Cho \(a,b,m\) và \(n\) thỏa mãn các đẳng thức: \(a + b = m\) và \(a - b = n\). Giá trị của biểu thức \(A = {a^3} + {b^3}\) theo m và n.
-
A.
\(A = \frac{{{m^3}}}{4}\).
-
B.
\(A = \frac{1}{4}m(5{n^2} + {m^2})\).
-
C.
\(A = \frac{1}{4}m(3{n^2} + {m^2})\).
-
D.
\(A = \frac{1}{4}m(3{n^2} - {m^2})\).
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = m\\a - b = n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{m + n}}{2}\\b = \frac{{m - n}}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow ab = \frac{{(m + n)(m - n)}}{{2.2}} = \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}\end{array}\)
Biến đổi biểu thức A, ta được:
\(\begin{array}{l}A = {a^3} + {b^3}\\ = (a + b)({a^2} - ab + {b^2})\\ = (a + b)\left[ {({a^2} - 2ab + {b^2}) + ab} \right]\\ = (a + b)\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + ab} \right]\end{array}\)
Thay \(a + b = m;a - b = n,ab = \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}\) vào A, ta có:
\(\begin{array}{l}A = m\left( {{n^2} + \frac{{{m^2} - {n^2}}}{4}} \right)\\ = \frac{{4m{n^2}}}{4} + \frac{{{m^3}}}{4} - \frac{{m{n^2}}}{4}\\ = \frac{{3m{n^2}}}{4} + \frac{{{m^3}}}{4}\\ = \frac{1}{4}m\left( {3{n^2} + {m^2}} \right)\end{array}\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn câu sai?
Viết biểu thức \((x - 3y)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương
Điền vào chỗ trống \({x^3} + 512 = (x + 8)\left( {{x^2} - \left[ {} \right] + 64} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(A = {x^3} + 12 - (x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\) ta được giá trị của A là
Giá trị của biểu thức \(125 + (x - 5)({x^2} + 5x + 25)\) với x = -5 là
Có bao nhiêu cách điền vào dấu ? để biểu thức \((x - 2).?\) là một hằng đẳng thức?
Viết biểu thức \(8 + {(4x - 3)^3}\) dưới dạng tích
Thực hiện phép tính \({(x + y)^3} - {\left( {x - 2y} \right)^3}\)
Tìm \(x\) biết \((x + 3)({x^2} - 3x + 9) - x({x^2} - 3) = 21\)
Viết biểu thức \({a^6} - {b^6}\) dưới dạng tích
Cho \(x + y = 1\). Tính giá trị biểu thức \(A = {x^3} + 3xy + {y^3}\)
Cho x – y = 2. Tính giá trị biểu thức \(A = {x^3} - 6xy - {y^3}\)
Cho \(A = {1^3} + {3^3} + {5^3} + {7^3} + {9^3} + {11^3}\). Khi đó
Rút gọn biểu thức \(\left( {a - b + 1} \right)\left[ {{a^2} + {b^2} + ab - (a + 2b) + 1} \right] - ({a^3} + 1)\)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử \({x^{4\;}} + {x^3}y - x{y^{3\;}} - {y^4}\)
Rút gọn biểu thức \({\left( {x - y} \right)^{3\;}} + \left( {x - y} \right)({x^{2\;}} + xy + {y^2}) + 3({x^2}y - x{y^2})\)
Cho \(x,y,a\) và \(b\) thỏa mãn các đẳng thức: \(x - y = a - b\,\,\,(1)\) và \({x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}\,\,\,(2)\). Biểu thức \({x^3} - {y^3} = ?\)
Với mọi a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 thì giá trị của biểu thức \({a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\) là:
Viết biểu thức sau dưới dạng tích: \(A = {(3 - x)^3} + {(x - y)^3} + {(y - 3)^3}\)
