Với giá trị nào của \(x\) thì \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất?
-
A.
1
-
B.
2
-
C.
0
-
D.
-2
Để tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) ta cần biến đổi A thành dạng \({(P(x))^2} + Q\), khi đó \(GTNN\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}Q\).
Điều kiện: \({x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\)
\(\begin{array}{l}A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} - \frac{{2x}}{{{x^2} + 4x + 4}} = 1 - \frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = 1 - \frac{{2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 1 - \frac{2}{{x + 2}} + {\left( {\frac{2}{{x + 2}}} \right)^2} = {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}\end{array}\)
Ta có \({\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x\) hay \(A \ge \frac{3}{4}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{{x + 2}} - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{x + 2}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn)
Vậy \(A = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{4}\) tại \(x = 2\)
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Chọn câu sai. Với đa thức\(B \ne 0\) ta có:
Phân thức \(\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}}\) (với \(x \ne 3\)) bằng với phân thức nào sau đây?
Mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{5}{{2\left( {x - 3} \right)}},\,\frac{7}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\)là?
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{x},\,\frac{2}{y},\,\frac{3}{z}\) ta được:
Cho \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\). Khi đó:
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\frac{1}{{2 - x}},\,\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\,\frac{{3{x^2} - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\)
Quy đồng mẫu thức các phân thức \(\frac{1}{{{x^3} + 1}},\,\frac{2}{{3x + 3}},\,\frac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}\) ta được các phân thức lần lượt là:
Tìm \(x\) biết \({a^2}x + 2ax + 4 = {a^2}\) với \(a \ne 0;\,a \ne - 2\).
Tính giá trị phân thức \(A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}}\) tại \(x = 1\).
Cho \(A = \frac{{2{a^2} + 8ab + 8{b^2}}}{{a + 2b}}\) và \(a + 2b = 5\). Khi đó:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{5}{{3x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên?
Cho các phân thức \(\frac{{2x}}{{3 - 3x}};\,\frac{{5x - 4}}{{4x + 4}};\,\frac{{{x^2} + x + 1}}{{2\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)
An nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(2\left( {{x^2} - 1} \right)\)
Bình nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Chọn câu đúng?
Rút gọn phân thức \(A = \frac{{4|x - 3| - 2|x - 5|}}{{9{x^2} - 66x + 121}}\) biết \(3 < x < 5\)
Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = \frac{5}{{{x^2} - 6x + 10}}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {2{x^2} + 2x} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4x} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \frac{1}{2}\) là
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}}\) có giá trị nguyên?
Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}}\) tại \(x = 98\) và \(y = 1\)
Để có các phân thức có cùng mẫu, ta cần điền vào các chỗ trống \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \frac{{x - 3}}{{...}};\,\frac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{...}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\). Các đa thức lần lượt là:
Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng?
Với điều kiện nào thì hai phân thức \(\frac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\frac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau?
