Giải bài 56 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A', B', C' không trùng với đỉnh của tam giác và

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A', B', C' không trùng với đỉnh của tam giác và

lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thoả mãn $\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}}$ . Chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. Biến đổi biểu thức $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}$ sao cho xuất hiện vectơ $\overrightarrow {GG'}$ (sử dụng các quy tắc vectơ)

Bước 2: Sử dụng giả thiết $\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}}$ biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BB'} ,\overrightarrow {CC'}$ theo $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA}$

Bước 3: Chứng minh $\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0$ rồi kết luận

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$

Xét $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'}$

$= \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right) + 3\overrightarrow {GG'} = 3\overrightarrow {GG'}$ (1)

Mặt khác, đặt $\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = k \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AA' = kAB\\BB' = kBC\\CC' = kCA\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = k\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {BB'} = k\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {CC'} = k\overrightarrow {CA} \end{array} \right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $3\overrightarrow {GG'} = k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} + k\overrightarrow {CA} = k\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow 0$ $\Rightarrow \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0$

Do đó G và G’ trùng nhau. Vậy hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 55 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thoả mãn $\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM}$
Giải bài 54 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thoả mãn $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}$ . Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b$ . Biểu thị các vectơ $\overrightarrow {AN} ,\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP}$ theo các vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ và chứng minh ba điểm M, N,
Giải bài 53 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC, kẻ phân giác AD. Đặt AB = c, AC = b. Chứng minh:
Giải bài 52 trang 100 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N, P trong môi trường hợp sau:
Giải bài 51 trang 99 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho đoạn thẳng BC và điểm A nằm giữa hai điểm B, C. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Giải bài 50 trang 99 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A, B. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Giải bài 49 trang 99 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$ . Khẳng định nào sau đây là sai?
Giải bài 48 trang 99 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
Giải bài 47 trang 99 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.