Trắc nghiệm Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác Toán 8 Cánh diều

Tam giác ABC và tam giác A’B’C có: $\widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'} = {90^0},\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}$

Do đó, $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$

Suy ra: $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}$

Mà M là trung điểm của BC nên $BC = 2AM$, M’ là trung điểm của B’C’ nên $B'C' = 2A'M'$

Do đó, $\frac{{AM}}{{A'M'}} = \frac{1}{2}$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADB vuông tại A có: $B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} \Rightarrow BD = a\sqrt 2$

Tam giác ABD vuông cân tại A nên $\widehat {ADB} = {45^0}$

Ta có: $B{D^2} + B{C^2} = 2{a^2} + 2{a^2} = 4{a^2} = C{D^2}$ nên tam giác BDC vuông tại B, do đó, $\widehat {DBC} = {90^0}$

Xét tam giác ADC và tam giác IBD có:

$\widehat {ADC} = \widehat {IBD} = {90^0},\frac{{AD}}{{IB}} = \frac{{DC}}{{BD}}$

Do đó, $\Delta ADC \backsim \Delta IBD$

Suy ra, $\widehat {ACD} = \widehat {BDI}$

Mà $\widehat {ADH} = \widehat {ACD}$ (cùng phụ với góc HDC)

Do đó, $\widehat {ADH} = \widehat {BDI}$

Mà $\widehat {ADH} + \widehat {BDH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {BDI} + \widehat {BDH} = {45^0}$ hay $\widehat {HDI} = {45^0}$

Tam giác OAC và tam giác DBO có: $\widehat {OAC} = \widehat {DBO} = {90^0},\widehat {COA} = \widehat {BDO}$ (cùng phụ với góc DOB)

Do đó, $\Delta OAC \backsim \Delta DBO \Rightarrow \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{AC}}{{OB}}$

Mà $OA = OB \Rightarrow \frac{{OC}}{{OD}} = \frac{{AC}}{{OA}} \Rightarrow \frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{OD}}{{OA}}$

Tam giác OCD và tam giác ACO có: $\widehat {CAO} = \widehat {COD} = {90^0},\frac{{OC}}{{AC}} = \frac{{OD}}{{OA}}$

Do đó, $\Delta OCD \backsim \Delta ACO \Rightarrow \widehat {OCD} = \widehat {ACO}$

Chứng minh được $\Delta OAC = \Delta OMC\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow AC = MC$

Ta có: $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};\frac{{AC}}{{BD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ nên $\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}$

Tam giác ABC và tam giác DEB có: $\widehat {BAC} = \widehat {BDE} = {90^0},\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{BD}}$ nên $\Delta ABC \backsim \Delta DEB$

Do đó, $\widehat {CBA} = \widehat {BED}$

Mà $\widehat {BED} + \widehat {EBD} = {90^0}$ nên $\widehat {ABC} + \widehat {EBD} = {90^0}$

Mà $\widehat {ABC} + \widehat {EBD} + \widehat {CBE} = {180^0}$ nên $\widehat {CBE} = {90^0}$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A có: $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 13$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BDE vuông tại D có: $B{E^2} = D{E^2} + B{D^2} = 52$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BCE vuông tại B có: $C{E^2} = B{E^2} + B{C^2} = 65$ nên $CE = \sqrt {65}$

Tam giác BHC và tam giác B’H’C’ có: $\widehat {BHC} = \widehat {B'H'C'} = {90^0},\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{HC}}{{H'C'}} = \frac{3}{2}$

Do đó, $\Delta BHC \backsim \Delta B'H'C'$

Suy ra: + $\frac{{BH}}{{B'H'}} = \frac{{HC}}{{H'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{2}$

+ $\widehat C = \widehat {C'}$, mà tam giác ABC cân tại A, tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên $\widehat B = \widehat {B'} = \widehat C = \widehat {C'}$

Do đó, $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ nên $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{3}{2}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AB + BC + AC}}{{A'B' + B'C' + A'C'}} = \frac{3}{2}$

Mà chu vi tam giác A’B’C’ bằng 30cm nên chu vi tam giác ABC là: $30.\frac{3}{2} = 45\left( {cm} \right)$