Giải SBT đại số, hình học toán lớp 8 tập 1, tập 2 Bài tập ôn tập chương 2 - Đa giác - Diện tích đa giác

Bài 56 trang 166 SBT toán 8 tập 1


Giải bài 56 trang 166 SBT toán 8. Cho tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2 AB = 2a. Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông BCDE, tam giác đều ABF và tam giác đều ACG...

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có \(BC = 2 AB = 2a.\) Ở phía ngoài tam giác, ta vẽ hình vuông \(BCDE,\) tam giác đều \(ABF\) và tam giác đều \(ACG.\)
a) Tính các góc \(B,\, C,\) cạnh \(AC\) và diện tích tam giác \(ABC.\)
b) Chứng minh rằng \(FA\) vuông góc với \(BE\) và \(CG.\) Tính diện tích các tam giác \(FAG\) và \(FBE.\)
c) Tính diện tích tứ giác \(DEFG.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S=\dfrac{1}{2}ah\)

Công thức tính diện tích hình vuông cạnh \(a\) là: \(S=a^2\)

Định lý Pi - ta - go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\) ta có:

\(AM = MB =\) \(\eqalign{1 \over 2}BC = a\) (tính chất tam giác vuông) \(⇒ AM = MB = AB = a\)

nên \(∆ AMB\) đều ⇒ \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)

Mặt khác : \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (tính chất tam giác cân)

Suy ra: \(\widehat {ACB} = 90^\circ  - \widehat {ABC}\) \(= 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \)

Trong tam giác vuông \(ABC,\) theo định lý Pi-ta-go ta có :

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

Suy ra: \(\eqalign{ A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} }\) \(= 4{a^2} - {a^2} = 3{a^2} \)

Hay \(AC = a\sqrt 3  \)

Do đó ta có diện tích \(∆ ABC\) là: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC\) \(=\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3=\dfrac{1}{2}a^2\sqrt 3\)

b)  Ta có : \(\widehat {FAB} = \widehat {ABC} = 60^\circ \)

\(⇒ FA // BC\) (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Suy ra: \(FA ⊥ BE\)

\(BC ⊥ CD\) (vì \(BCDE\) là hình vuông)

Suy ra: \(FA ⊥ CD\)

Gọi giao điểm \(BE\) và \(FA\) là \(H, FA\) và \(CG\) là \(K.\)

\( \Rightarrow BH \bot FA\) và \(FH = HA =\) \(\eqalign{a \over 2}\) (tính chất tam giác đều)

\(\widehat {ACG} + \widehat {ACB} + \widehat {BCD} \) \(= 60^\circ  + 30^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

\(⇒ G, C, D\) thẳng hàng

\(⇒ AK ⊥ CG\) và \(GK = KC\) \(= \eqalign{1 \over 2} GC \) = \(\eqalign{1 \over 2}AC \) \(= \eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\({S_{FAG}} = \eqalign{1 \over 2}GK.AF =\eqalign {1 \over 2}.\eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}.a \) \(=\eqalign {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)  (đvdt)

\({S_{FBE}} = \eqalign{1 \over 2}FH.BE =\eqalign {1 \over 2}.\eqalign{a \over 2}.2a \) \(= \eqalign{1 \over 2}{a^2}\) (đvdt)

c) \({S_{BCDE}} = B{C^2} = {\left( {2a} \right)^2} = 4{a^2}\) (đvdt)

Trong tam giác vuông \(BHA,\) theo định lý Pi-ta-go ta có:

\(\eqalign{  & A{H^2} + B{H^2} = A{B^2} }\) \(  \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2}\) \(= {a^2} - \eqalign{{{a^2}} \over 4} = \eqalign{{3{a^2}} \over 4} \) \(\Rightarrow BH = \eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}  \)

\(\displaystyle {S_{ABF}} = {1 \over 2}BH.FA = \eqalign{1 \over 2}.\eqalign{{a\sqrt 3 } \over 2}.a \) \(= \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)  (đvdt)

Trong tam giác vuông \(AKC,\) theo định lý Pi-ta-go ta có:

\(A{C^2} = A{K^2} + K{C^2}\)

\(\eqalign{ \Rightarrow A{K^2} = A{C^2} - K{C^2}}\) \( {= 3{a^2} - \eqalign{{3{a^2}} \over 4} = \eqalign{{9{a^2}} \over 4}}\) \(\Rightarrow {AK = \eqalign{{3a} \over 2} } \)

\({S_{ACG}} = \eqalign{1 \over 2}AK.CG = \eqalign{1 \over 2}.\eqalign{{3a} \over 2}.a\sqrt 3 \) \(= \eqalign{{3{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)  (đvdt)

\({S_{DEFG}} = {S_{BCDE}} + {S_{FBE}} + {S_{FAB}} \) \(+ {S_{FAG}} + {S_{ACG}}+ {S_{ACB}}\)

\( = 4{a^2} + \eqalign{{{a^2}} \over 2} + \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} + \eqalign{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \) \(+ \eqalign{{3{a^2}\sqrt 3 } \over 4} +\dfrac{1}{2}a^2\sqrt 3= \eqalign{{{a^2}} \over 4}\left( {18 + 7\sqrt 3 } \right)\) (đvdt) 

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K10 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua