Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $I.$ Tia $AI$ cắt $BC$ tại $M.$ Khi đó \(\Delta MED\) là tam giác gì?
-
A.
Tam giác cân
-
B.
Tam giác vuông cân
-
C.
Tam giác vuông
-
D.
Tam giác đều.
+) Dựa vào tính chất của các đường cao trong tam giác.
+) Dựa vào tính chất của tam giác cân.
+) Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Xét \(\Delta ABC\) có $BD$ và $CE$ là hai đường cao cắt nhau tại $I$ suy ra $AI$ là đường cao của tam giác đó.
Mà $AI$ cắt $BC$ tại $M$ nên \(AM \bot BC\).
Vì \(\Delta ABC\) cân tại $A$ (gt) nên $AM$ là đường cao cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đó. (tính chất của tam giác cân).
\( \Rightarrow BM = MC\) (tính chất đường trung tuyến)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot AB\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BEC} = \widehat {BDC} = {90^0}\).
Xét \({\Delta}BEC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên suy ra $EM$ là trung tuyến của \({\Delta}BEC\)
\( \Rightarrow EM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 1 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Xét \({\Delta}BDC\) có $M$ là trung điểm của $BC$ nên $DM$ là trung tuyến của \({\Delta}BDC\)
\( \Rightarrow DM = \dfrac{{BC}}{2}\left( 2 \right)\) (tính chất trung tuyến của tam giác vuông)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow EM = DM \Rightarrow \Delta EMD\) cân tại $M$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Gọi $O$ là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta ABC\). Khi đó $O$ là:
Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?
Cho \(\Delta ABC\) cân tại $A,$ có \(\widehat A = {40^0}\), đường trung trực của $AB$ cắt $BC$ ở $D.$ Tính \(\widehat {CAD}\).
Cho tam giác \(ABC\) trong đó \(\widehat A = 100^\circ \). Các đường trung trực của \(AB\) và \(AC\) cắt cạnh \(BC\) theo thứ tự ở \(E\) và \(F\) . Tính \(\widehat {EAF}.\)
Cho \(\Delta ABC\) nhọn, đường cao $AH.$ Lấy điểm $D$ sao cho $AB$ là trung trực của $HD.$ Lấy điểm $E$ sao cho $AC$ là trung trực của $HE.$ Gọi $M$ là giao điểm của $DE$ với $AB,N$ là giao điểm của $DE$ với $AC.$ Chọn câu đúng.
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại $A,$ có \(\widehat C = {30^0}\), đường trung trực của $BC$ cắt $AC$ tại $M.$ Em hãy chọn câu đúng:
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ kẻ đường cao $AH.$ Trên cạnh $AC$ lấy điểm $K$ sao cho $AK = AH.$ Kẻ \(KD \bot AC\left( {D \in BC} \right)\). Chọn câu đúng.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là đường trung tuyến khi đó
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có trực tâm \(H.\) Chọn câu đúng.
Cho đoạn thẳng $AB$ và điểm $M$ nằm giữa $A$ và $B$$\;\left( {MA < MB} \right).$ Vẽ tia $Mx$ vuông góc với $AB,$ trên đó lấy hai điểm $C$ và $D$ sao cho $MA = MC,MD = MB.$ Tia $AC$ cắt $BD$ ở $E.$ Tính số đo \(\widehat {AEB}\)
