cm, AC = 30cm, BC = 36cm . Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = 20cm . Trên cạnh AC lấy F sao cho AF = 16cm. Độ dài cạnh EF là
Ông An có một khu vườn, trong đó có miếng đất dạng hình tam giác vuông ABC như hình vẽ bên. Biết M là trung điểm của BC; AC = 40m; AM = 25m. Ông muốn trang trí lại khu vườn của mình nên cần biết khoảng cách từ A đến B. Em hãy giúp ông tính khoảng cách từ A đến B.
Cho ΔABC∽ΔHIK, biết ˆA=800,ˆB=250. Khi đó số đo ˆK bằng
1. Một vườn cây có x2+2x−y2−2y cây, trong đó có x2−y2 cây lấy gỗ còn lại là cây ăn quả.
a) Viết phân thức biểu thị tỉ số cây lấy gỗ và số cây ăn quả.
b) Tính giá trị của phân thức đó tại x=100;y=10.
2. Thực hiện phép tính:
a) 1−3x2x+3x−22x−1+3x−22x−4x2
b) x2+x5x2−10x+5:3x+35x−5
Cho các biểu thức P=1x+5+2x−5−2x+10(x+5)(x−5); Q=x−4x2−25 với x≠±5.
a) Tính giá trị Q với x=6.
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Đặt A=QP. Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Cho hình vẽ bên. Tính chiều dài của cánh buồm?
(Làm tròn đến hàng phần trăm).
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu ax+by+cz=0 và xa+yb+zc=1 thì x2a2+y2b2+z2c2=1.
