Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I, H lần lượt là trung điểm cạnh AB, CD. Tính thể tích V của khối chóp S.IBCH.
-
A.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
-
B.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).
-
C.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).
-
D.
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).
Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và diện tích tam giác đều để tính.
Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên diện tích ABCD bằng: \({S_{ABCD}} = {a^2}\)
Xét tam giác vuông ABC có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Xét tam giác vuông SOA có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{(\frac{{a\sqrt 2 }}{2})}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\({V_{SABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
\(\frac{{{V_{SIBCH}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.{S_{IBCH}}.h}}{{\frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.h}} = \frac{{{S_{IBCH}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{IB.BC}}{{AB.BC}} = \frac{{BI}}{{AB}} = \frac{1}{2} = > {V_{SIBCH}} = \frac{1}{2}{V_{SABCD}} = \frac{1}{2}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Đáp án : A
