Biết rằng \(\cos 2A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0\) với A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\widehat B + \widehat C = {120^0}\)
Sử dụng công thức: \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 2{\cos ^2}x - 1\)
\(\cos 2A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}A - 1 + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2 - 4{{\sin }^2}B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0\)
\( \Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} + 4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \le \frac{3}{4}\left( * \right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \({\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \ge \frac{3}{4}\left( 1 \right)\)
Mặt khác: \(4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 = {\left( {2\sin B - 1} \right)^2} \ge 0\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức (*) thỏa mãn khi và chỉ khi:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}A = \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}}\\\sin B = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{1}{2}\\\sin B = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = {60^0}\\\widehat B = {30^0}\\\widehat C = {90^0}\end{array} \right.\)
Do đó, \(\widehat B + \widehat C = {120^0}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn đáp án đúng
Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo \(\alpha \) rad thì có độ dài là:
Nghiệm của phương trình \(\cos x = 1\) là:
Hàm số \(y = \tan x\) đồng biến trên:
Chọn đáp án đúng:
Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Dãy số nào dưới đây được viết dưới dạng hệ thức truy hồi?
Biết \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a < 0\). Chọn đáp án đúng
Cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội q, số hạng đầu \({u_1}\) thì có tổng là:
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\) bằng:
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{3}} \left( {3x + 2} \right)\) là:
Chọn đáp án đúng.
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD được gọi là hình gì?
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng đã cho?
Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Hình hộp này có bao nhiêu đường chéo?
Chọn đáp án đúng.
Chọn đáp án đúng:
Giá trị của biểu thức \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi - \alpha } \right)\) bằng:
Cho tam giác ABC. Chọn đáp án đúng:
