Đề bài

Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau đôi một thì:

\(\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}\).

Phương pháp giải

Áp dụng đẳng thức \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{{b - a}}{{ab}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét phân thức \(\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{{a - c - a + b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{{a - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{a - b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{1}{{a - b}} - \frac{1}{{a - c}}\).

Tương tự ta có: \(\frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{{b - a}}\)

                        \(\frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = \frac{1}{{c - a}} - \frac{1}{{c - b}}\)

\( \Rightarrow \frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{1}{{a - b}} - \frac{1}{{a - c}} + \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{{b - a}} + \frac{1}{{c - a}} - \frac{1}{{c - b}}\)

\( = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}}\)

\( = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}\) (đpcm).