Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ IN vuông góc với BC tại N (N thuộc BC).
a) Chứng minh $\Delta ACB\backsim \Delta NIB$. Từ đó suy ra \(BA.BI = BC.BN\).
b) Giả sử AC = 6cm, BC = 10cm. Tính BN.
c) Chứng minh \(\widehat {IAN} = \widehat {ICN}\).
d) Chứng minh \(A{C^2} = N{C^2} - N{B^2}\).
a) Chứng minh $\Delta ACB\backsim \Delta NIB$ (g.g) suy ra tỉ số bằng nhau của các cặp cạnh tương ứng.
b) Dựa vào định lí Pythagore để tính AB. Sử dụng tỉ số bằng nhau của phần a để tính BN.
c) Chứng minh $\Delta ABN\backsim \Delta CBI$ (c.g.c) để chứng minh \(\widehat {IAN} = \widehat {ICN}\).
d) Kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh \(A{C^2} = CH.CB\).
Chứng minh BN = NH.
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để chứng minh \(A{C^2} = CH.CB = N{C^2} - N{B^2}\).
Chú ý: Độ dài các cạnh chỉ sử dụng cho ý b nên không được tính độ dài cạnh để chứng minh.
a) Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta NIB\) có:
\(\widehat B\) chung
\(\widehat A = \widehat N\left( { = {{90}^0}} \right)\)
$\Rightarrow \Delta ACB\backsim \Delta NIB\left( g.g \right)$ (đpcm)
\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BI}}\)
\( \Rightarrow BA.BI = BC.BN\) (đpcm)
b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64\\ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)\end{array}\)
I là trung điểm của AB nên AI = IB = \(\frac{1}{2}\)AB = 4cm
Ta có: \(BA.BI = BC.BN\)
\(\begin{array}{l}8.4 = 10.BN\\ \Rightarrow BN = \frac{{8.4}}{{10}} = 3,2\left( {cm} \right)\end{array}\)
c) Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta CBI\) có:
\(\frac{{BA}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BI}}\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat B\) chung
$\Rightarrow \Delta ABN\backsim \Delta CBI\left( c.g.c \right)$
\( \Rightarrow \widehat {IAN} = \widehat {ICN}\) (đpcm)
d) Kẻ \(AH \bot BC\) tại H.
Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BAC\) có:
\(\widehat A = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat C\) chung
$\Rightarrow \Delta AHC\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = CH.BC\).
Vì \(IN \bot BC;AH \bot BC \Rightarrow IN//AH\)
Xét tam giác ABH có IN // AH, I là trung điểm của AB nên IN là đường trung bình của tam giác ABH.
\( \Rightarrow \) N là trung điểm của BH \( \Rightarrow BN = NH\).
Ta có: \(CH.CB\)\( = \left( {CN - NH} \right)\left( {CN + BN} \right)\)\( = \left( {CN - BN} \right)\left( {CN + BN} \right)\)\( = C{N^2} - B{N^2}\)
\( \Rightarrow A{C^2} = C{N^2} - B{N^2}\) (đpcm)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{2}{{x + 2}}\)
a) Tìm điều kiện xác định của M.
b) Rút gọn M.
c) Tìm x để \(M = 1\).
Tùng đạp xe từ nhà tới câu lạc bộ bóng đá dài 5km với tốc độ x (km/h). Lượt về thuận chiều gió nên vận tốc nhanh hơn lượt đi 3km/h.
a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gian cả hai lượt đi và về. (kí hiệu là T)
b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời gian lượt đi đối với lượt về. (kí hiệu là t)
c) Tính T và t với x = 12.
Một cột đèn cao 10m chiếu sáng một cây xanh như hình dưới. Cây cách cột đèn 2m và có bóng trải dài dưới mặt đất là 4,8m. Tìm chiều cao của cây xanh đó (làm tròn đến mét)
Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau đôi một thì:
\(\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}\).
Kết quả phép tính \(\left( {\frac{{ - 20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { - \frac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right)\) là
Cho tam giác ABC vuông tại A, tính cạnh BC nếu biết \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4}\) và \(AB + AC = 14cm\)
Bóng của một cột điện trên mặt đất dài 6m. Cùng lúc đó, một cột đèn giao thông cao 3m có bóng dài 2m. Tính chiều cao của cột điện.
